Optique géométrique

Modélisation de l’oeil : association d’une lentille de vergence variable (le cristallin) et d’un capteur fixe (la rétine).
Lentilles minces 👉 formules de conjugaison (Descartes ou Newton).

1. Le patient est myope. Un oeil emmétrope (normal) peut accomoder pour faire l’image d’un objet entre $\displaystyle -\infty$ et -25 cm. Ici, le cristallin correspond à une lentille trop convergente : sa distance focale maximale est plus petite que la distance fixe cristallin-rétine : l’image d’un objet à grande distance (supérieure à 26 cm) ne peut jamais se former sur la rétine.

• Pour un oeil emmétrope, lorsqu’une personne accomode, elle fait varier la courbure de son cristallin et modifie ainsi la distance focale de la lentille équivalente. $\displaystyle f'$ varie de $\displaystyle f'_{1}$ (sans accomodation, c’est l’observation à l’infini, c’est aussi la distance cristallin-rétine, c’est-à-dire la distance du cristallin à l’image qui est formée) à $\displaystyle f'_{2}$ telle que

$\displaystyle \frac{1}{f'_{1}}-\frac{1}{-PP}=\frac{1}{f'_{2}}$, soit $\displaystyle f'_{2}=\frac{f'_{1}.PP}{f'_{1}+PP}<f'_{1}$.

• Pour le patient myope, $\displaystyle f'$ varie de $\displaystyle f'_{1}$ (lorsque l’image de l’objet à $\displaystyle d_{1}$= 26 cm se forme sur la rétine, $\displaystyle f'_{1}$ n’est pas égale à la distance $\displaystyle d$ cristallin-rétine) à $\displaystyle f'_{2}$ (lorsque l’image de l’objet à $\displaystyle d_{2}$= 13 cm se forme sur la rétine, $\displaystyle f'_{2}$ n’est pas non plus égale à la distance $\displaystyle d$ cristallin-rétine)

$\displaystyle \frac{1}{d}-\frac{1}{-d_{1}}=\frac{1}{f'_{1}}$ et $\displaystyle \frac{1}{d}-\frac{1}{-d_{2}}=\frac{1}{f'_{2}}$.

• La correction apportée par les lunettes doit être telle que l’image par les lunettes d’un objet situé à une distance de l’oeil entre l’infini et 26 cm se trouve à une distance en cm du cristallin $\displaystyle d_{2}=13,5<d_{3}<d_{1}=26$. Ainsi pour un objet à l’infini, il faudrait que l’image par les lunettes soit à $\displaystyle 26-2 = 24$ cm des lunettes, il faut donc une lentille divergente de focale $\displaystyle f'= -24$ cm ou une vergence $\displaystyle V=4,2\textrm{ en dioptrie}$.

On vérifie que pour un objet situé à 25 cm de l’oeil (qui correspond au P.P. de l’oeil normal), son image par les lunettes se fera à une distance d’ du cristallin telle que, numériquement, $\displaystyle -\frac{1}{d'}-\frac{1}{-25}=-\frac{1}{24}$, soit $\displaystyle d'$=12,2 cm, soit une distance des yeux (du cristallin) de 14,2 cm.

• Pour des lentilles de contact, qu’on suppose à une position identique aux cristallins, on a directement

$\displaystyle f'=-26$ cm ou une vergence $\displaystyle V = 3,85$ en dioptries.

2. Avec l’âge, le patient devient presbyte, c’est-à-dire qu’il n’arrive plus à accomoder. Pour lire son journal, il lui suffit d’enlever ses lunettes et de placer le journal à 26 cm de ses yeux. En revanche, il ne verra toujours guère au-delà de 26 cm.

Dispositif afocal 👉 l’image d’un objet à l’infini est à l’infini.

1. L’image d’un objet à l’infini par la lentille convergente L1 est en $\displaystyle F'_1$. L’image par le miroir est le symétrique de $\displaystyle F'_1$ par rapport à $\displaystyle M$, et coïncide avec le foyer objet $\displaystyle F_2$ de la lentille $\displaystyle L_{2}$, dont l’image par $\displaystyle L_{2}$ est à l’infini par définition.

2. Le diamètre angulaire de Jupiter vu de la Terre est $\displaystyle \alpha\simeq2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{d}{D}$.
   
   Dans le plan focal image de $\displaystyle L_{1}$, l’image intermédiaire de Jupiter a un diamètre $\displaystyle 2F'_{1}A_{1}=\alpha f'_{1}$. C’est aussi le diamètre de son image par le miroir $\displaystyle (F'_{1}A_{1}=F_{2}A_{2})$. Les rayon extrêmes du faisceau émergeant de $\displaystyle L_{2}$ font ainsi un angle $\displaystyle \beta\simeq2\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)=\alpha\frac{f'_{1}}{f'_{2}}$.

A.N. Alors que $\displaystyle \alpha=2.10^{-4}\mathbb{\textrm{radians }}$ est inférieur au pouvoir séparateur de l’oeil $\displaystyle (3.10^{-4}\textrm{ radians})$, l’image obtenue par le télescope a un diamètre angulaire $\displaystyle \beta=2.10^{-3}$ radians, l’image n’apparaît pas ponctuelle.

Remarque — On peut simplifier le système en “repliant” le schéma par rapport au miroir. $\displaystyle F'_{1}$ et $\displaystyle F_{2}$ se superposent, ainsi que $\displaystyle A_{1}$ et $\displaystyle A_{2}$. On a juste une lunette afocale dont le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet de l’oculaire.

• Déterminer la vergence d’une lentille 👉 Relations de conjugaison.
• Dioptre plan 👉 Un dioptre plan est stigmatique dans l’approximation des petits angles. Un point image est le point d’intersection des rayons issus d’un point objet et déviés par la traversée du dioptre.

1. Considérons pour simplifier que $\displaystyle A$ et son image $\displaystyle A'$ sont sur l’axe optique du cristallin. Traçons le rayon issu de l’extrémité $\displaystyle B$ et passant par $\displaystyle O$. Il est non dévié par la lentille, mais réfracté par le dioptre, puis arrive en $\displaystyle B'$ sur la rétine.
   
   L’image se forme effectivement sur la rétine, elle est donc réelle.
   Le rayon issu de $\displaystyle B$ passant par O, est non dévié par la lentille, mais il est dévié par le dioptre qui lui est accolé. Soient $\displaystyle i$ et $\displaystyle r$ les angles d’incidence et de réfraction correspondants. D’après Descartes, $\displaystyle n_{0}\sin i=n_{1}\sin r$. Dans la limite des petits angles justifiée ici, $\displaystyle \sin i\sim\tan i=\frac{\overline{AB}}{\overline{OA}}$ et $\displaystyle \sin r\sim\tan r=\frac{\overline{A'B'}}{d}$. D’où $\displaystyle \overline{A'B'}=\frac{n_{0}}{n_{1}}\frac{\overline{AB}}{\overline{OA}}d$ et le grandissement $\displaystyle \gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{n_{0}}{n_{1}}\frac{d}{\overline{OA}}<0$, l’image est inversée.
   A.N. $\displaystyle \overline{A'B'}=-1,1\textrm{ mm }$ et $\displaystyle \gamma=1,1.10^{-2}$.
2. Soient $\displaystyle \left(A_{1},B_{1}\right)$ les images de $\displaystyle \left(A,B\right)$ par la lentille.
   $\displaystyle \left(A',B'\right)$ sont les images de $\displaystyle \left(A_{1},B_{1}\right)$ par le dioptre.
   Déterminons la position de $\displaystyle A_{1}$, en utilisant l’approximation des petits angles et en considérant seulement un dioptre plan. Un rayon incident, normal au dioptre, traverse le dioptre sans être dévié. $\displaystyle A_{1}$ et $\displaystyle A'$ sont donc sur la même normale au dioptre.
   
   Un rayon quelconque (ou son prolongement) qui passe par $\displaystyle A_{1}$ arrive sur le dioptre en $\displaystyle H$. Ce rayon est dévié à la traversée du dioptre et arrive en $\displaystyle A'$. Avec les notations de la figure,
   $\displaystyle \begin{cases} n_{0}\sin\alpha=n_{1}\sin\beta\\ \sin\alpha\sim\tan\alpha=\frac{\overline{OH}}{\overline{OA_{1}}}\\ \sin\beta\sim\tan\beta=\frac{\overline{OH}}{\overline{OA'}} \end{cases}$,
   d’où $$\overline{OA_{1}}=\frac{n_{0}}{n_{1}}\overline{OA'}.$$
   Vis à vis du dioptre, $\displaystyle A_{1}$ est un objet virtuel.
   On déduit de la position de $\displaystyle A_{1}$ la vergence de la lentille équivalente au cristallin avec la relation de conjugaison $\displaystyle \frac{1}{\overline{OA_{1}}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f'}=V$, soit
   $$V=\frac{n_{1}}{n_{0}d}-\frac{1}{\overline{OA}}.$$
   A.N. $\displaystyle V=90$ dioptries.

• Interface entre milieux d’indices différents 👉 Lois de Descartes.
• Courbe $\displaystyle y=f(x)$ 👉 la pente de la tangente à la courbe est $\displaystyle \tan\alpha=\frac{dy}{dx}$.

1. Les lois de Descartes indiquent que le rayon lumineux réfracté reste dans le plan vertical initial, qui est le plan d’incidence, et que $\displaystyle n_{i}\cos\left(\alpha_{i}\right)=n_{i+1}\cos\left(\alpha_{i+1}\right)$.
   De proche en proche, pour tout $\displaystyle \left(i,j\right)$, $$n_{i}\cos\left(\alpha_{i}\right)=n_{j}\cos\left(\alpha_{j}\right).$$
   
   Plus $\displaystyle i$ augmente, plus $\displaystyle \alpha_{i}$ diminue, le rayon s’écarte de plus en plus de la normale verticale. La dépendance de l’indice avec $\displaystyle i$ n’est pas donnée, mais il est vraisemblable qu’apparait pour une valeur $\displaystyle i_{0}$ de $\displaystyle i$, dépendant de l’angle d’incidence initial, une réflexion totale sur l’interface $\displaystyle i_{0}/i_{0}+1$.

2. En passant à la limite continue, $\displaystyle n(y)\cos\left(\alpha(y)\right)=C_{0}$.
   Avec $\displaystyle \tan\alpha=\frac{dy}{dx}$, $\displaystyle \cos^{2}\left(\alpha\right)=\frac{1}{1+\tan^{2}\left(\alpha\right)}=\frac{1}{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}$.
   D’où $\displaystyle n^{2}=C_{0}\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]$.
   En dérivant $\displaystyle \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$ par rapport à $\displaystyle x$,
   $\displaystyle 2\frac{dy}{dx}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{C_{0}}\frac{d}{dx}\left(n^{2}(y)\right)$.
   On calcule le second terme comme une dérivée composée $\displaystyle \frac{d}{dx}\left(n^{2}(y)\right)=\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}\left(n^{2}(y)\right)$. D’où $\displaystyle \frac{dy}{dx}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{2C_{0}}\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}\left(n^{2}(y)\right)$.
   Pour $\displaystyle \frac{dy}{dx}\neq0$ , $$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{\beta^{2}}\frac{d}{dy}\left(n^{2}(y)\right),$$ avec $\displaystyle \beta^{2}=2C_{0}$.
   Le cas $\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$ correspond au sommet de la courbe $\displaystyle \mathcal{C},$ où le rayon lumineux devient tangent à l’axe horizontal. C’est la limite de la réflexion totale. La relation reste valide par prolongement en ce point.

3. Pour un gaz parfait, la masse volumique $\displaystyle \rho=\frac{PM}{RT}$, $\displaystyle M$ masse molaire, $\displaystyle P$ la pression, $\displaystyle T$ la température. D’où $$n-1=\lambda\frac{PM}{R}\frac{1}{T}.$$
   Dans l’exemple étudié, $\displaystyle T$ augmente quand l’altitude $\displaystyle y$ augmente, donc $\displaystyle n$ est bien une fonction décroissante de $\displaystyle y$. La courbe suivie par un rayon lumineux correspond bien à une courbe telle que $\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0$, de concavité tournée vers le bas.
   
   À voir, l’animation de l’université du Mans.