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Changements d'état

Exercice 17 ⭐️⭐️ Enthalpie de changement d’état, Spé/L2

  1. La relation de Clapeyron donne l’expression la chaleur latente massique ou enthalpie massique de changement d’état l1→2(T)\displaystyle l_{1\rightarrow2}(T) pour passer de la phase 1 à la phase 2 d’un corps pur : l1⟶2(T)=Tα(v2−v1)β(dPeqdT)γ\displaystyle l_{1\longrightarrow2}(T)=T^{\alpha}(\text{v}_{2}-\text{v}_{1})^{\beta}(\frac{dP_{eq}}{dT})^{\gamma}
    où v2,v1\displaystyle v_{2},v_{1} sont les volumes massiques des phases 2 et 1, T\displaystyle T la température, et Peˊq(T)\displaystyle P_{\acute{e}q}(T) la pression d’équilibre entre les deux phases à la température T\displaystyle T. Par analyse dimensionnelle, trouver les valeurs de α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma.

  2. Dans un tube à essai ouvert à l’air libre, à la température t=−5\displaystyle t=-5°C, se trouve un corps pur sous deux phases solide et liquide. Les hauteurs de solide et de liquide dans le tube sont respectivement hs\displaystyle h_{s} et hℓ\displaystyle h_{\ell}, la phase solide occupant le bas du tube. Quand on passe de t=−5\displaystyle t = -5°C à t′=−5,2\displaystyle t' = -5,2°C, la hauteur de la zone occupée par le solide augmente de 40 cm.
    En déduire l’enthalpie de fusion de ce corps pur.
    Les masses volumiques sont supposées constantes : pour le solide μs=2600 kg.m−3\displaystyle \mu_{s}=2600\textrm{ kg}.\textrm{m}^{-3} et pour le liquide μl=1000 kg.m−3\displaystyle \mu_{l}=1000\textrm{ kg}.\textrm{m}^{-3}.

Utiliser la loi de l’hydrostatique (au programme de sup en PCSI, vue en spé MP dans l’introduction à la physique statistique) pour évaluer la pression à l’interface.

  1. l1⟶2(T)\displaystyle l_{1\longrightarrow2}(T) est une énergie par unité de masse : [l1⟶2(T)]≡L2.T−2\displaystyle \left[l_{1\longrightarrow2}(T)\right]\equiv\textrm{L}^{2}.\textrm{T}^{-2}

[(v2−v1)β]≡(L3.M−1)β\displaystyle \left[(\text{v}_{2}-\text{v}_{1})^{\beta}\right]\equiv\left(\textrm{L}^{3}.\textrm{M}^{-1}\right)^{\beta} et [(dPeqdT)γ]≡(M.L−1.T−2.Θ−1)γ\displaystyle \left[(\frac{dP_{eq}}{dT})^{\gamma}\right]\equiv\left(\textrm{M.L}^{-1}.\textrm{T}^{-2}.\Theta^{-1}\right)^{\gamma} (une pression est une force divisée par une surface)

D’où {2=3β−γpour L−2=−2γpour T0=−β+γpour M0=α−γpour Θ\displaystyle \begin{cases} 2=3\beta-\gamma & \textrm{pour L}\\ -2=-2\gamma & \textrm{pour T}\\ 0=-\beta+\gamma & \textrm{pour M}\\ 0=\alpha-\gamma & \textrm{pour }\Theta \end{cases}, soit α=β=γ=1\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=1.

l1⟶2(T)=T(v2−v1)(dPeqdT).l_{1\longrightarrow2}(T)=T(\text{v}_{2}-\text{v}_{1})(\frac{dP_{eq}}{dT}).

  1. Les volumes massiques de solide et du liquide sont connus (inverses des masses volumiques). Trouver l’enthalpie de changement d’état nécessite de connaitre dPeqdT\displaystyle \frac{dP_{eq}}{dT}, qui peut être approximée dPeqdT≃ΔPeˊqΔT\displaystyle \frac{dP_{eq}}{dT}\simeq\frac{\Delta P_{\acute{e}q}}{\Delta T} , au vu du faible écart de température.
    À l’interface liquide-solide, il y a équilibre entre les deux phases. La pression y est égale à la pression d’équilibre solide-liquide à la température de l’expérience. La loi de la statique des fluides permet de l’exprimer en fonction de la hauteur de liquide.
    Exprimons la conservation de la masse : soient hs\displaystyle h_{s} et hℓ\displaystyle h_{\ell} les hauteurs de solide et de liquide dans le premier cas, hs′\displaystyle h'_{s} et hℓ′\displaystyle h'_{\ell} dans le second cas. Alors μℓhℓ+μshs=μℓhℓ′+μshs′\displaystyle \mu_{\ell}h_{\ell}+\mu{}_{s}h_{s}=\mu_{\ell}h'_{\ell}+\mu{}_{s}h'_{s}
    Avec la loi de la statique des fluides Peˊq=P0+μℓghℓ\displaystyle P_{\acute{e}q}=P_{0}+\mu_{\ell}gh_{\ell} et Peˊq′=P0+μℓghℓ′\displaystyle P'_{\acute{e}q}=P_{0}+\mu_{\ell}gh'_{\ell} , où P0\displaystyle P_{0} est la pression atmosphérique,
    d’où ΔPeˊq=Peˊq′−Peˊq=μℓg(hℓ′−hℓ)=μℓgμsμℓ(hs−hs′)\displaystyle \Delta P_{\acute{e}q}=P'_{\acute{e}q}-P_{\acute{e}q}=\mu_{\ell}g\left(h'_{\ell}-h{}_{\ell}\right)=\mu_{\ell}g\frac{\mu_{s}}{\mu_{\ell}}\left(h_{s}-h'_{s}\right)
    Il s’en déduit : ls⟶ℓ(T)=T(1μℓ−1μs)μsg(hs−hs′)ΔT\displaystyle l_{s\longrightarrow\ell}(T)=T(\frac{1}{\mu_{\ell}}-\frac{1}{\mu_{_{s}}})\frac{\mu_{s}g\left(h_{s}-h'_{s}\right)}{\Delta T}. ls⟶ℓ=TΔTμs−μℓμℓg(hs−hs′),l_{s\longrightarrow\ell}=\frac{T}{\Delta T}\frac{\mu_{s}-\mu_{\ell}}{\mu_{\ell}}g\left(h_{s}-h'_{s}\right),

expression homogène en m−2.\displaystyle ^{-2}.s−2\displaystyle ^{-2}, avec ΔT=t′−t\displaystyle \Delta T=t'-t et T\displaystyle T en Kelvin.

A.N. : hs−hs′=−0,4 m,ΔT=−0,2 K,T=268 K\displaystyle h_{s}-h'_{s}=-0,4\textrm{ m}, \Delta T=-0,2\textrm{ K}, T=268\textrm{ K}, d’où ls⟶ℓ=8,4 kJ.kg−1\displaystyle l_{s\longrightarrow\ell}=8,4\textrm{ kJ.kg}^{-1}.