Techniques

Electromagnétisme

Calculs de champ par le théorème d’Ampère pour $\displaystyle \overrightarrow{B}$ ou par le théorème de Gauss pour $\displaystyle \overrightarrow{E}$ en régime permanent

1. La démarche en 4 points est indispensable : détermination de la direction du champ, paramètres d’espace dont dépend le champ, choix d’un contour orienté (pour $\displaystyle \overrightarrow{B}$) ou d’une surface fermée (pour $\displaystyle \overrightarrow{E}$), application du théorème.

2. La symétrie du système indique le type de coordonnées à utiliser. Si on ne peut pas trouver la direction du champ en tout point, le théorème n’est pas d’une grande utilité 😞.

3. Le champ $\displaystyle \overrightarrow{E}$ est porté par les plans de symétrie de la distribution de charge, alors que le champ $\displaystyle \overrightarrow{B}$ est perpendiculaire aux plans de symétrie de la distribution de courant. Le choix du contour doit être tel qu’en tout point $\displaystyle \overrightarrow{B}$ (resp. $\displaystyle \overrightarrow{E}$) est soit parallèle, soit perpendiculaire à $\displaystyle \overrightarrow{d\ell}$ (resp. $\displaystyle \overrightarrow{d^{2}S}$).

Induction

1. Orienter le circuit, identifier s’il s’agit du cas de Neumann ou de Lorentz, prévoir qualitativement ce qui se passe avant tout calcul.

2. La seule loi au programme MP, PC est la loi de Faraday (avec la loi de modération de Lenz), mais on peut utiliser le bilan auxiliaire de puissance $\displaystyle ei+P_{\textrm{Laplace}}=0$ pour le cas de Lorentz.

Thermodynamique

Diffusion

1. Établir l’équation de diffusion : écrire l’équation de bilan (de l’énergie pour la diffusion thermique, du nombre de particules en diffusion de particules) sur un volume infinitésimal et un intervalle de temps infinitésimal et la loi phénoménologique (Fourier ou Fick). Pour l’équation de bilan, choisir :

• cas à une dimension : une tranche entre $\displaystyle x$ et $\displaystyle x+dx$.
• cas à symétrie sphérique : une couche sphérique entre $\displaystyle r$ et $\displaystyle r+dr$.
• cas à symétrie cylindrique : une couche cylindrique entre $\displaystyle r$ et $\displaystyle r+dr$.

2. Ne pas développer des expressions déjà intégrées du type
   $\displaystyle \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}j(r,t)\right)=-\lambda\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\right)$.
3. En régime permanent, un bilan global est possible
   (du genre $\displaystyle \oiint\overrightarrow{j_{\textrm{th}}}.\overrightarrow{d^{2}S}=P_{\textrm{th,int}}$)

Mécanique

1. Choix du référentiel, choix du système, bilan des actions exercées sont les préliminaires indispensables.
2. Les théorèmes ou lois disponibles sont bien connus de tous 🤔.

• Le principe fondamental de la dynamique, alias la seconde loi de Newton pour un point matériel, qui devient le théorème du centre de masse ou théorème du centre d’inertie pour un système plus complexe.
• Le théorème de l’énergie cinétique, qui peut être avantageusement remplacé par la conservation de l’énergie mécanique dans le cas de forces qui dérivent d’une énergie potentielle.
• Le théorème du moment cinétique, qui peut être utilisé sous sa forme vectorielle ou sous sa forme scalaire (dans ce cas il est projeté sur un axe fixe).

4. Quand le problème est à un seul degré de liberté, une équation scalaire (théorème de l’énergie cinétique, théorème du moment cinétique scalaire) suffit.
5. Attention aux forces intérieures : leur moment résultant par rapport à un point est toujours nul, leur travail ne l’est pas toujours 👉 Pour un système déformable, le théorème du centre de masse ou le théorème du moment cinétique permettent de s’affranchir des forces intérieures.
6. Mécanique en référentiel non galiléen. Les deux seuls cas au programme de Spé sont

• $\displaystyle R'$ (point fixe $\displaystyle O'$) en translation par rapport à $\displaystyle R$ :
  $\displaystyle \overrightarrow{f_{ie}}=-m\overrightarrow{a(O'})]_{R};\qquad\qquad\overrightarrow{f_{ic}}=\overrightarrow{0}$.
• $\displaystyle R'$ en rotation pure par rapport à $\displaystyle R$ avec $\displaystyle O=O'$ et $\displaystyle \overrightarrow{\omega}= \omega\overrightarrow{u_z}$ constant
  $\displaystyle \overrightarrow{f_{ie}}(M)=m\omega^{2}\overrightarrow{HM};\qquad\qquad\overrightarrow{f_{ic}}(M)=-2m\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{V(M)}]_{R'}$,
  où $\displaystyle H$ est le projeté orthogonal de $\displaystyle M$ sur l’axe de rotation.

Optique

Optique ondulatoire

1. Quand 2 sources sont cohérentes, les amplitudes s’ajoutent. Quand 2 sources sont incohérentes, les éclairements (ou intensités) s’ajoutent.
2. Pour le calcul des différences de marche

• Utiliser les rayons de l’optique géométrique pour évaluer les chemins optiques entre points, et le théorème de Malus. Attention ne jamais utiliser un point sur une lentille, qui en réalité n’est pas si “mince” que ça et n’est pas constitué d’air ou de vide 😀.
• Pour les observations “à l’infini” dans le plan focal image d’une lentille, utiliser la loi du retour inverse de la lumière et le théorème de Malus pour mettre en évidence des chemins optiques parcourus identiques.
• Pour les interférences à distance finie (type Trous d’Young+Ecran), exprimer explicitement les distances parcourues par la lumière.

3. Pour exprimer l’intensité lors d’ interférences à N>2 ondes, sommer les amplitudes complexes pour obtenir l’amplitude $\displaystyle \underline{s}$ (on se ramène à une série géométrique pour un motif régulier), puis l’éclairement $\displaystyle E=K\underline{s}.\underline{s}^{*}$.

Ondes électromagnétiques

1. Dans le vide.

• La relation de structure des ondes planes progressives $\displaystyle \overrightarrow{B}=\frac{\overrightarrow{k}\land\overrightarrow{E}}{\omega}$ s’applique uniquement, comme son nom l’indique, aux ondes planes progressives 😂.
  Si ce n’est pas le cas, revenir aux équations de ce cher James (Clerk Maxwell), et choisir celle qui facilite les calculs.
• Pour évaluer des grandeurs quadratiques (densité volumiques d’énergie ou vecteur de Poynting), quitter immédiatement la représentation complexe car
  $\displaystyle \textrm{Re}\left(\underline{f}.\underline{g}\right)\neq\textrm{Re}\left(\underline{f}\right)\textrm{Re}\left(\underline{f}\right)$. La valeur moyenne du vecteur de Poynting
  $\displaystyle \left\langle \overrightarrow{\varPi}\right\rangle =\frac{1}{2}\textrm{Re}\left(\frac{\underline{\overrightarrow{E}}\land\underline{\overrightarrow{B}^{*}}}{\mu_{0}}\right)$ n’est pas au programme de Spé, elle peut être rappelée dans l’énoncé.
• Attention ce n’est pas parce qu’on est dans le vide que $\displaystyle k=\omega/c$ (exemple des guides d’onde).

2. Interfaces

• L’onde réfléchie et l’onde transmise ont même pulsation que l’onde incidente (penser au mécanisme microscopique qui les génère), les vecteurs d’onde sont différents.
• Ne pas confondre coefficient de réflexion en amplitude (du champ électrique) et en énergie (rapport des valeurs moyennes des normes du vecteur de Poynting).