Réflexes

Un réflexe, c’est fait pour sauver la vie. Même si ta vie n’est certainement pas en jeu à un examen ou un concours (loin s’en faut !), tu verras que les réflexes ci-dessous te permettront de sauver bien des situations ! 😅

Développer des réflexes à la vue d’une question ou d’une formule est essentiel pour :

• éviter de ne rien écrire ou rien dire, tout en donnant envie à l’examinateur de t’aider à l’oral ;
• débroussailler le terrain, se rapprocher de la solution, et donc mieux viser la cible finale.

Voici une petite liste non exhaustive, c’est ton kit de survie ! On écrit ci-dessous : Si tu vois “$\displaystyle \cdots$” 👉 les réflexes à avoir.

Analyse

SUP/L1

1. "$\displaystyle a^x$ "👉 Écriture $\displaystyle e^{x\ln(a)}$, passage au log dans les égalités ou les inégalités ;
2. "$\displaystyle f$ continue " 👉 TVI (Théorème des valeurs intermédiaires), passage à la limite $\displaystyle f(x_n)\to f(x)$ ;
3. "$\displaystyle f$ continue sur un segment $\displaystyle [a,b]$ " 👉 $\displaystyle f$ bornée et atteint ses bornes, écrire les bornes, ou $\displaystyle f'(x_0)=0$ si $\displaystyle x_0$ extremum local et $\displaystyle f$ dérivable ;
4. " $\displaystyle f$ dérivable ou $\displaystyle C^1$ " 👉 Rolle, AF (Accroissements finis), dériver $\displaystyle f$, écrire $\displaystyle f(x)=f(a)+\int_a^xf'(t)dt$ ;
5. “Une intégrale” 👉 IPP (Intégration par parties), changement de variable ;
6. "Une somme ou une intégrale, des carrés ou des racines " 👉 Cauchy-Schwarz ;
7. “$\displaystyle \frac{1}{1\pm x}$” 👉 Série géométrique, $\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+\cdots+x^n+\frac{x^{n+1}}{1-x}$ si $\displaystyle x\neq 1$ ;
8. "$\displaystyle (u_n)$ monotone bornée (croissante majorée ou décroissante minorée)" 👉 $\displaystyle (u_n)$ convergente, prendre la limite.
9. “$\displaystyle u_{n+1}-u_n$” 👉 Somme télescopique ;
10. $\displaystyle \sum_k f(k)$ avec $\displaystyle f$ décroissante 👉 Comparaison Série-Intégrale.

SPE/L2/L3

1. “$\displaystyle px+(1-p)y$” 👉 Inégalité de convexité ;
2. "Une intégrale à paramètre " 👉 Dériver par rapport au paramètre ;
3. " $\displaystyle \sum\int$ ou $\displaystyle \lim\int$ ou $\displaystyle \lim\sum$ " 👉 Interversion en utilisant soit : CVU (convergence uniforme), ou ITT (Intégration terme à terme), ou CVD (Convergence dominée) ;
4. “$\displaystyle \sum a_nb_n$” 👉 Transformation d’Abel (MP).

Probabilités

SUP/L1

1. “$\displaystyle P(A|B)$” 👉 Formule de Bayes, des proba totales ;
2. "Une v.a. $\displaystyle X$" 👉 Valeurs possibles de $\displaystyle X$, calculer $\displaystyle E[X]$, $\displaystyle E[X^2]$ si possible ;
3. “$\displaystyle X\sim \cal B(n,p)$” 👉 $\displaystyle X=X_1+\cdots+ X_n$ avec les $\displaystyle X_i\sim \cal B(p)$ indépendantes.

SPE/L2/L3

1. $\displaystyle X,Y$ indépendantes 👉 $\displaystyle E[XY]=E[X]E[Y]$, $\displaystyle Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$ ;
2. $\displaystyle E[f(X)]$ 👉 Formule de transfert ;
3. $\displaystyle P(X\ge \epsilon)$ 👉 Inégalité de Markov si $\displaystyle X\ge 0$, à utiliser aussi avec $\displaystyle P(f(X)\ge f(\epsilon))$ si $\displaystyle f$ est croissante ;
4. $\displaystyle S_n=X_1+\cdots+ X_n$ 👉 Loi des grands nombres.

Algèbre linéaire et bilinéaire

SUP/L1

1. "Une matrice ou un endomorphisme " 👉 Regarder Ker et Im ;
2. “Ker, Im” 👉 Théorème du rang, écrire $\displaystyle u(x)=0$, ou $\displaystyle y=u(x)$ ;
3. “rang” 👉 Théorème du rang, étudier Ker et Im, Matrices équivalentes ;
4. $\displaystyle E\subset F$ 👉 Conclure à l’égalité $\displaystyle E= F$ si égalité des dimensions ;
5. "Une trace " 👉 $\displaystyle {\rm Tr}(AB)={\rm Tr}(BA)$ ;
6. "Un produit scalaire, une famille de vecteurs " 👉 Cauchy-Schwarz, Pythagore, Projection orthogonale sur un sous-espace, Orthonormaliser, faire tout de suite un joli dessin.

SPE/L2/L3

1. "Une matrice (avec peu d’information) " 👉 Trigonaliser dans $\displaystyle \mathbb C$ (valeurs propres sur la diagonale) ;
2. "$\displaystyle A$ symétrique réelle " 👉 Diagonalisable en base orthonormée, écrire $\displaystyle A=P^TDP$ et $\displaystyle X^TAX$ où $\displaystyle X$ est un vecteur ;
3. "$\displaystyle A$ diagonalisable" 👉 Il existe un polynôme annulateur scindé à racines simples (MP, PSI) ;
4. " Polynôme $\displaystyle P$ annulateur de $\displaystyle A$" (MP, PSI, ECS2) 👉 Les valeurs propres de $\displaystyle A$ sont racines de $\displaystyle P$ ; Si $\displaystyle P$ est scindé à racines simples alors $\displaystyle A$ est diagonalisable (MP, PSI) ;
5. “$\displaystyle {\rm Tr}(A^p)$” 👉 $\displaystyle {\rm Tr}(A^p)=\sum\lambda_i^p$ avec $\displaystyle \lambda_i$ les valeurs propres dans $\displaystyle \mathbb C$.

Algèbre générale

1. “Une somme sur tous les éléments d’un ensemble” 👉 Regrouper les éléments par paquets, utiliser une application qui permute les éléments ;
2. “$\displaystyle P\in\R[X]$” 👉 Racines complexes conjuguées, comportement à l’infini suivant le degré $\displaystyle n$, et si $\displaystyle n$ est pair existence d’un min ou max suivant le signe du coefficient dominant ;
3. “$\displaystyle P\in\mathbb C[X]$” 👉 Existence d’une racine, existence d’une solution à $\displaystyle P(z)=z_0$, écrire $\displaystyle P(re^{i\theta})$ ;
4. "$\displaystyle p$ premier" 👉 Congru à $\displaystyle 1$ ou $\displaystyle 3$ mod. $\displaystyle 4$, groupe d’ordre $\displaystyle p$ alors cyclique, petit théorème de Fermat ;
5. "$\displaystyle x$ et $\displaystyle y$ des entiers premiers entre eux" 👉 Bézout ($\displaystyle ax + by = 1$), Lemme chinois ;