Interférences à N>2 ondes

• Interférences à n>2 ondes 👉 Sommer les amplitudes complexes.
• Interférences à l’infini 👉 Evaluer le déphasage avec la loi du retour inverse + théorème de Malus.

Pour un point M de l’écran, appelons $\displaystyle \underline{s}_{1}(M)$ l’amplitude complexe de l’onde issue de la fente $\displaystyle F_1$ (en $\displaystyle x=a$) telle que $\displaystyle \underline{s}_{1}(M,t)=\underline{s}_{1}(M)\exp\left(i\omega t\right)$.
L’amplitude complexe de l’onde issue de la fente du milieu est $$\underline{s}_{2}(M)=\underline{s}_{1}(M)\exp\left(-i\varphi\right).$$ où $\displaystyle \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left[\left(F_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)\right]$.

$\displaystyle \delta=\left(F_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)=\left(F_{2}H_{2}\right)+\left(H_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)$.
En utilisant le principe de Malus et la loi du retour inverse de la lumière
$\displaystyle \left(H_{2}M\right)=\left(F_{1}M\right)$, et $\displaystyle \delta=F_{2}H_{2}=a\sin\alpha\simeq a\frac{x}{f'}$ dans l’approximation de Gauss.

De même $\displaystyle \underline{s}_{3}(M)=\underline{s}_{2}(M)\exp\left(-i\varphi\right)$.

Les ondes issues des 3 fentes sont cohérentes, l’amplitude complexe résultante en M

$\displaystyle \begin{aligned} \underline{s} & =\underline{s}_{1}+\underline{s}_{2}+\underline{s}_{3}\\ & =\underline{s}_{1}\left(1+\exp\left(-i\varphi\right)+\exp\left(-2i\varphi\right)\right). \end{aligned}$

L’éclairement $\displaystyle \mathcal{E}(M)=K\underline{s}.\underline{s}^{*}$ avec $\displaystyle K$ facteur de proportionnalité, soit

$\displaystyle \mathcal{E}(M)=K\left|\underline{s}_{1}\right|^{2}\left[3+4\cos\varphi+2\cos\left(2\varphi\right)\right].$

$\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{E}(M) & =K\left|\underline{s}_{1}\right|^{2}\left[3+4\cos\varphi+2\cos\left(2\varphi\right)\right]\\ & =\mathcal{E}_{0}\left[3+4\cos\varphi+2\cos\left(2\varphi\right)\right]. \end{aligned}$

$\displaystyle \mathcal{E}_{0}(M)$ étant l’éclairement obtenu quand une seule fente est ouverte.

L’éclairement, fonction de $\displaystyle \varphi$, est $\displaystyle 2\pi$ périodique, et pair, avec sur $\displaystyle \left[0,\pi\right]$ un maximum absolu $\displaystyle 9\mathcal{E}_{0}$ pour $\displaystyle \varphi=0$ (toutes les ondes sont en phase) et un maximum relatif $\displaystyle \mathcal{E}_{0}$ pour $\displaystyle \varphi=\pi$ (les ondes 1 et 3 sont en phase, l’onde 2 en opposition de phase). Le minimum d’éclairement nul est obtenu pour $\displaystyle \varphi=2\pi/3$.

En fonction de la position de M,

$\displaystyle \mathbb{\mathcal{E}}(M)=\mathcal{E}_{0}\left[3+4\cos\left(2\pi\frac{ax}{\lambda f'}\right)+2\cos\left(4\pi\frac{ax}{\lambda f'}\right)\right].$

On observe ainsi sur l’écran des franges rectilignes parallèles à $\displaystyle \left(Oy\right)$, avec des franges très brillantes séparées de $\displaystyle \frac{\lambda f'}{a}$. Partant d’une frange brillante, on observe à une distance $\displaystyle \frac{\lambda f'}{3a}$ une frange sombre, puis à $\displaystyle \frac{\lambda f'}{2a}$ une frange brillante d’intensité 9 fois plus faible, et à $\displaystyle \frac{2\lambda f'}{3a}$ une nouvelle frange sombre.

• Maximum d’intensité 👉 Les ondes sont en phase.
• Calcul de l’intensité (ou éclairement) pour N>2 ondes 👉 Sommer les amplitudes complexes pour obtenir l’amplitude résultantes avant de passer à l’intensité.

1. Il s’agit d’un réseau par réflexion. Les miroirs étant “très fins”, la diffraction par un miroir se fait dans tout le demi-espace disponible, et le problème se ramène à l’interférence des $\displaystyle N$ ondes dans la direction $\displaystyle \theta$.

Evaluons la différence de marche entre les rayons se réfléchissant sur deux marches consécutives.

$\displaystyle \delta=HO_{k}+O_{k}K=b+\overrightarrow{O_{k}O_{k+1}}.\overrightarrow{u_{\theta}}$

avec $\displaystyle \overrightarrow{u_{\theta}}=\cos\theta\overrightarrow{u_{y}}+\sin\theta\overrightarrow{u_{x}}$, et $\displaystyle \overrightarrow{O_{k}O_{k+1}}=b\overrightarrow{u_{y}}-a\overrightarrow{u_{x}}$.

$$\delta=b+b\cos\theta-a\sin\theta.$$

Les maxima d’intensité correspondent à $\displaystyle \delta=p\lambda,p\in\mathbb{Z}$.

Soit $\displaystyle \theta_{0}=\arctan\left(a/b\right), \delta=p\lambda\Longleftrightarrow b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\left(\theta+\theta_{0}\right)=p\lambda$.

$$\cos\left(\theta+\theta_{0}\right)=\frac{p\lambda-b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$ (avec $\displaystyle \theta>-\arctan\frac{a}{2b})$ pour que les rayons puissent émerger.

L’intérêt d’un tel dispositif est que les maxima sont obtenus pour des ordres $\displaystyle p$ élevés, ce qui permet d’obtenir un meilleur pouvoir de résolution : pour un faible écart de longueur d’onde, l’écart angulaire vérifie
$\displaystyle -\sin\left(\theta+\theta_{0}\right)\Delta\theta=p\frac{\Delta\lambda}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$

2. Soit $\displaystyle \underline{a}_{1}\left(\theta\right)$ l’amplitude complexe diffractée par la marche n°1 dans la direction d’angle $\displaystyle \theta$, et soit $\displaystyle \phi\left(\theta\right)=2\pi\frac{\delta}{\lambda}$ le déphasage entre les ondes issues de deux fentes consécutives. L’amplitude résultante est
   $$\begin{aligned}\underline{a}\left(\theta\right)&=\sum_{k=1}^{N}\underline{a}_{k}\left(\theta\right)\\ &=\underline{a}_{1}\sum_{n=0}^{N-1}e^{in\phi}=\underline{a}_{1}\frac{1-e^{iN\phi}}{1-e^{i\phi}}\\&=\underline{a}_{1}e^{i(N-1)\phi/2}\frac{\sin\left(N\phi/2\right)}{\sin\left(\phi/2\right)}. \end{aligned}$$ Avec $\displaystyle I_{0}=\left|\underline{a}_{1}\right|^{2}$,

$$I(\phi)=I_{0}\left(\frac{\sin\left(N\phi/2\right)}{\sin\left(\phi/2\right)}\right)^{2}.$$

Les maxima principaux sont bien obtenus pour $\displaystyle \phi=2p\pi$, soit $\displaystyle \delta=p\lambda$.

(pour 20 fentes)

Source à l’infini et observation à l’infini 👉 utiliser les plans équiphases perpendiculaires aux rayons pour évaluer les déphasages.

1. Les deux ondes sont issues de la même source et sont synchrones, cohérentes (leur déphasage, comme explicité ensuite, ne dépend pas du temps), elles interférent donc.
   On s’intéresse au déphasage entre deux ondes de directions repérées par $\displaystyle i$ et $\displaystyle \theta$, il s’agit d’interférences à l’infini. $\displaystyle S$ étant la source, $\displaystyle \left(SO_{k}\right)=\left(SA\right)$. De même, $\displaystyle M$ étant le point d’observation à l’infini $\displaystyle \left(O_{k}M\right)=\left(BM\right)$.
   
   Le déphasage entre les deux ondes est donc $\displaystyle \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left[\left(AO_{k+1}\right)+\left(O_{k+1}B\right)\right].$
   
   $\displaystyle AO_{k+1}=O_{k}O_{k+1}\sin\left(\alpha+i\right)=a\sin\left(\alpha+i\right).$
   De même, avec $\displaystyle \theta<0$ sur le schéma,
   
   $\displaystyle \begin{aligned}O_{k+1}B&=O_{k}O_{k+1}\sin\left(\gamma\right)\\&=a\sin\left(\pi/2-\left(-\theta+\varepsilon\right)\right)=a\sin\left(\pi/2-\left(-\theta+\pi/2-\alpha\right)\right)\\&=a\sin\left(\alpha+\theta\right).\end{aligned}$
   D’où $\displaystyle \varphi=\frac{2\pi a}{\lambda}\left[\sin\left(\theta+\alpha\right)+\sin\left(i+\alpha\right)\right]$.
   Remarque — Le résultat se retrouve en remarquant qu’on cherche la somme des déphasages en $\displaystyle O_{k+1}$ par rapport à $\displaystyle O_{k}$ pour les ondes planes incidente et émergente. En appelant $\displaystyle (Ox)$ l’axe $\displaystyle (O_{k}O_{k+1})$, les vecteurs d’onde des ondes planes sont
   $\displaystyle \overrightarrow{k_{i}}=\frac{2\pi}{\lambda}\left[\cos\left(\pi/2-\alpha-i\right)\overrightarrow{u_{x}}-\sin\left(\pi/2-\alpha-i\right)\overrightarrow{u_{y}}\right]$ et
   $\displaystyle \overrightarrow{k_{e}}=\frac{2\pi}{\lambda}\left[\cos\left(\pi/2-\alpha-\theta\right)\overrightarrow{u_{x}}-\sin\left(\pi/2-\alpha-\theta\right)\overrightarrow{u_{y}}\right]$,
   $\displaystyle \varphi=\overrightarrow{k_{i}}.\overrightarrow{O_{k}O_{k+1}}+\overrightarrow{k_{e}}.\overrightarrow{O_{k}O_{k+1}}$ redonne le même résultat.

2. a) Pour $\displaystyle i=\theta=0$, $\displaystyle \begin{aligned}\varphi&=\frac{4\pi a}{\lambda}\sin\left(\alpha\right)=2p_{0}\pi\end{aligned}$, donc
   $\displaystyle \begin{aligned}p_{0}&=\frac{2a\sin\left(\alpha\right)}{\lambda}\neq0\end{aligned}$ , alors que pour un réseau par transmission usuel $\displaystyle p_{0}=0$.
   b) $\displaystyle p_{0\textrm{min }}=\frac{2\sin\left(\alpha\right)}{n\lambda_{\textrm{max}}}=1,06.10^{2}$
   et $\displaystyle p_{0\textrm{max }}=\frac{2\sin\left(\alpha\right)}{n\lambda_{\textrm{min}}}=1,60.10^{2}$.
   3.a) $\displaystyle \Delta\lambda=\lambda_{0}\frac{\Delta v}{c}$.
   b)
   $\displaystyle \begin{aligned}\varphi=2p\pi&\Longleftrightarrow a\left[\sin\left(\theta+\alpha\right)+\sin\left(\alpha\right)\right]=p\lambda_{0}\\&\Rightarrow\sin\left(\theta+\alpha\right)=p\lambda_{0}n-\sin\left(\alpha\right)\end{aligned}$.
   En différentiant,
   $\displaystyle \begin{aligned}\cos\left(\theta+\alpha\right)\delta\theta&=pn\delta\lambda\\&=pn\lambda_{0}\frac{\Delta v}{c}\end{aligned}$.
   A.N.$\displaystyle \Delta v=1,7.10^2\textrm{m.s}^{-1}$, $\displaystyle \delta\theta=2,5.10^{-6}\textrm{rads.}$
   Ce réseau permet de travailler dans des ordres $\displaystyle p$ élevés, et d’avoir une meilleure résolution par rapport à un réseau classique où $\displaystyle p$ reste de l’ordre de quelques unités. Ici, cela permet de déterminer précisément la variation de vitesse $\displaystyle \Delta v$.

Interférences à ondes multiples 👉 Utiliser les amplitudes complexes.

1. Sans la lame
   En utilisant les amplitudes complexes des ondes passant par les trois trous, l’amplitude résultante en un point $\displaystyle M$ de l’écran repéré par sa coordonnée $\displaystyle x$ est (avec la convention $\displaystyle \underline{s}(M,t)=\underline{s}(M)\exp\left(-i\omega t\right)$)
   $\displaystyle \begin{aligned}\underline{s}(M)&=\underline{s_{1}}+\underline{s_{2}}+\underline{s_{3}}\\&=\underline{s_{2}}\left(1+\exp\left(-i\varphi\right)+\exp\left(i\varphi\right)\right)\\&=\underline{s_{2}}\left(1+2\cos\left(\varphi\right)\right)\end{aligned}$,
   où le déphasage $\displaystyle \varphi$ s’exprime classiquement en fonction de la différence de marche entre deux ondes voisines $\displaystyle \delta=\frac{ax}{f'_{2}}$, sous la forme $\displaystyle \varphi=2\pi\frac{\delta}{\lambda}=2\pi\frac{ax}{\lambda f'_{2}}.$
   
   D’où l’intensité
   $\displaystyle \begin{aligned}I(M)=&\underline{s}_{2}\underline{s}^{*}_{2}\left(1+2\cos\left(\varphi\right)\right)^{2}\\&=I_{0}\left(1+4\cos\left(\varphi\right)+4\cos^{2}\left(\varphi\right)\right),\end{aligned}$
   où $\displaystyle I_{0}$ est l’intensité en $\displaystyle M$ quand un seul trou est présent.
   L’intensité est une fonction paire de $\displaystyle \varphi$, de période $\displaystyle 2\pi$. Une étude des variations sur $\displaystyle \left[0,\pi\right]$ montre deux maxima en 0 $\displaystyle (I=9I_{0})$ et $\displaystyle \pi$ $\displaystyle (I=I_{0})$ , et un minimum en $\displaystyle 2\pi/3$ $\displaystyle (I=0)$, conformément à la courbe noire donnée.
   Avec la lame
   L’onde du milieu parcourt un chemin optique supplémentaire $\displaystyle \delta_{sup}=\left(n-1\right)e$ par rapport aux autres
   $\displaystyle \begin{aligned}\underline{s}(M)&=\underline{s_{1}}+\underline{s_{2}}+\underline{s_{3}}\\&=\underline{s_{2}}\left(1+\exp\left(-i\left(\varphi+\theta\right)\right)+\exp\left(i\left(\varphi-\theta\right)\right)\right)\\&=\underline{s_{2}}\left(1+2\exp\left(-i\theta\right)\cos\left(\varphi\right)\right)\end{aligned}$
   où $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{\lambda}\left(n-1\right)e$. L’intensité devient
   $\displaystyle \begin{aligned}I(M)&=I_{0}\left(1+2\exp\left(-i\theta\right)\cos\left(\varphi\right)\right)\left(1+2\exp\left(i\theta\right)\cos\left(\varphi\right)\right)\\&=I_{0}\left[1+4\cos\left(\theta\right)\cos\left(\varphi\right)+4\cos^{2}\left(\varphi\right)\right]\end{aligned}$.

2. La courbe rouge présente une période $\displaystyle \pi$. Il faut donc que le terme en $\displaystyle \cos\left(\varphi\right)$ soit annulé par $\displaystyle \cos\left(\theta\right)=0$,
   soit $\displaystyle \frac{2\pi}{\lambda}\left(n-1\right)e=\frac{\pi}{2}+k\pi,$
   $\displaystyle k$ entier. La plus petite valeur de $\displaystyle e$ qui convient est $\displaystyle e=\frac{\lambda}{4\left(n-1\right)}.$
   Dans ce cas, $\displaystyle I(M)=I_{0}\left[1+4\cos^{2}\left(\varphi\right)\right]=2I_{0}\left[\frac{5}{2}+\cos\left(2\varphi\right)\right]$, correspondant à la courbe rouge, $\displaystyle \pi$ périodique, de valeur moyenne $\displaystyle 5I_{0}$. Le déphasage imposé supplémentaire de $\displaystyle \pi/2$ pour le trou du milieu permet à l’intensité de ne jamais s’annuler.

3. Dans ce cas, on retrouve les trous d’Young distants de $\displaystyle 2a$, le trou du milieu ayant disparu :
   $\displaystyle \underline{s}(M)=\underline{s_{1}}+\underline{s_{3}}=\underline{s_{1}}\left(1+\exp\left(2i\varphi\right)\right).$ L’intensité devient
   $$\begin{aligned}I(M)&=2I_{0}\left(1+\cos\left(2\varphi\right)\right)\\&=2I_{0}\left(1+\cos\left(4\pi\frac{ax}{\lambda f'_{2}}\right)\right).\end{aligned}$$
   
   L’intensité (en bleu) est $\displaystyle \pi$ périodique comme dans le cas de la courbe rouge, mais les minima sont nuls.