Diffusion thermique

Diffusion en régime permanent 👉 “théorème de Gauss” pour la diffusion : le flux thermique sortant d’une surface fermée est égale à la puissance thermique produite à l’intérieur de la surface.

1. Effectuons un bilan thermique global pour la boule de rayon $\displaystyle r$ en régime permanent. Ainsi $\displaystyle \phi=\oiint_{\textrm{sphère de rayon }r}\overrightarrow{j_{th}}.\overrightarrow{d^{2}S}=P_{th,int}$ où $\displaystyle P_{th,int}$ est la puissance thermique produite à l’intérieur de la sphère de rayon $\displaystyle r$.

$\displaystyle \begin{cases} \textrm{Pour }r\leq R & P_{th,int}=P\left(\frac{r}{R}\right)^{3}\\ \textrm{Pour }r\geq R & P_{th,int}=P \end{cases}.$

Le problème étudié est à symétrie sphérique : $\displaystyle \overrightarrow{j_{th}}=j_{th}(r)\overrightarrow{u_{r}}$, d’où $\displaystyle \phi=\oiint_{\textrm{sphère de rayon }r}\overrightarrow{j_{th}}.\overrightarrow{d^{2}S}=j_{th}(r).4\pi r^{2}$. D’où

$\displaystyle \begin{cases} \textrm{Pour }r\leq R & \overrightarrow{j_{th}}=\frac{P}{4\pi R^{3}}r\overrightarrow{u_{r}}\\ \textrm{Pour }r\geq R & \overrightarrow{j_{th}}=\frac{P}{4\pi r^{2}}\overrightarrow{u_{r}} \end{cases}.$

La relation $\displaystyle \phi=\oiint_{\textrm{sphère de rayon }r}\overrightarrow{j_{th}}.\overrightarrow{d^{2}S}=P_{th,int}$ , valable en régime permanent, est analogue au théorème de Gauss en électromagnétisme : $\displaystyle \phi=\oiint_{S}\overrightarrow{E}.\overrightarrow{d^{2}S}=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_{0}}$, le champ $\displaystyle \overrightarrow{E}$ étant l’analogue de $\displaystyle \overrightarrow{j_{th}}$ , et $\displaystyle \frac{Q_{int}}{\varepsilon_{0}}$ étant l’analogue de $\displaystyle P_{th,int}$.

2. La loi de Fourier, exprimée dans l’air, $\displaystyle \overrightarrow{j_{th}}=-\lambda\overrightarrow{\textrm{grad }}T=-\lambda\overrightarrow{\textrm{grad }}\theta$ fournit après intégration $$\theta(r=R)=\theta_{0}+\frac{P}{4\pi\lambda R}.$$

En utilisant la puissance volumique $\displaystyle p_{V}=\frac{P}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}$, $\displaystyle \theta(r=R)=\theta_{0}+\frac{p_{V}R^{2}}{3\lambda}$. En supposant la puissance volumique donnée, on voit que la température augmente avec la taille de l’animal. En réalité, la température des mammifères ne présente pas de grandes variations, et d’autres phénomènes sont en jeu pour réguler la température (transferts thermiques via la circulation, transpiration).

Cependant, ce modèle sommaire permet de retrouver que les mamifères marins sont en moyenne plus volumineux que les mammifères terrestres (la conductivité thermique de l’eau est beaucoup plus grande que celle de l’air). Le plus grand mammifère est la baleine bleue, le plus petit est une chauve-souris de 3 cm environ.

3—Etablir une analogie avec un problème électrostatique (on s’en doutait, au vu de la question 2 🙄).

1. $\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}-\frac{\kappa}{\mu c}\Delta T=\frac{p}{\mu c}$.
   En régime stationnaire : $$\Delta T+\frac{p}{\kappa}=0.$$

2. En électrostatique l’équation de Poisson s’écrit $$\Delta V+\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=0.$$ Il y a une analogie formelle avec l’équation précédente à condition de remplacer $\displaystyle \frac{p}{\kappa}$ par $\displaystyle \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$.

3. Le problème analogue en électrostatique serait : déterminer la répartition de potentiel électrostatique créé sur l’axe $\displaystyle (Oz)$ d’un anneau chargé de rayon $\displaystyle R$ de charge linéique $\displaystyle \lambda$ placé en $\displaystyle z=0$ :

$\displaystyle V(z)=\frac{\lambda2\pi R}{4\pi\varepsilon_{0}\sqrt{z^{2}+R^{2}}}=\frac{\lambda R}{2\varepsilon_{0}\sqrt{z^{2}+R^{2}}}+V(z\rightarrow\infty)$
(toutes les charges sont à la même distance $\displaystyle \sqrt{z^{2}+R^{2}}$ du point où on calcule le potentiel).

L’analogue de $\displaystyle \lambda$ est $\displaystyle q$ (distributions linéiques). L’analogue de $\displaystyle \varepsilon_{0}$ est $\displaystyle \kappa$. D’où

$$T(z)=\frac{qR}{2\kappa\sqrt{z^{2}+R^{2}}}+T_0.$$ La valeur maximale de $\displaystyle T$ est obtenue pour $\displaystyle z=0$ , soit (expression homogène) : $$T(0)=\frac{q}{2\kappa}+T_0.$$

A.N. $\displaystyle T(0)=1,8.10^3$ K. C’est beaucoup, mais on n’a pas tenu compte du transfert conducto-convectif, et le lion ne fait que passer…

1. Question de cours classique. On obtient $\displaystyle R_{th}=\frac{L}{\lambda S}$ en K.W$\displaystyle ^{-1}$, le flux thermique de 1 vers 2 est $\displaystyle \phi=\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{th}}$ en W.

2. L’application du premier principe à $\displaystyle S_{1}$ entre les dates $\displaystyle t$ et $\displaystyle t+dt$ donne
   $\displaystyle C_{1}dT_{1}=-\phi dt$.
   De même $\displaystyle C_{2}dT_{2}=\phi dt.$
   Soit $\displaystyle \begin{cases} C_{1}\frac{dT_{1}}{dt}=-\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{th}}\\ C_{2}\frac{dT_{2}}{dt}=\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{th}} \end{cases}.$
   On en déduit $\displaystyle \begin{cases} \frac{d}{dt}\left(C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}\right)=0\\ \frac{d}{dt}\left(T_{1}-T_{2}\right)+\frac{C_{1}+C_{2}}{C_{1}C_{2}R_{th}}\left(T_{1}-T_{2}\right)=0 \end{cases}$
   D’où $\displaystyle \begin{cases} C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}=C_{1}T_{1}^{0}+C_{2}T_{2}^{0}\\ T_{1}-T_{2}=\left(T_{1}^{0}-T_{2}^{0}\right)\exp\left(-t/\tau\right) \end{cases}$
   avec $\displaystyle \tau=\frac{C_{1}C_{2}R_{th}}{C_{1}+C_{2}}$.
   Avec les conditions initiales$\displaystyle \begin{cases} T_{1}(t)=\frac{C_{1}T_{1}^{0}+C_{2}T_{2}^{0}}{C_{1}+C_{2}}+\frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\left(T_{1}^{0}-T_{2}^{0}\right)\exp\left(-t/\tau\right)\\ T_{2}(t)=\frac{C_{1}T_{1}^{0}+C_{2}T_{2}^{0}}{C_{1}+C_{2}}-\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}\left(T_{1}^{0}-T_{2}^{0}\right)\exp\left(-t/\tau\right) \end{cases}.$
   Les deux températures tendent vers la limite attendue
   $$T_{f}=\frac{C_{1}T_{1}^{0}+C_{2}T_{2}^{0}}{C_{1}+C_{2}}.$$

3. $\displaystyle \delta S_{e}=\frac{\delta Q_{1}}{T_{1}}+\frac{\delta Q_{2}}{T_{2}}=\phi dt\left[\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}\right]$. D’où $\displaystyle \frac{\delta S_{e}}{dt}=-\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)^{2}}{R_{th}T_{1}T_{2}}$.
   Comme l’entropie de la conduite ne varie pas, l’entropie créée par unité de temps dans la conduite est $$\frac{\delta S_{c}}{dt}=\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)^{2}}{R_{th}T_{1}T_{2}}>0.$$

4. Le temps d’établissement d’un régime permanent dans la conduite doit être très petit devant les autres temps en jeu . Plus précisément, le temps de diffusion dans la conduite $\displaystyle \frac{L^{2}}{D}=\frac{\varrho cL^{2}}{\lambda}=\varrho cLSR_{th}=CR_{th}$ doit être petit devant le temps $\displaystyle \tau=\frac{C_{1}C_{2}R_{th}}{C_{1}+C_{2}}$ d’évolution des températures. On retrouve que la capacité thermique totale de la conduite doit être petite devant les capacités thermiques de $\displaystyle \mathbb{}S_{1}$ et $\displaystyle S_{2}$.

• Questions 1 à 3 — La capacité thermique $\displaystyle C$ de la conduite est nulle 👉 son état ne change pas et sa variation d’entropie est nulle.
• Régime quasi-stationnaire 👉 Le temps caractéristiques d’évolution des températures est grand devant le temps caractéristique de la diffusion.

-Régime quasi-stationnaire 👉 Supposer que les conditions aux limites sont indépendantes du temps. Cela suppose que les températures varient peu en un temps caractéristique de la diffusion.
-Bilan enthalpique à un seul paramètre $\displaystyle (r)$ en géométrie cylindrique : un grand classique 😀.

1. On réalise un bilan enthalpique sur une couche cylindrique de glace de longueur $\displaystyle L$, comprise entre les rayons $\displaystyle r$ et $\displaystyle r+dr$ entre les instants $\displaystyle t$ et $\displaystyle t+dt$. En régime quasi-stationnaire, la température ne dépend que de $\displaystyle r$ :
   $\displaystyle \left[\phi(r)-\phi\left(r+dr\right)\right]dt=0$
   $\displaystyle \Rightarrow\left[-\lambda2\pi r\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right\rfloor _{r}+-\lambda2\pi\left(r+dr\right)\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right\rfloor _{r+dr}\right]=0$.
   D’où $\displaystyle r\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right\rfloor =C=Cte\Longrightarrow T(r)=C\ln r+D$.
   Avec $\displaystyle T(a)=T_{0}$ et $\displaystyle T(\xi)=T_{S}$,

$$T(r)=\frac{T_{S}\ln\left(r/a\right)-T_{0}\ln\left(r/\xi\right)}{\ln\left(\xi/a\right)}.$$

2. On réalise un bilan enthalpique sur une couche cylindrique de longueur $\displaystyle L$, qui se solidifie entre les instants $\displaystyle t$ et $\displaystyle t+dt$ et qui occupera à $\displaystyle t+dt$ le volume compris entre les rayons $\displaystyle \xi$ et $\displaystyle \xi+d\xi$. On peut noter que ce changement d’état est associé à une varition de volume qui provoque un mouvement dans le fluide, qu’on va négliger.

$\displaystyle dH=\delta Q=\rho_{g}2\pi\xi Ld\xi\left(-\ell_{F}\right)$.
Le transfert thermique est assuré par le flux en $\displaystyle \xi$ (pas de flux en $\displaystyle \xi+d\xi$ car le fluide est de température homogène).

$\displaystyle \begin{aligned}\delta Q&=\phi dt=-\lambda_{g}\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right\rfloor _{\xi}2\pi\xi Ldt\\&=-\lambda_{g}\frac{T_{S}-T_{0}}{\xi\ln\left(\xi/a\right)}2\pi\xi Ldt.\end{aligned}$
D’où $\displaystyle \rho_{g}d\xi\ell_{F}=\lambda_{g}\frac{T_{S}-T_{0}}{\xi\ln\left(\xi/a\right)}dt$.
Etape incontournable de séparation des variables et intégration avec une petite I.P.P. 😬…
$\displaystyle \left[\xi\ln\left(\xi\right)-\xi\ln\left(a\right)\right]d\xi=\lambda_{g}\frac{T_{S}-T_{0}}{\rho_{g}\ell_{F}}dt$, puis

$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{a}^{\xi(t)}\left[x\ln\left(x\right)-x\ln\left(a\right)\right]dx\\&=\left[\frac{x^{2}}{2}\ln\left(x\right)\right]_{a}^{\xi}-\int_{a}^{\xi(t)}\frac{1}{2}xdx-\int_{a}^{\xi(t)}x\ln\left(a\right)dx\\&=\frac{\xi^{2}}{2}\ln\left(\xi\right)-\frac{a^{2}}{2}\ln\left(a\right)-\left[\ln\left(a\right)+\frac{1}{2}\right]\frac{1}{2}\left(\xi^{2}-a^{2}\right)\\&=\frac{\xi^{2}}{2}\ln\left(\xi/a\right)-\frac{1}{4}\left(\xi^{2}-a^{2}\right).\end{aligned}$

Donc $\displaystyle \frac{\xi^{2}}{2}\ln\left(\xi/a\right)-\frac{1}{4}\left(\xi^{2}-a^{2}\right)=\lambda_{g}\frac{T_{S}-T_{0}}{\rho_{g}\ell_{F}}t.$
Pour $\displaystyle \xi=2a$ , $$t_{0}=\frac{\rho_{g}\ell_{F}}{\lambda_{g}\left(T_{S}-T_{0}\right)}a^{2}\left[2\ln\left(2\right)-\frac{3}{4}\right].$$

Le temps est d’autant plus long que l’écart de température est faible. Il augmente avec $\displaystyle a^{2}$, cohérent avec la loi d’échelle de la diffusion, et homogène.

3. L’approximation quasi-stationnaire suppose que le temps de diffusion est court devant le temps correspondant à la solidification. Pour le vérifier, estimons le temps de diffusion sur une distance $\displaystyle L$ par
   $\displaystyle \tau_{d}=L^{2}/D_{th}=\frac{L^{2}}{\lambda_{g}}\rho_{g}c_{g}$.
   Pour $\displaystyle L=a, \tau_{d}=\frac{a^{2}}{\lambda_{g}}\rho_{g}c_{g}$.
   Calculons $\displaystyle \frac{\tau_{d}}{t_{0}}\simeq\frac{c_{g}\left(T_{S}-T_{0}\right)}{\ell_{F}}\simeq\frac{2,1.10^{3}20}{333.10^{3}}=0,1$, l’approximation semble légitime.

Exercice 63 ⭐️⭐️ Conductivité dépendant de T, Spé/L2

Un cylindre métallique, d’axe $\displaystyle \left(Ox\right)$, de longueur $\displaystyle l$ a une conductivité dépendant de la température selon la loi $\displaystyle \lambda=\lambda_{0}\frac{T_{0}}{T}$. Les conditions aux limites du cylindre sont $\displaystyle T(x=0)=T_{1}$ et $\displaystyle T(x=l)=T_{2}$.

On étudie le régime stationnaire en l’absence de source et le problème est considéré unidimensionnel.

Déterminer $\displaystyle T(x)$ exprimer la différence $\displaystyle \delta(x)=T(x)-T_{\lambda_{0}}(x)$ où $\displaystyle T_{\lambda_{0}}(x)$ est la température correspondant à une conductivité constante $\displaystyle \lambda_{0}$. Commentez.

Le flux thermique $\displaystyle \phi=\iint\left(-\lambda\overrightarrow{\textrm{grad}}T.\overrightarrow{d^{2}S}\right)=-\lambda_{0}\frac{T_{0}}{T\left(x\right)}T'(x)S$ est constant. En séparant les variables $$T'(x)+\frac{\phi}{\lambda_{0}T_{0}S}T(x)=0.$$ D’où $\displaystyle T(x)=A\exp\left(\alpha x\right)$ avec $\displaystyle \alpha=-\frac{\phi}{\lambda_{0}T_{0}S}>0$ (le flux dans le sens $\displaystyle (Ox)$ est négatif puisque $\displaystyle T_{2}>T_{1})$. Avec les conditions aux limites, $\displaystyle A=T_{1}$ et $\displaystyle \alpha=l\ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)$, soit $$T(x)=T_{1}\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{x/l}.$$
Pour une conductivité constante $\displaystyle T"=0$, et $$T_{\lambda_{0}}(x)=T_{1}+\left(T_{2}-T_{1}\right)\frac{x}{l}.$$
D’où
$$\delta(x)=T_{1}\exp\left(\frac{x}{l}\ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)\right)-T_{1}(1+\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}-1\right)\frac{x}{l}).$$
$\displaystyle \delta(x)$ tend bien sûr vers $\displaystyle 0$ quand $\displaystyle \frac{T_{2}}{T_{1}}\rightarrow1$.
Pour $\displaystyle \frac{T_{2}}{T_{1}}\rightarrow1$, $\displaystyle \ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)=\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}-1\right)$ à l’ordre 1 en $\displaystyle \frac{T_{2}}{T_{1}}-1$, et $\displaystyle T_{\lambda_{0}}$ correspond aux premiers termes du développement de $\displaystyle T(x)$ en $\displaystyle \frac{T_{2}}{T_{1}}-1$.

Hypothèse quasi stationnaire pour les transferts thermiques 👉 Les conditions aux limites sont supposées inchangées (y compris ici l’aire de la base de la goutte) pour évaluer flux thermiques et variations de $\displaystyle T$ avec l’altitude.

1. $\displaystyle R\gg h$. La goutte peut être modélisée comme
   une couche quasi “infinie” par rapport aux variations selon $\displaystyle \left(Oz\right)$.
   En négligeant les effets de bords, $\displaystyle T$ ne dépend que de $\displaystyle z$.

2. On applique le premier principe de la thermodynamique, appliqué entre $\displaystyle t$ et $\displaystyle t+dt$ pour l’élément de section $\displaystyle S$, compris entre $\displaystyle z$ et $\displaystyle z+dz$. En se plaçant en régime (quasi) stationnaire, la variation d’enthalpie de la petite tranche
   est nulle, et elle est égale au transfert thermique reçu. En faisant apparaitre les flux thermiques en $\displaystyle z$ et $\displaystyle z+dz$
   $\displaystyle d^{2}H=0=dt\left[\phi(z)-\phi(z+dz)\right]=\frac{d\phi}{dz}dzdt$,
   soit avec la loi de Fourier $$T"(z)=0.$$

3. La température de la goutte en caléfaction est égale à la température de vaporisation de l’eau $\displaystyle T_{e}$ puisqu’il y a changement d’état et présence simultanée du liquide et de la vapeur.
   En appelant $\displaystyle T_{p}$ la température de la plaque, avec l’origine des $\displaystyle z$ au niveau de la plaque,
   $$T(z)=T_{p}+\left(T_{e}-T_{p}\right)\frac{z}{e_{0}}.$$

4. Le flux thermique reçu par la goutte est
   $\displaystyle \phi=\iint_{base\:goutte}\overrightarrow{j_{th}}.\overrightarrow{dS}=-\lambda\frac{dT}{dr}\pi R^{2}$
   soit
   $$\phi=\lambda\frac{\Delta T}{e_{0}}\pi R^{2}.$$
   A priori , il faudrait tenir compte d’un transfert conducto-convectif au sommet de la goutte, entre l’air ambiant et la goutte, on le néglige ici.

5. Un bilan d’enthalpie sur la goutte entière pendant $\displaystyle dt$ donne
   $\displaystyle dH=-\dot{m}dtL=\phi dt$, soit
   $$\dot{m}=-\frac{\lambda\Delta T\pi R^{2}}{e_{0}L}.$$
   A.N. : $\displaystyle \dot{m}=-8,6.10^{-6}$ kg/s. La masse initiale de la goutte est $\displaystyle m=\rho\pi R^{2}h$.
   On peut estimer le temps de disparition de la goutte
   -en l’approximant simplement à $\displaystyle \tau=\frac{m}{\dot{m}}=\frac{\rho he_{0}L}{\lambda\Delta T}$
   (homogène). Le rayon n’intervient pas car le flux thermique et la
   quantité de matière varient en $\displaystyle R^{2}$.
   -en supposant que c’est le rayon qui diminue (il s’agit encore d’une estimation grossière puisqu’on est supposé avoir à chaque instant $\displaystyle R\gg h$), $\displaystyle \dot{m}=\rho\pi Rh\dot{R},$ soit $\displaystyle \dot{R}+\frac{\lambda\Delta T}{\rho he_{0}L}R=0$.
   Il s’en déduit un ordre de grandeur pour la durée de vie
   $$\tau=\frac{\rho he_{0}L}{\lambda\Delta T}.$$

Commentaire — De manière prévisible, plus la plaque est chaude et plus la conductivité de la vapeur est grande, plus $\displaystyle \tau$ est bref ; plus la chaleur latente est grande, plus $\displaystyle \tau$ est grand. $\displaystyle \tau$ dépend de $\displaystyle h$ car cela indique la quantité de matière à évaporer.
A.N. : $\displaystyle \tau=2$ minutes.
Remarque — Le modèle est excessivement sommaire. Un modèle plus élaboré tient compte du mouvement de la vapeur, qui s’échappe latéralement, du transfert conducto-convectif goutte-air, et de l’aspect non-stationnaire.

Résistance thermique 👉 On se place en régime permanent ou quasi-permanent. Analogie entre électrocinétique et diffusion thermique en régime permanent : $\displaystyle T_{1}-T_{2}=R_{th}\phi_{1\rightarrow2}$.
La température (uniforme) de l’ours est donnée 👉 Faire un bilan global pour l’ours.

1. En utilisant l’analogie entre électrocinétique et diffusion thermique en régime permanent, $\displaystyle T_{int}-T_{air}=R_{th1}\phi$, où $\displaystyle \phi$ est le flux thermique traversant la fourrure de l’intérieur vers l’extérieur, et $\displaystyle R_{th1}$ la résistance thermique de la fourrure. Comme $\displaystyle e\ll R$, la résistance thermique de la géométrie plane peut être utilisée $\displaystyle R_{th1}=\frac{1}{\lambda}\frac{e}{S}=\frac{1}{\lambda}\frac{e}{4\pi R^{2}}$.
   Le flux thermique, en Watt, est la puissance perdue par l’ours. D’où
   $$P=\phi=4\pi\lambda R^{2}\frac{T_{int}-T_{air}}{e}.$$
   A.N. $\displaystyle R_{th1}=0,8\textrm{ K}$ et $\displaystyle P=4.10^{1}\textrm{ W}.$

2. Selon la loi de Newton, le flux thermique conducto-convectif depuis l’ours vers l’air est $\displaystyle \phi'=hS\left(T_{S}-T_{air}\right)$, où $\displaystyle T_{S}$ est la température de la fourrure au contact de l’air, et $\displaystyle S=4\pi\left(R+e\right)^{2}$ l’aire de l’interface ours-air. La conducto-convection est donc associée à une résistance thermique $$R_{th2}=\left[4\pi h\left(R+e\right)^{2}\right]^{-1}\simeq\left[4\pi hR^{2}\right]^{-1}.$$

3. Le même flux thermique traverse successivement la fourrure, puis l’interface fourrure-air, les deux résistances sont donc en série.
   
   L’expression obtenue en 1) pour $\displaystyle R_{th1}$ est inchangée (maintenant $\displaystyle T_{int}-T_{S}=R_{th1}\phi$'). La résistance thermique globale est $$R_{th}=R_{th1}+R_{th2}=\frac{1}{4\pi R^{2}}\left(\frac{e}{\lambda}+\frac{1}{h}\right),$$ et la puissance perdue par l’ours est $$P'=4\pi R^{2}\frac{T_{int}-T_{air}}{\frac{e}{\lambda}+\frac{1}{h}}.$$
   A.N. Les valeurs numériques de $\displaystyle R_{th}$ et $\displaystyle P$ sont pratiquement inchangées. La fourrure joue son rôle d’isolation et le transfert conducto-convectif est négligeable.

4. Pendant $\displaystyle \Delta t=4\textrm{ mois}$, l’ours consomme une énergie $\displaystyle W=P.\Delta t$ qui lui est apportée par une masse $\displaystyle m$ de lipide. Avec $\displaystyle w=32\textrm{ kJ.g}^{-1}$ $\displaystyle W=mw$ et $$m=\frac{P.\Delta t}{w}.$$
   A.N. Avec $\displaystyle \Delta t=$ 4x30x24x3600 s, $\displaystyle m=14\textrm{ kg}$.

5. Supposons que la température de l’ours décroît lentement par rapport au temps caractéristique de diffusion thermique dans la fourrure. Alors on se place en régime quasi-stationnaire et la notion de résistance thermique reste pertinente. Le bilan thermique global de l’ours, de température supposée uniforme $\displaystyle T$ est $\displaystyle Mc\frac{dT}{dt}=-P$, où $\displaystyle M$ est sa masse, qui est constante dans cette étape et $\displaystyle c$ sa capacité thermique massique. Ainsi $$Mc\frac{dT}{dt}=-P=-\frac{1}{R_{th}}\left(T-T_{air}\right).$$On suppose qu’à $\displaystyle t=0$, la température de l’ours est $\displaystyle T_{int}$. Alors $$T=T_{air}+\left(T_{int}-T_{air}\right)\exp\left(-t/\tau\right)$$ avec $\displaystyle \tau=McR_{th}$.

Remarque ___ Pour justifier la validité de l’approximation quasi-stationnaire,
il faut vérifier $\displaystyle \tau_{\textrm{diffusion}}\ll\tau$.
En ordre de grandeur $\displaystyle \tau_{\textrm{diffusion}}\sim e^{2}/D_{th}=e^{2}/\left(\lambda/\rho c'\right)$ avec $\displaystyle \rho,c'$ masse volumique et capacité thermique massique de la fourrure. Pour un matériau isolant, de type laine de verre, $\displaystyle D_{th}\sim10^{-6}\textrm{m}^{2}.\textrm{s}^{-1}$, soit $\displaystyle \tau_{\textrm{diffusion}}\sim3.10^{3}\textrm{ s}\sim50\textrm{ minutes}$.
En ordre de grandeur toujours, $\displaystyle M\sim200\textrm{ kg}$ et $\displaystyle c\sim c_{\textrm{eau}}=4,2.10^{3}\textrm{J.K}^{-1}.\textrm{kg}^{-1}$. D’où $\displaystyle \tau\sim7.10^{5}\textrm{ s}\gg\tau_{\textrm{diffusion}}.$

Fluide en écoulement 👉 Possibilité de raisonner sur un système ouvert ou fermé. Pour ce bilan énergétique, l’énoncé indique de raisonner sur un système fermé, la tranche comprise entre $\displaystyle x$ et $\displaystyle x+dx$ à la date $\displaystyle t$. Attention, ici au début on n’est pas en régime permanent.
Bilan énergétique 👉 Appliquer le premier principe. En phase condensée, sauf mention explicite de l’énoncé, on ne tient pas compte du travail.

1. La tranche comprise entre $\displaystyle x$ et $\displaystyle x+dx$ à la date $\displaystyle t$ se trouve entre $\displaystyle x+vdt$ et $\displaystyle x+dx+v(t+dt)dt$ à la date $\displaystyle t+dt$. Sa variation d’énergie entre $\displaystyle t$ et $\displaystyle t+dt$ est due au transfert thermique diffusif dans le métal, et au transfert conducto-convectif avec l’air extérieur ; il n’y a pas de variation de l’énergie cinétique.
   $$\delta E(t+dt)-\delta E(t)=\delta ^2 Q_{diff}+\delta ^2 Q_{cc},$$ avec
   $\displaystyle \delta E(t)=\rho cSdxT(x,t)$,
   $\displaystyle \delta E(t+dt)=\rho cSdxT(x+vdt,t+dt)$,
   et à l’ordre 1 en $\displaystyle dx$ et $\displaystyle dt$,
   $\displaystyle \delta ^2 Q_{diff}=\left[j(x,t)S-j(x+dx,t)S\right]dt$ et
   $\displaystyle \delta ^2 Q_{cc}=h\ell dx\left(T(x,t)-T_{0}\right)dt$
   soit
   $\displaystyle \rho c\ell^{2}dx\left[\frac{\partial T}{\partial x}vdt+\frac{\partial T}{\partial t}dt\right]=\lambda\ell^{2}\left[\frac{\partial T}{\partial x}(x+dx,t)-\frac{\partial T}{\partial x}(x,t)\right]dt-h\ell dx\left[T(x,t)-T_{0}\right]dt$
   $\displaystyle \Longleftrightarrow\rho c\ell\left[\frac{\partial T}{\partial x}v+\frac{\partial T}{\partial t}\right]=\lambda\ell\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}-h\left[T(x,t)-T_{0}\right]$.
   Si le régime est permanent : $$\rho c\ell v\frac{dT}{dx}=\lambda\ell\frac{d^{2}T}{dx^{2}}-h\left[T(x,t)-T_{0}\right].$$

2. On cherche à quelle condition le premier terme (contenant la vitesse) est négligeable. Soit $\displaystyle L$ un ordre de grandeur d’une distance caractéristique associé à une variation de température $\displaystyle \Delta T=T_c-T_{0}$ :
   Il faut $\displaystyle \lambda\ell\frac{\Delta T}{L^{2}}\simeq h\Delta T$, soit $\displaystyle L\simeq\sqrt{\frac{\lambda\ell}{h}}$ et $\displaystyle \rho c\ell v\frac{\Delta T}{L}\ll h\Delta T$, soit $\displaystyle \rho c\ell v\ll hL\simeq\sqrt{h\lambda\ell}$. D’où $$v\ll v_{c}=\frac{1}{\rho c}\sqrt{\frac{h\lambda}{\ell}}.$$

3. On s’intéresse à la phase liquide.
   $\displaystyle \frac{d^{2}T}{dx^{2}}=\frac{h}{\lambda\ell}\left[T(x,t)-T_{0}\right]=\frac{1}{\delta^{2}}\left[T(x,t)-T_{0}\right]$. On remarque $\displaystyle \delta=L$.
   D’où $\displaystyle T(x,t)=T_{0}+A\exp\left(-x/\delta\right)+B\exp\left(x/\delta\right)$. La température ne pouvant augmenter infiniment pour $\displaystyle x_{1}\gg\delta$,$\displaystyle B=0$. Avec les conditions aux limites, $$T(x)=T_{0}+\left(T_{C}-T_{0}\right)\exp\left(-x/\delta\right).$$
   $\displaystyle T(x_{1})=T_{f}=T_{0}+\left(T_{C}-T_{0}\right)\exp\left(-x_{1}/\delta\right)$, d’où $$x_{1}=\delta\ln\left(\frac{T_{c}-T_{0}}{T_{f}-T_{0}}\right).$$

4. On est toujours en régime permanent et la température du mélange solide-liquide reste constante. On utilise le premier principe pour les écoulements permanents (on raisonne sur le système constitué par le métal compris entre $\displaystyle x_{1}$ et $\displaystyle x_{1}+d$ à la date $\displaystyle t$ et le métal qui entre en $\displaystyle x_{1}$ pendant $\displaystyle dt$)
   $\displaystyle D_{m}dt\left(-L_{f}\right)=-hd\ell\left[T_{f}-T_{0}\right]dt$
   Soit avec un débit massique $\displaystyle D_{m}=\rho v\ell^{2}$ : $$d=\frac{\rho v\ell L_{f}}{h\left[T_{f}-T_{0}\right]}$$