Résoudre un exercice

Toi qui es bachelier, étudiant(e) ou élève en prépa, tu as un énorme avantage par rapport à un chercheur 😲. Tu sais que la réponse à la question qu’on te pose existe et est atteignable en temps fini, voire très court. Certains grands génies de la science sont morts avant d’avoir eu les réponses à certaines de leurs questions !

Premièrement il est important d’avoir une idée de la distance à laquelle se trouve la réponse, à côté de toi ou à dix kilomètres ? i.e. l’exercice est-il simple ou difficile ? Seul un peu d’expérience pourra te le dire. Tu peux par exemple l’acquérir en faisant quelques petits exercices d’application bien balisés ou classiques. C’est un début !

Si la question est difficile, il est inutile de vouloir trouver une réponse immédiatement, je dirais en un seul coup ! Il faut au contraire établir une stratégie, et là, il y a plusieurs coups à jouer. D’abord on débroussaille le terrain, i.e. on déduit toutes les petites choses simples des hypothèses, même si on ne voit pas tout de suite le rapport avec le résultat final. Ensuite des directions vont apparaître, et tu pourras mieux viser la cible finale. Cela donnera certainement plus envie à l’examinateur à l’oral de t’aiguiller vers la réponse.

Structure typique d’une preuve

Soit … (Introduis les objets dont tu as besoin et dis où ils vivent : $\displaystyle \varepsilon>0$, $\displaystyle x\in]a,b[$, etc. Inutile de redéfinir ceux de la question $\displaystyle \to$ perte de temps)
On a : … d’après … (hypothèse, cours, question-partie d’avant, etc.)
Donc … car (identité, théorème, etc.)
Or …
Alors … car (idem)
Conclusion : … (à souligner ou encadrer)

Les réflexes devraient t’aider à construire cette structure.

S’il faut prouver une équivalence, trouve le sens le plus facile (ex : $\displaystyle \Longleftarrow$) et fais le en premier. Idem pour la double-inclusion. Ecris :
$\displaystyle (\Longleftarrow)$ Preuve…
$\displaystyle (\Longrightarrow)$ Preuve…

À éviter dans la preuve

• Les $\displaystyle \Rightarrow$, $\displaystyle \iff$ sont souvent très mal utilisés ;
• "Clairement, évident, immédiat, etc. " : Perte de temps et inutile (même si t’es très fort) ! et parfois cela cache des erreurs. Si c’est facile, énonce rapidement l’argument (1 ligne).