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Premier et second principe

Exercice 5 ⭐️⭐️ Diagramme de Clapeyron, Sup/L1

Dans le diagramme de Clapeyron d’un gaz parfait, on considère l’ensemble des isothermes (réversibles) de la forme T=mT0,m∈N\displaystyle T=mT_{0},m\in\mathbb{N} et l’ensemble des isentropiques (réversibles) de la forme S=nS0,n∈N\displaystyle S=nS_{0},n\in\mathbb{N}.

  1. Tracer l’allure des isothermes et des isentropiques dans ce diagramme.

  2. Deux isothermes successives mT0,(m+1)T0\displaystyle mT_{0},\left(m+1\right)T_{0} et deux isentropiques successives nS0,(n+1)S0\displaystyle nS_{0},\left(n+1\right)S_{0} délimitent une surface dans le diagramme de Clapeyron.
    Montrer que l’aire de cette surface est indépendante de n\displaystyle n et m\displaystyle m.

-Isentropique d’un gaz parfait : loi de Laplace.
-Aire d’une surface dans le diagramme de Clapeyron : interprétation en termes de travail.

  1. Pour un gaz parfait, l’équation d’une isotherme est de la forme pV=p0V0=Cte\displaystyle pV=p_{0}V_{0}=Cte , l’équation d’une isentropique est de la forme pVγ=p0V0γ=Cte′\displaystyle pV^{\gamma}=p_{0}V_{0}^{\gamma}=Cte'.

  2. L’aire A\displaystyle \mathcal{A} du cycle représente au signe près le travail reçu par le système lors d’un cycle constitué de deux isothermes mT0,(m+1)T0\displaystyle mT_{0},\left(m+1\right)T_{0} et de deux isentropiques nS0,(n+1)S0\displaystyle nS_{0},\left(n+1\right)S_{0} . Supposons le cycle décrit dans le sens horaire, A=−W\displaystyle \mathcal{A}=-W.

Le cycle est un cycle de Carnot W+Qc+Qf=0\displaystyle W+Q_{c}+Q_{f}=0 avec

Qc=(m+1)T0[(n+1)S0−nS0]=S0(m+1)T0\displaystyle Q_{c}=\left(m+1\right)T_{0}\left[\left(n+1\right)S_{0}-nS_{0}\right]=S_{0}\left(m+1\right)T_{0}

et Qf=mT0[nS0−(n+1)S0]=−mT0S0\displaystyle Q_{f}=mT_{0}\left[nS_{0}-\left(n+1\right)S_{0}\right]=-mT_{0}S_{0}.

D’où A=−W=T0S0\displaystyle \mathcal{A}=-W=T_{0}S_{0}.

Exercice 7 ⭐️⭐️⭐️ Moteur ditherme, Spé/L2

  1. Quel est le rendement maximal d’un moteur thermique ditherme ? On note T1\displaystyle T_{1} et T2\displaystyle T_{2} les températures constantes de la source chaude et de la source froide. Démontrer.

  2. On considère maintenant que les sources froide et chaude ne sont pas des thermostats, mais deux corps de même masse M\displaystyle M et de capacité thermique c\displaystyle c. Quel est le transfert thermique Q1\displaystyle Q_{1} maximal qu’on peut obtenir de la source chaude dans le cadre d’un moteur ditherme fonctionnant entre ces deux sources ?

  3. On dispose d’un moteur ditherme fonctionnant à l’aide d’un lac de température T0=10°\displaystyle T_{0}= 10\degreeC et d’un volume fixé d’eau chaude à T1=100°\displaystyle T_{1}=100\degreeC, quel est le travail maximal que peut fournir ce moteur ?

  1. Question de cours (utiliser l’inégalité de Clausius) : rmax=1−T2T1\displaystyle r_{max}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}.

  2. Les deux sources sont de températures T1\displaystyle T_{1} (source chaude) et T2\displaystyle T_{2} (source froide).
    Pour le fluide ΔS=0=−∫T10TfMcdTT−∫T20TfMcdTT+Sech=−Mcln⁡(Tf2T01T02)+Screˊeˊe\displaystyle \Delta S=0=-\int_{T_{10}}^{Tf}Mc\frac{dT}{T}-\int_{T_{20}}^{Tf}Mc\frac{dT}{T}+S_{ech}=-Mc\ln\left(\frac{T_{f}^{2}}{T_{01}T_{02}}\right)+S_{cr\acute{e}\acute{e}e}. Donc ln⁡(Tf2T01T02)=ScreˊeˊeMc\displaystyle \ln\left(\frac{T_{f}^{2}}{T_{01}T_{02}}\right)=\frac{S_{cr\acute{e}\acute{e}e}}{Mc}. Le transfert thermique fourni par la source chaude est Qc=Mc(T1−Tf)\displaystyle Q_{c}=Mc\left(T_{1}-T_{f}\right). Il est maximal pour Tf\displaystyle T_{f} le plus petit possible, soit Screˊeˊe=0\displaystyle S_{cr\acute{e}\acute{e}e}=0.
    Dans le cas réversible, le moteur décrit des cycles (ΔS=0)\displaystyle \left(\Delta S=0\right) en échangeant du transfert thermique avec les deux sources
    ΔS=Seˊch−∫T10TfMcdTT−∫T20TfMcdTT\displaystyle \Delta S=S_{\acute{e}ch}-\int_{T_{10}}^{Tf}Mc\frac{dT}{T}-\int_{T_{20}}^{Tf}Mc\frac{dT}{T}. D’où Tf=T01T02\displaystyle T_{f}=\sqrt{T_{01}T_{02}}. Q1=Mc(T1−T01T02)Q_{1}=Mc\left(T_{1}-\sqrt{T_{01}T_{02}}\right).

  3. La température finale de la source chaude 1 est T0\displaystyle T_{0} . Pour le lac (source froide 2), les transformations sont réversibles, d’où
    ΔS=0=−∫T1T0McdTT+Q2T0+Screˊeˊe\displaystyle \Delta S=0=-\int_{T_{1}}^{T_{0}}Mc\frac{dT}{T}+\frac{Q_{2}}{T_{0}}+S_{cr\acute{e}\acute{e}e},
    et Q2=T0[∫T1T0McdTT−Screˊeˊe]\displaystyle Q_{2}=T_{0}\left[\int_{T_{1}}^{T_{0}}Mc\frac{dT}{T}-S_{cr\acute{e}\acute{e}e}\right].
    Avec le premier principe
    −W=Q1+Q2=−Mc(T0−T1)+T0[∫T1T0McdTT−Screˊeˊe]\displaystyle -W=Q_{1}+Q_{2}=-Mc(T_{0}-T_{1})+T_{0}\left[\int_{T_{1}}^{T_{0}}Mc\frac{dT}{T}-S_{cr\acute{e}\acute{e}e}\right].
    −W\displaystyle -W est maximal pour Screˊeˊe=0\displaystyle S_{cr\acute{e}\acute{e}e}=0.
    Alors ΔS=Seˊch=0=−∫T1T0McdTT+Q2T0\displaystyle \Delta S=S_{\acute{e}ch}=0=-\int_{T_{1}}^{T_{0}}Mc\frac{dT}{T}+\frac{Q_{2}}{T_{0}}. D’où les transferts thermiques reçus par le fluide : Q2=T0Mcln⁡(T0T1)<0\displaystyle Q_{2}=T_{0}Mc\ln\left(\frac{T_{0}}{T_{1}}\right)<0 et QC=Mc(T1−T0)>0\displaystyle Q_{C}=Mc\left(T_{1}-T_{0}\right)>0.
    Le travail maximal −W=McT0[(T1/T0−1)+ln⁡(T0T1)]>0.-W=McT_{0}\left[\left(T_{1}/T_{0}-1\right)+\ln\left(\frac{T_{0}}{T_{1}}\right)\right]>0.

Exercice 33 ⭐️⭐️⭐️ Chauffage d’une maison, CCMP MP 2022, Spé/L2

On souhaite porter la température d’une maison de la température Tf\displaystyle T_{f} à la température Tm\displaystyle T_{m}. L’extérieur de la maison est à la température Tf\displaystyle T_{f}. On dispose d’une source de chaleur à la température Tc\displaystyle T_{c}.

Sachant que la maison doit recevoir une puissance P\displaystyle P pour atteindre la température souhaitée, est-il préférable de placer la source de chaleur directement dans la maison, ou bien de l’utiliser pour faire fonctionner un moteur thermique (supposé réversible) alimentant lui-même une pompe à chaleur (réversible) ?

Données : Tm=293 K,Tc=333 K\displaystyle T_{m}=293\textrm{ K}, T_{c}=333\textrm{ K} et Tf=273 K\displaystyle T_{f}=273\textrm{ K}.

S’intéresser dans les deux cas à la puissance P′\displaystyle P' que doit fournir la source de chaleur.

Cas 1 — La source de chaleur est directement dans la maison P′=P\displaystyle P'=P.

Cas 2 — Le moteur fonctionne grâce à des échanges de transfert thermique entre un système fluide et d’une part la source chaude à la température Tc\displaystyle T_{c} et d’autre part une source froide (ici nécessairement l’extérieur à Tf\displaystyle T_{f}). Le rendement du moteur ditherme est dans le cas réversible, comme vu en cours, égal au rendement de Carnot r=−WQc=1−TfTc\displaystyle r=-\frac{W}{Q_{c}}=1-\frac{T_{f}}{T_{c}}. En termes de puissances, la puissance fournie par le moteur est Pmeˊca=rP′\displaystyle P_{m\acute{e}ca}=rP'.

Le moteur alimente une PAC qui reçoit un transfert thermique Q1<0\displaystyle Q_{1}<0 de la source chaude (qui est la maison), un transfert thermique Q2>0\displaystyle Q_{2}>0 de la source froide (l’extérieur), et un travail WPAC=−W>0\displaystyle W_{PAC}=-W>0. La PAC fonctionnant réversiblement,

∫TfTmδQ1T+Q2Tf=0\displaystyle \int_{T_{f}}^{T_{m}}\frac{\delta Q_{1}}{T}+\frac{Q_{2}}{T_{f}}=0 (2nd principe), et

WPAC+Q1+Q2=0\displaystyle W_{PAC}+Q_{1}+Q_{2}=0 (1er principe).

En termes de puissances, qu’on considère implicitement constantes dans le temps, le 1er principe s’écrit donc
Pmeˊca−P+Tf∫TfTmδPT=0\displaystyle P_{m\acute{e}ca}-P+T_{f}\int_{T_{f}}^{T_{m}}\frac{\delta P}{T}=0, soit
(1−TfTc)P′=P−Tf∫TfTmδPT\displaystyle \left(1-\frac{T_{f}}{T_{c}}\right)P'=P-T_{f}\int_{T_{f}}^{T_{m}}\frac{\delta P}{T}.

Or ∫TfTmδPT>∫TfTmδPTc=PTc\displaystyle \int_{T_{f}}^{T_{m}}\frac{\delta P}{T}>\int_{T_{f}}^{T_{m}}\frac{\delta P}{T_{c}}=\frac{P}{T_{c}}.

Donc (1−TfTc)P′<(1−TfTc)P\displaystyle \left(1-\frac{T_{f}}{T_{c}}\right)P'<\left(1-\frac{T_{f}}{T_{c}}\right)P, soit P′<P\displaystyle P'<P.

L’utilisation du moteur et de la PAC est ainsi la solution la plus efficace.

Exercice 46 ⭐️ Isentropique et isotherme, Sup/L1

Montrer que dans le diagramme de Clapeyron (p,V\displaystyle p,V) d’un gaz parfait la pente d’une isentropique est égale à γ\displaystyle \gamma fois la pente d’une isotherme (γ=Cp/Cv\displaystyle \gamma=C_{p}/C_{v}).

Le gaz est parfait, PV=nRT\displaystyle PV=nRT.

  • Pour une isotherme passant par le point (V0,P0):dPdV=−nRTV2\displaystyle \left(V_{0},P_{0}\right) : \frac{dP}{dV}=-\frac{nRT}{V^{2}}. Au point (V0,P0)\displaystyle \left(V_{0},P_{0}\right), la pente est −nRTV02=−P0V0\displaystyle -\frac{nRT}{V_{0}^{2}}=-\frac{P_{0}}{V_{0}}.

  • pour une isentropique passant par le point (V0,P0)\displaystyle \left(V_{0},P_{0}\right) : le gaz parfait obéit à la loi de Laplace PVγ=P0V0γ\displaystyle PV^{\gamma}=P_{0}V_{0}^{\gamma}. D’où dPdV=−γP0V0γVγ+1=−γPV\displaystyle \frac{dP}{dV}=-\gamma\frac{P_{0}V_{0}^{\gamma}}{V^{\gamma+1}}=-\gamma\frac{P}{V}. Au point (V0,P0)\displaystyle \left(V_{0},P_{0}\right), la pente est−γP0V0\displaystyle -\gamma\frac{P_{0}}{V_{0}}.

Exercice 47 ⭐️⭐️ Entropies de phases condensées , Spé/L2

Deux corps en phase condensée (indilatables incompressibles) ont pour capacités calorifiques C1\displaystyle C_{1} et C2\displaystyle C_{2}. Initialement ils sont isolés, le premier à la température T1\displaystyle T_{1} et le second à la température T2\displaystyle T_{2}. Ils sont ensuite mis en contact thermique sans contact thermique avec l’extérieur.

1.Quelle est la température finale de l’ensemble?
2. Calculer la variation d’entropie ΔS1\displaystyle \Delta S_{1} du corps 1. Quel est son signe ? (T1>T2)\displaystyle \left(T_{1}>T_{2}\right).
3. Quel est le signe de la variation totale d’entropie ? Le vérifier pour
• C1=C2\displaystyle C_{1}=C_{2}
• C1≫C2\displaystyle C_{1}\gg C_{2}.

  1. Pour l’ensemble isolé des deux corps indilatables incompressibles
    ΔH=ΔU=Q=0\displaystyle \Delta H=\Delta U=Q=0.
    Soit Tf\displaystyle T_{f} la température finale.
    C1(Tf−T1)+C2(Tf−T2)=0\displaystyle C_{1}\left(T_{f}-T_{1}\right)+C_{2}\left(T_{f}-T_{2}\right)=0, d’où Tf=C1T1+C2T2C1+C2.T_{f}=\frac{C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}}{C_{1}+C_{2}}.
    Pour une phase condensée indilatable incompressible, l’entropie ne dépend que de la température.

  2. La variation d’entropie ne dépend que de l’état initial et de l’état final ; elle peut ainsi être déterminée pour chaque corps avec dS=δQreˊvT=CdTT\displaystyle dS=\frac{\delta Q_{r\acute{e}v}}{T}=C\frac{dT}{T}.
    ΔS1=∫T1TfC1dTT=C1ln⁡(TfT1)<0\displaystyle \Delta S_{1}=\int_{T_{1}}^{T_{f}}C_{1}\frac{dT}{T}=C_{1}\ln\left(\frac{T_{_{f}}}{T_{1}}\right)<0
    Le corps 1 n’étant pas isolé, une variation d’entropie négative est tout à fait possible.

  3. La variation totale d’entropie est ΔS=C1ln⁡(TfT1)+C2ln⁡(TfT2)\displaystyle \Delta S=C_{1}\ln\left(\frac{T_{_{f}}}{T_{1}}\right)+C_{2}\ln\left(\frac{T_{_{f}}}{T_{2}}\right). Comme le système total est isolé, et la transformation irréversible
    ΔS=Screˊeˊe>0\displaystyle \Delta S=S_{cr\acute{e}\acute{e}e}>0.

Cas particuliers :

• C1=C2,Tf=T1+T22\displaystyle C_{1}=C_{2}, T_{f}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}
et ΔS=C1ln⁡((T1+T2)24T1T2)\displaystyle \Delta S=C_{1}\ln\left(\frac{\left(T_{1}+T_{2}\right)^{2}}{4T_{1}T_{2}}\right).

(T1+T2)2−4T1T2=(T1−T2)2>0\displaystyle \left(T_{1}+T_{2}\right)^{2}-4T_{1}T_{2}=\left(T_{1}-T_{2}\right)^{2}>0 permet de vérifier ΔS>0\displaystyle \Delta S>0.

• C1≫C2\displaystyle C_{1}\gg C_{2},
Tf=C1T1+C2T2C1+C2=T1(1+C2C1T2T1)(1+C2C1)−1≃T1(1+C2C1T2−T1T1).\displaystyle \begin{aligned}T_{f}&=\frac{C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}}{C_{1}+C_{2}}\\&=T_{1}\left(1+\frac{C_{2}}{C_{1}}\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)\left(1+\frac{C_{2}}{C_{1}}\right)^{-1}\\&\simeq T_{1}\left(1+\frac{C_{2}}{C_{1}}\frac{T_{2}-T_{1}}{T_{1}}\right).\end{aligned}
au premier ordre en C2C1\displaystyle \frac{C_{2}}{C_{1}}.

ΔS=C1ln⁡(1+C2C1T2−T1T1)+C2ln⁡(T1(1+C2C1T2−T1T1)T2)=(C1+C2)ln⁡(1+C2C1T2−T1T1)+C2ln⁡(T1T2).\displaystyle \begin{aligned}\Delta S&=C_{1}\ln\left(1+\frac{C_{2}}{C_{1}}\frac{T_{2}-T_{1}}{T_{1}}\right)\\&+C_{2}\ln\left(\frac{T_{1}\left(1+\frac{C_{2}}{C_{1}}\frac{T_{2}-T_{1}}{T_{1}}\right)}{T_{2}}\right)\\&=\left(C_{1}+C_{2}\right)\ln\left(1+\frac{C_{2}}{C_{1}}\frac{T_{2}-T_{1}}{T_{1}}\right)+C_{2}\ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right).\end{aligned}

(C1+C2)C2C1T2−T1T1≃C2T2−T1T1\displaystyle \left(C_{1}+C_{2}\right)\frac{C_{2}}{C_{1}}\frac{T_{2}-T_{1}}{T_{1}}\simeq C_{2}\frac{T_{2}-T_{1}}{T_{1}}, d’où pour C1≫C2\displaystyle C_{1}\gg C_{2} (ce qui correspond au cas où le corps 1 peut être décrit comme un thermostat),
ΔS=Screˊeˊe=C2ln⁡(T1T2)+C2T2−T1T1\displaystyle \Delta S=S_{cr\acute{e}\acute{e}e}=C_{2}\ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)+C_{2}\frac{T_{2}-T_{1}}{T_{1}}.
On retrouve Screˊeˊe=ΔS2−Seˊch,2\displaystyle S_{cr\acute{e}\acute{e}e}=\Delta S_{2}-S_{\acute{e}ch,2}, qu’on aurait pu obtenir par bilan entropique sur le corps 2 seul, en présence d’un thermostat à T1\displaystyle T_{1}.

Exercice 106 ⭐️⭐️ Cycle d’un gaz parfait, Sup/L1

Un gaz parfait parcourt un cycle, composé de trois transformations réversibles :

-Détente isotherme : A(p0,V0,T0)→B(p1,V1,T0)\displaystyle A(p_{0},V_{0},T_{0})\rightarrow B(p_{1},V_{1},T_{0})

-Transformation isobare : B→C(p1,V2,T2)\displaystyle B\rightarrow C(p_{1},V_{2},T_{2})

-Transformation isentropique : C→A\displaystyle C\rightarrow A

  1. Représenter le cycle dans le diagramme de Clapeyron. Le cycle est-il moteur ou résistant ? Justifier.

  2. On pose α=V1V0\displaystyle \alpha=\frac{V_{1}}{V_{0}} , β=T2T0\displaystyle \beta=\frac{T_{2}}{T_{0}}. Exprimer α\displaystyle \alpha en fonction de β\displaystyle \beta et du coefficient γ\displaystyle \gamma.

  3. Quelles sont les températures la plus élevée Tmax\displaystyle T_{\textrm{max}} et la plus basse Tmin\displaystyle T_{\textrm{min}} atteintes dans ce cycle ?

  4. Quel est le rendement r\displaystyle r de ce cycle ditherme ? Comparer avec
    le cycle de Carnot correspondant à des sources aux températures Tmax\displaystyle T_{\textrm{max}}
    et Tmin\displaystyle T_{\textrm{min}}.

Rendement de Carnot 👉 Pour un moteur ditherme, le rendement de Carnot est rC=1−TFTC\displaystyle r_{C}=1-\frac{T_{F}}{T_{C}}, à connaître et à savoir démontrer.

  1. Pour construire le diagramme, il faut avoir en tête que (pour un gaz parfait en particulier) la pente d’une isentropique est plus grande que celle d’une isotherme en variables (P,V)\displaystyle \left(P,V\right) (voir exercice 46). De A\displaystyle A à B\displaystyle B, la détente correspond à une augmentation du volume.

    Le cycle est parcouru dans le sens horaire, c’est un moteur (l’aire du cycle ∮p.dV=−W>0\displaystyle \oint p.dV=-W>0).
  1. α=V1V2.V2V0=T0T2.V2V0\displaystyle \alpha=\frac{V_{1}}{V_{2}}.\frac{V_{2}}{V_{0}}=\frac{T_{0}}{T_{2}}.\frac{V_{2}}{V_{0}}.
    La loi de Laplace donne en variables (T,V)\displaystyle \left(T,V\right) : T2V2γ−1=T0V0γ−1\displaystyle T_{2}V_{2}^{\gamma-1}=T_{0}V_{0}^{\gamma-1},
    d’où α=T0T2.(T0T2)1/(γ−1)=(T0T2)γ/(γ−1)\displaystyle \alpha=\frac{T_{0}}{T_{2}}.\left(\frac{T_{0}}{T_{2}}\right)^{1/\left(\gamma-1\right)}=\left(\frac{T_{0}}{T_{2}}\right)^{\gamma/\left(\gamma-1\right)},
    soit α=β−γ/(γ−1).\alpha=\beta^{-\gamma/\left(\gamma-1\right)}.

  1. Tmax=T0\displaystyle T_{\textrm{max}}=T_{0} et Tmin=T2\displaystyle T_{\textrm{min}}=T_{2}.

  2. r=−WQc\displaystyle r=-\frac{W}{Q_{c}} où Qc>0\displaystyle Q_{c}>0 est le transfert thermique fourni au gaz par la source chaude.
    Au cours du cycle le gaz reçoit Qc>0\displaystyle Q_{c}>0 de la part de la source chaude entre A\displaystyle A et B\displaystyle B (en effet Qc=−WAB=nRT0ln⁡α>0\displaystyle Q_{c}=-W_{AB}=nRT_{0}\ln\alpha>0), et Qf<0\displaystyle Q_{f}<0 de la part de la source froide entre B\displaystyle B et C\displaystyle C (en effet Qf=H(C)−H(B)=nCpm(T2−T0)<0\displaystyle Q_{f}=H(C)-H(B)=nC_{pm}\left(T_{2}-T_{0}\right)<0) .
    Pour le cycle ΔU=W+Qf+Qc=0\displaystyle \Delta U=W+Q_{f}+Q_{c}=0. D’où
    r=1+QfQc=1+γ(β−1)(γ−1)ln⁡α\displaystyle r=1+\frac{Q_{f}}{Q_{c}}=1+\frac{\gamma\left(\beta-1\right)}{\left(\gamma-1\right)\ln\alpha}.
    r=1+1−βln⁡β.r=1+\frac{1-\beta}{\ln\beta}.
    On vérifie que 1−βln⁡β<0\displaystyle \frac{1-\beta}{\ln\beta}<0 puisque β<1\displaystyle \beta<1, et ∣1−βln⁡β∣<1\displaystyle \left|\frac{1-\beta}{\ln\beta}\right|<1 (par exemple en traçant la courbe y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x et la courbe y=x−1\displaystyle y=x-1) : 0<r<1\displaystyle 0<r<1.

  • Le rendement de Carnot (cycle ditherme avec deux isothermes et deux isentropiques) serait
    rC=1−T2T0=1−β.\displaystyle r_{C}=1-\frac{T_{2}}{T_{0}}=1-\beta.
  • Comparons r\displaystyle r et rC\displaystyle r_{C} en étudiant le signe de r−rC=1−βln⁡β+β\displaystyle r-r_{C}=\frac{1-\beta}{\ln\beta}+\beta, qui est celui de f(β)=β−1−βln⁡β\displaystyle f(\beta)=\beta-1-\beta\ln\beta.
    f′(β)=−ln⁡β>0\displaystyle f'\left(\beta\right)=-\ln\beta>0 pour β<1\displaystyle \beta<1. Or f(1)=0\displaystyle f(1)=0,
    donc f(β)<0\displaystyle f\left(\beta\right)<0 pour β<1\displaystyle \beta<1, soit r<rC\displaystyle r<r_{C} comme attendu.