Interférences à 2 ondes

Ordre d’interférence $\displaystyle p$ 👉 $\displaystyle \delta=2e\cos i=p\lambda$. Attention à la confusion entre ordre d’interférence et numérotation de la frange d’interférence en partant du centre.

1. Cours : $\displaystyle \delta=2e\cos i$, $\displaystyle i$ angle d’incidence sur les miroirs.

2. Pour la frange d’ordre $\displaystyle p$ :

$\displaystyle \delta=2e\cos i=p\lambda\Longrightarrow r=f'\sqrt{2\left(1-\frac{p}{p_{0}}\right)}$. Pour avoir un maximum d’intensité, $\displaystyle p$ doit être entier. Comme le centre de la figure d’interférence est brillant, l’ordre au centre $\displaystyle p_{0}=2e/\lambda$ est entier et le $\displaystyle k$ième anneau brillant correspond à $\displaystyle p=p_{0}-k$. D’où le rayon $$r_{k}=\sqrt{\frac{k\lambda}{e}}.$$

A.N. : $\displaystyle r_{1}$=7,39 mm, $\displaystyle r_{2}$=1,04 cm, $\displaystyle r_{3}$=1,28 cm

3. Au contact optique, $\displaystyle \delta=0$ pour tout $\displaystyle i$, l’éclairement est uniforme, c’est la teinte plate.

Avec le miroir sphérique au lieu de plan, on se retrouve avec un dispositif de type coin d’air, mais il y a une symétrie de révolution autour de l’axe de la sphère, qui fait qu’on va observer une figure d’interférence constituée d’anneaux et non de franges rectilignes. Pour observer ces franges, il faut observer directement à l’oeil en accomodant sur le “coin d’air” ou par projection, en faisant l’image du coin d’air par une lentille.

L’épaisseur du “coin d’air” est $\displaystyle e(r)=AB=R-\sqrt{R^{2}-r^{2}}\simeq \frac{r^{2}}{2R}$.

Les maxima d’intensité correspondent à $\displaystyle 2e(x)=p\lambda$, $\displaystyle p$ entier. Soit $$r=\sqrt{p\lambda R}.$$

A.N. $\displaystyle r_{1}$=2,33 mm, $\displaystyle r_{2}$=3,30 mm, $\displaystyle r_{3}$=4,03 mm.

1. Deux sources cohérentes 👉 On somme les amplitudes : l’éclairement est donné par la formule de Fresnel.
2. Deux sources incohérentes 👉 On somme les intensités.

1. C’est le cas du cours pour l’observation à l’infini :

$\displaystyle E(M)=2E_{0}\left(1+\cos\left(2\pi\frac{\delta}{\lambda}\right)\right)$.

avec $\displaystyle \delta=a\sin\alpha\simeq a\frac{X}{f'}$. Les franges sont rectilignes équidistantes parallèles à l’axe $\displaystyle (OY)$. Le contraste est égal à 1.

2. Chaque point source produit sa propre figure d’interférence. Les différences de marche ont changé.

Pour la source 1 $\displaystyle \delta_{1}=\left(S_{1}F_{2}M\right)-\left(S_{1}F_{1}M\right)\simeq a\frac{v_{0}t}{D}+a\frac{X}{f'}$.

Pour la source 2 $\displaystyle \delta_{2}=\left(S_{2}F_{2}M\right)-\left(S_{2}F_{1}M\right)\simeq-a\frac{v_{0}t}{D}+a\frac{X}{f'}$.

Les sources $\displaystyle S_{1}$ et $\displaystyle S_{2}$ sont incohérentes, donc les éclairements s’ajoutenent :

$\displaystyle E(M)=2E_{0}\left(1+\cos\left(2\pi\frac{\delta_{1}}{\lambda}\right)\right)+2E_{0}\left(1+\cos\left(2\pi\frac{\delta_{2}}{\lambda}\right)\right)$.

$\displaystyle E(M)=4E_{0}\left(1+\cos\left(2\pi\frac{\delta_{1}-\delta_{2}}{2\lambda}\right)\right)\cos\left(2\pi\frac{\delta_{1}+\delta_{2}}{2\lambda}\right)$.
$\displaystyle E(M)=4E_{0}\left(1+\cos\left(2\pi\frac{av_{0}t}{D\lambda}\right)\cos\left(2\pi\frac{aX}{\lambda f'}\right)\right)$.

$$E(M)=4E_{0}\left(1+V\cos\left(2\pi\frac{aX}{\lambda f'}\right)\right).$$

Le contraste $\displaystyle C=\left|V\right|=\left|\cos\left(2\pi\frac{av_{0}t}{D\lambda}\right)\right|$ varie périodiquement avec une période $$T=\frac{D\lambda}{2av_{0}}.$$

Michelson en coin d’air éclairé par une source étendue 👉 franges rectilignes “d’égale épaisseur” localisées sur le coin d’air.

1. Les franges de coin d’air sont rectilignes, c’est la première figure qui convient.

2. Les franges d’interférence sont localisées au niveau du coin d’air. La lentille de projection conjugue le coin d’air (i.e. l’un des miroirs) et l’écran de projection. D’où $\displaystyle \mathrm{}\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f'}$.

avec $\displaystyle f'$ la distance focale de la lentille convergente, $\displaystyle O$ son centre optique, $\displaystyle A$ point du coin d’air, $\displaystyle A'$ point de l’écran.

La distance $\displaystyle AA'=1,25\textrm{ m }$ est donnée. Par ailleurs, l’image du miroir de diamètre 20 mm est un disque de diamètre 8 cm sur l’écran. Avec la relation du grandissement

$\displaystyle \left|\gamma\right|=\frac{OA'}{OA}$, on en déduit $\displaystyle \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=-4$ (l’objet et l’image sont réels, donc $\displaystyle \overline{OA'}>0$ et $\displaystyle \overline{OA}<0)$. Ainsi

$\displaystyle \begin{cases} \overline{OA'}-\overline{OA}=1,25\textrm{ m }\\ \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=-4 \end{cases}$, d’où $\displaystyle \overline{OA'}=1\textrm{ m }$ et $\displaystyle \overline{OA}=-0,25\textrm{ m }$.

Avec la relation de conjugaison : $\displaystyle f'=20\textrm{ cm}$. La lentille est placée à 25 cm du miroir, et à 1,0 m de l’écran.

3. On déduit de la figure la valeur de l’interfrange sur l’écran $\displaystyle i'$, ce qui correspond à un interfrange $\displaystyle i=i'/\left|\gamma\right|$. Pour le coin d’air, $\displaystyle i=\frac{\lambda}{2\alpha}$, d’où $\displaystyle \alpha=\frac{\lambda\left|\gamma\right|}{2i'}$.

A.N. $\displaystyle \left|\gamma\right|=4, i'=\frac{8.10^{-2}}{17}\textrm{ m}$, d’où $\displaystyle \alpha=3.10^{-4}\textrm{ rads}$.

4. Pour les rayons se réfléchissant sur la bosse, l’onde lumineuse parcourt un chemin optique “en moins” égal à $\displaystyle \lambda/2$ (aller-retour), soit un déphasage de $\displaystyle \pi$. Ainsi sur un disque correspondant à l’image géométrique de la bosse, de diamètre 16 mm $\displaystyle (\left|\gamma\right|\textrm{x4)}$, on observera un décalage d’un demi-interfrange par rapport à la situation du 1 (les zones lumineuses deviennent sombres et réciproquement).

• Condition d’interférence sur la polarisation 👉 Les ondes scalaires doivent être associés à des ondes électromagnétiques de directions de polarisation non perpendiculaires.
• Interférences à l’infini 👉 Evaluer le déphasage avec la loi du retour inverse + théorème de Malus.

1. Seules les ondes issues de $\displaystyle F_{1}$ et $\displaystyle F_{2}$ interfèrent.
   Pour un point M de l’écran, le déphasage entre les deux ondes est
   $\displaystyle \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left[\left(F_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)\right]$.
   $\displaystyle \delta=\left(F_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)=\left(F_{2}H_{2}\right)+\left(H_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)$.
   
   En utilisant le principe de Malus et la loi du retour inverse de la lumière $\displaystyle \left(H_{2}M\right)=\left(F_{1}M\right)$, et $\displaystyle \delta=F_{2}H_{2}=a\sin\alpha\simeq a\frac{x}{f'}$ dans l’approximation de Gauss.
   La formule de Fresnel donne l’éclairement associé à ces deux ondes
   $$\mathcal{E}_{1,2}(M)=2\mathcal{E}_{0}\left[1+\cos\varphi\right].$$
   Pour des ondes de directions de polarisation perpendiculaires, on somme les éclairements. D’où l’éclairement total
   $\displaystyle \begin{aligned} \mathbb{\mathcal{E}}(M) & =\mathcal{E}_{0}+\mathcal{E}_{1,2}(M)\\ & =3\mathcal{E}_{0}\left[1+\frac{2}{3}\cos\varphi\right]\\ & =3\mathcal{E}_{0}\left[1+\frac{2}{3}\cos\left(2\pi\frac{ax}{\lambda f'}\right)\right]. \end{aligned}$
   On observe sur l’écran des franges rectilignes parallèles à $\displaystyle \left(Oy\right)$ d’interfrange $\displaystyle i=\frac{\lambda f'}{a}$, de contraste $\displaystyle C=\frac{\mathcal{E}_{max}-\mathcal{E}_{min}}{\mathcal{E}_{max}+\mathcal{E}_{min}}=2/3$.

2. Seules les ondes issues de $\displaystyle F_{1}$ et $\displaystyle F_{3}$ interfèrent. Ces fentes étant distantes de $\displaystyle 2a$, on obtient de la même manière qu’en 1.
   $\displaystyle \mathcal{E}_{1,3}(M)=2\mathcal{E}_{0}\left[1+\cos\psi\right]$ où $\displaystyle \psi=2\pi\frac{2ax}{\lambda f'}=2\varphi.$
   L’éclairement total devient
   $\displaystyle \begin{aligned} \mathbb{\mathcal{E}}(M) & =\mathcal{E}_{0}+\mathcal{E}_{1,3}(M)\\ & =3\mathcal{E}_{0}\left[1+\frac{2}{3}\cos\left(4\pi\frac{ax}{\lambda f'}\right)\right]. \end{aligned}$
   On observe sur l’écran des franges rectilignes parallèles à $\displaystyle \left(Oy\right)$ d’interfrange $\displaystyle i'=\frac{\lambda f'}{2a}=\frac{i}{2}$, de même contraste $\displaystyle C=2/3$.

Remarque — Le cas des interférences à 3 ondes est abordé dans l’exercice 40 Interférences à N>2 ondes.

Pour 2. , utiliser la loi vectorielle de composition des vitesses
$\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=\overrightarrow{V_{R}}-\overrightarrow{V_{0}}=\overrightarrow{c}-V_{0}\overrightarrow{u_{x}}$. La direction de $\displaystyle \overrightarrow{c}$ dépend du trajet.

1. En lame d’air à faces parallèles

• avec une source ponctuelle les interférences sont délocalisées,
• avec une source étendue (cas du programme) les franges sont localisées à l’infini, observables directement à l’oeil, ou dans le plan focal image d’une lentille convergente.
  Les franges obtenues sont les franges d’égale inclinaison circulaires ; pour en observer plusieurs il faut des angles d’incidence variés sur les miroirs.
  Si on utilise une incidence unique $\displaystyle i=0$, il n’y aura qu’un point lumineux sur un écran placé dans le focal image d’une lentille convergente . Si on n’utilise pas de lentille (la source est “ponctuelle” à l’infini), on observe un éclairement uniforme.

2. Les deux miroirs et la séparatrice sont fixes dans $\displaystyle \left(R'\right)$ et se déplacent donc à la vitesse $\displaystyle \mathbb{}V_{0}\overrightarrow{u_{x}}$ dans $\displaystyle \left(R\right)$. Dans $\displaystyle \left(R'\right)$, le trajet de la lumière $\displaystyle IAI$ est selon $\displaystyle \left(Ix\right)$, alors que le trajet de la lumière $\displaystyle IBI$ est selon $\displaystyle \left(Iy\right)$. Utilisons la loi classique de composition des vitesses en notant $\displaystyle \overrightarrow{c}$ le vecteur vitesse de la lumière dans $\displaystyle \left(R\right)$ : $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=\overrightarrow{V_{R}}-\overrightarrow{V_{0}}=\overrightarrow{c}-V_{0}\overrightarrow{u_{x}}.$

• Pour le trajet $\displaystyle (IB)$ : $\displaystyle \overrightarrow{c}=c\overrightarrow{u_{x}}$, $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=\left(c-V_{0}\right)\overrightarrow{u_{x}}$. D’où $$t_{IB}=\frac{L+x}{c-V_{0}}.$$
• Pour le trajet $\displaystyle (BI)$ : $\displaystyle \overrightarrow{c}=-c\overrightarrow{u_{x}}$, $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=\left(-c-V_{0}\right)\overrightarrow{u_{x}}$. D’où $$t_{BI}=\frac{L+x}{c+V_{0}}.$$
• Pour le trajet $\displaystyle (IA)$ : $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=V_{R'}\overrightarrow{u_{y}}=\overrightarrow{c}-V_{0}\overrightarrow{u_{x}}\Longrightarrow c^{2}=V_{R'}^{2}+V_{0}^{2}$, soit $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=\sqrt{c^{2}-V_{0}^{2}}\overrightarrow{u_{y}}.$ D’où $$t_{IA}=\frac{L}{\sqrt{c^{2}-V_{0}^{2}}}.$$ On remarque que le trajet de la lumière dans $\displaystyle \left(R\right)$ ne se fait pas selon $\displaystyle \left(Oy\right)$.
• Pour le trajet $\displaystyle (AI)$ : $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=-V_{R'}\overrightarrow{u_{y}}=\overrightarrow{c}-V_{0}\overrightarrow{u_{x}}\Longrightarrow c^{2}=V_{R'}^{2}+V_{0}^{2}$, soit $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=-\sqrt{c^{2}-V_{0}^{2}}\overrightarrow{u_{y}}$. D’où $$t_{AI}=\frac{L}{\sqrt{c^{2}-V_{0}^{2}}}=t_{IA}.$$
  $\displaystyle \begin{aligned}t_{IBI}&=t_{IB}+t_{BI}=\frac{2c\left(L+x\right)}{c^{2}-V_{0}^{2}}\\&\simeq\frac{2\left(L+x\right)}{c}\left(1+\frac{V_{0}^{2}}{c^{2}}\right).\end{aligned}$
  $\displaystyle \begin{aligned}t_{IAI}&=t_{IA}+t_{AI}=\frac{2L}{\sqrt{c^{2}-V_{0}^{2}}}\\&\simeq\frac{2L}{c}\left(1+\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}\right).\end{aligned}$
  On en déduit
  $\displaystyle \begin{aligned}\Delta\varphi&=\omega\left(t_{IBI}-t_{IAI}\right)\\&=\frac{2\omega}{c}\left[x+L\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}+x\frac{V_{0}^{2}}{2c}\right]\end{aligned}.$
  Le dernier terme est négligeable : $$\Delta\varphi=\frac{2\omega}{c}\left[x+L\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}\right].$$

3. L’interféromètre est réglé pour avoir $\displaystyle x=-L\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}$. En tournant l’interféromètre :

• $\displaystyle t_{IBI}\simeq\frac{2(L+x)}{c}\left(1+\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}\right)$
• $\displaystyle t_{IAI}\simeq\frac{2L}{c}\left(1+\frac{V_{0}^{2}}{c^{2}}\right)$
  Soit $\displaystyle \Delta\varphi=\frac{2\omega}{c}\left[x-L\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}\right]=-\frac{2\omega}{c}L\frac{V_{0}^{2}}{c^{2}}=-\frac{4\pi L}{\lambda}\frac{V_{0}^{2}}{c^{2}}.$

4. On étudie le système Terre dans le référentiel héliocentrique. La Terre est soumise à l’attraction gravitationnelle du Soleil. En appliquant le théorème du centre de masse à la Terre dans le plan de sa trajectoire circulaire :
   $\displaystyle M_{T}\overrightarrow{a}=-M_{T}\left(\frac{V_{0}^{2}}{R}\right)\overrightarrow{u_{r}}=-G\frac{M_{S}M_{T}}{R^{2}}\overrightarrow{u_{r}}$, d’où
   $$V_{0}=\sqrt{\frac{GM_{S}}{R}}=\frac{2\pi R}{T_{1an}}.$$
   A.N. : $\displaystyle V_{0}=30$ km.s$\displaystyle ^{-1}$.
   $\displaystyle \Delta\varphi=2\pi\Delta p\Longrightarrow\Delta p=\frac{2L}{\lambda}\frac{V_{0}^{2}}{c^{2}}=0,4$ pour $\displaystyle \lambda=5.10^{-7}$ m. On devrait par conséquent observer une variation nette de l’éclairement. Ce n’est pas le cas, donc la loi de composition des vitesses est inexacte. L’expérience de Michelson et Morley est une expérience (négative) fondatrice de la relativité.

Interférences à distance finie 👉 Calcul direct de la différence de marche.

Il s’agit d’interférences à distance finie. La différence de marche en un point $\displaystyle M(x,y,D)$ de l’écran est à évaluer par

$\displaystyle \delta=nF_{2}M-nF_{1}M=n\sqrt{\left(x+a/2\right)^{2}+y^{2}+D^{2}}-n\sqrt{\left(x-a/2\right)^{2}+y^{2}+D^{2}}$.

Avec l’hypothèse réaliste $\displaystyle a,\left|x\right|,\left|y\right|\ll D$,

$\displaystyle \delta=\frac{nax}{D}$ avec un d.l. à l’ordre 1.

La différence de marche ne dépend que de $\displaystyle x$, les franges sont donc parallèles à $\displaystyle \left(Oy\right)$. les franges brillantes sont telles que $\displaystyle \delta=p\lambda,p\in\mathbb{Z}$, soit $\displaystyle x_{p}=p\frac{\lambda D}{na}$.

L’interfrange est $\displaystyle i=x_{p+1}-x_{p}=\frac{\lambda D}{na}$ constant. Les franges sont donc rectilignes, parallèles et équidistantes.

La frange d’ordre $\displaystyle p=0$ est en $\displaystyle x=0$.

2. La différence de marche est la somme des contributions avant et après les fentes.
   Les rayons passant par la cuve remplie d’air parcourent, avant d’arriver aux fentes, un chemin optique plus grand que ceux qui passent par la cuve vide. Or, la fente du bas est plus proche de la frange d’ordre 0. C’est donc devant la fente du bas que se trouve la cuve remplie d’air. La cuve du haut est vide.

$\displaystyle \delta=\left(n-1\right)e+\frac{nax}{D}=0$
$\displaystyle \Longleftrightarrow x=-\frac{\left(n-1\right)eD}{na}.$

Donc $\displaystyle \frac{\left(n-1\right)eD}{na}=4,6i=4,6\frac{\lambda D}{na}$, soit $\displaystyle n=1+4,6\frac{\lambda}{e}$.

A.N. : $\displaystyle n-1=2,9.10^{-4}$.

Les trous d’Young sont dans le plan focal objet 👉 Le faisceau issu d’un trou est un faisceau parallèle après traversée de la lentille.

1. Après traversée de la lentille, le faisceau issu de chaque fente est un faisceau parallèle. Il s’agit donc d’interférences entre ondes planes cohérentes.
   
   Les vecteurs d’onde des faisceaux issus de $\displaystyle S_{1}$ et $\displaystyle S_{2}$ sont respectivement, avec les notations du schéma
   $\displaystyle \overrightarrow{k_{1}}=\frac{2\pi}{\lambda}\left[\cos\left(\alpha\right)\overrightarrow{u_{z}}-\sin\left(\alpha\right)\overrightarrow{u_{x}}\right]$,
   $\displaystyle \overrightarrow{k_{2}}=\frac{2\pi}{\lambda}\left[\cos\left(\alpha\right)\overrightarrow{u_{z}}+\sin\left(\alpha\right)\overrightarrow{u_{x}}\right]$.
   L’angle $\displaystyle \alpha=\arctan\left(\frac{a}{2f'}\right)$ est petit, de manière cohérente avec l’utilisation d’une lentille dans les conditions de Gauss.
   Prenons $\displaystyle O$ le milieu de l’écran comme origine. En un point $\displaystyle M(x,y,0)$ quelconque de l’écran repéré par $\displaystyle \overrightarrow{r}=\overrightarrow{OM}$, les ondes planes ont une amplitude de la forme
   $\displaystyle s_{1}(M,t)=s_{0}\cos\left(\omega t-\varphi_{1}(M)\right)$,
   $\displaystyle s_{2}(M,t)=s_{0}\cos\left(\omega t-\varphi_{2}(M)\right)$ avec
   $\displaystyle \begin{cases} \varphi_{1}(M)=\varphi_{1}(O)+\overrightarrow{k_{1}}.\overrightarrow{r}\\ \varphi_{2}(M)=\varphi_{2}(O)+\overrightarrow{k_{2}}.\overrightarrow{r}. \end{cases}$
   Les ondes issues de $\displaystyle S_{1}$ et $\displaystyle S_{2}$ sont en phase en $\displaystyle O$ par raison de symétrie, $\displaystyle \varphi_{1}(O)=\varphi_{2}(O)$. Le déphasage des ondes en $\displaystyle M$ est
   $\displaystyle \begin{aligned}\varphi(M)&=\varphi_{2}(M)-\varphi_{1}(M)\\&=\left(\overrightarrow{k_{2}}-\overrightarrow{k_{1}}\right).\overrightarrow{r}\\&=\frac{2\pi}{\lambda}2\sin\left(\alpha\right)x.\end{aligned}$
   Le déphasage ne dépend que de $\displaystyle x$, donc les franges sont rectilignes parallèles à $\displaystyle \left(Oy\right)$. Pour une frange brillante, $\displaystyle \varphi(M)=2p\pi,p\in\mathbb{Z}$, soit $$x=x_{p}=\frac{p\lambda}{2\sin\alpha}\simeq\frac{p\lambda}{2\alpha}.$$
   L’interfrange $\displaystyle i=\frac{\lambda}{2\alpha}=\frac{\lambda f'}{a}$ est indépendant de la position de l’écran.
   A.N. $\displaystyle f'=0,2\textrm{ m},i=0,1\textrm{ mm}$.

2. Pour qu’il y ait un champ d’interférence, les deux faisceaux doivent avoir une intersection non nulle. Il faut donc que $\displaystyle L<\frac{d}{2\tan\alpha}=\frac{df'}{a}$.
   A.N. $\displaystyle L<10\textrm{ m}$. Ce n’est pas vraiment une contrainte…

Remarque — Il est possible pour le 1. de calculer la différence de marche en $\displaystyle M$ en utilisant les rayons passant par $\displaystyle O$ et le théorème de Malus.

1. Les deux étoiles sont des sources incohérentes. Chacune d’entre elles donne lieu à des interférences observées à l’infini dans le plan focal de la lentille.
   Pour l’étoile $\displaystyle A_1$, dont la direction d’observation fait un angle $\displaystyle \theta_{1}$ avec l’axe optique de la lentille, la différence de marche en un point $\displaystyle M(x,y,f')$ est
   $\displaystyle \begin{aligned}\delta_{1}&=\left(A_{1}M\right)_{2}-\left(A_{1}M\right)_{1}\\&=(A_{1}F_{2})+\left(F_{2}M\right)-\left[\left(A_{1}F_{1}\right)+\left(F_{1}M\right)\right]\end{aligned}$
   

$\displaystyle (A_{1}F_{2})-(A_{1}F_{1})=KF_{2}=a\sin\theta_{1}\simeq a\theta_{1}$,
d’après le théorème de Malus.

$\displaystyle \left(F_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)=F_{2}H=ax/f'$ d’après le théorème de Malus et la loi du retour inverse de la lumière.

$\displaystyle \delta_{1}=a\left(\theta_{1}+\frac{x}{f'}\right).$

De même $\displaystyle \delta_{2}=a\left(\theta_{2}+\frac{x}{f'}\right)$.

Les éclairements dus aux deux étoiles s’ajoutent. En utilisant pour, chacune la formule de Fresnel :

$\displaystyle \begin{aligned}\mathcal{E}(M)&=\mathcal{E}_{1}(M)+\mathcal{E}_{2}(M)\\&=2\mathcal{E}_{0}\left[1+\cos\left(\frac{2\pi\delta_{1}}{\lambda}\right)\right]+2\mathcal{E}_{0}\left[1+\cos\left(\frac{2\pi\delta_{2}}{\lambda}\right)\right]\\&=4\mathcal{E}_{0}\left(1+\cos\left(\frac{\pi\left(\delta_{2}-\delta_{1}\right)}{\lambda}\right)\cos\left(\frac{\pi\left(\delta_{2}+\delta_{1}\right)}{\lambda}\right)\right)\\&=4\mathcal{E}_{0}\left(1+\cos\left(\frac{\pi a\theta}{\lambda}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{ax}{f'}+\frac{a\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}{2}\right)\right)\right)\end{aligned}$

$\displaystyle \mathcal{E}(M)=4\mathcal{E}_{0}\left(1+V\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{ax}{f'}+\frac{a\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}{2}\right)\right)\right)$

On observe des franges rectilignes parallèles équidistantes. Les franges brillantes sont obtenues pour $\displaystyle x=x_{p}$ tels que $\displaystyle \frac{ax_{p}}{f'}+\frac{a\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}{2}=p\lambda,p\in\mathbb{Z}$.
L’interfrange $\displaystyle i=\frac{\lambda f'}{a}$ et la frange d’ordre 0 se trouve en $\displaystyle x=-f'\frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}$.

Le contraste $\displaystyle C=\frac{\mathcal{E}_{\textrm{max}}-\mathcal{E}_{\textrm{min}}}{\mathcal{E}_{\textrm{max}}-\mathcal{E}_{\textrm{min}}}=\left|V\right|$.$$C=\left|\cos\left(\frac{\pi a\theta}{\lambda}\right)\right|.$$

2. Le contraste s’annule pour $\displaystyle a_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{\theta},n\in\mathbb{N}$.

A.N. La plus petite valeur de a annulant le contraste est $\displaystyle a_{0}$, d’où $$\theta=\frac{\lambda}{2a_{0}}.$$
A.N. $\displaystyle \theta=2,3.10^{-7}$ rds.

Cannelures 👉 Elles correspondent à un minimum d’éclairement?

Il y a interférence entre les ondes cohérentes issues des deux fentes
associées à une longueur d’onde. Les éclairements dus aux différentes
longueurs d’onde s’ajoutent.
Considérons que les fentes sont dans le plan $\displaystyle \left(xOy\right)$ en $\displaystyle x=-a/2$ et $\displaystyle x=a/2$, l’écran étant dans le plan $\displaystyle z=D$. En un point $\displaystyle M$ de l’écran, la différence
de marche est $\displaystyle \delta=ax/D$ comme vu en cours.

1. En $\displaystyle x=0,$ se trouve une frange brillante, correspondant à la frange
   d’ordre 0 pour toutes les longueurs d’onde. La frange d’ordre 0 est
   entourée de quelques franges irisées. Puis au-delà, en raison de la
   faible longueur de cohérence de la lumière blanche ($\displaystyle L_{c}\sim\mu\textrm{m}$), il y a brouillage, c’est le blanc “d’ordre supérieur’”.

2. Le prisme permet de visualiser le spectre de la lumière blanche, auquel vont manquer quelques longueurs d’onde responsables des cannelures (l’oeil est plus sensible aux minima d’éclairement, les cannelures, qu’aux maxima). Ces longueurs d’onde sont telles que l’éclairement est minimal, soit $\displaystyle \delta=ax/D=\left(p+\frac{1}{2}\right)\lambda,p\in\mathbb{Z}$.
   $\displaystyle \lambda_{\textrm{min}}=450\textrm{ nm}<\lambda<\lambda_{\textrm{max}}=750\textrm{ nm}\Rightarrow$
   $$\frac{ax}{\lambda_{\textrm{max}}D}-\frac{1}{2}<p<\frac{ax}{\lambda_{\textrm{min}}D}-\frac{1}{2}.$$
   A.N. $\displaystyle 9,1<p<15,5$. Il y a donc a priori 6 cannelures observables.

• Doublet de longueurs d’onde 👉 Les ondes de longueur d’onde différentes n’interfèrent pas, les éclairements s’ajoutent.
• Michelson en lame d’air à faces parallèles 👉 Observation à l’infini, $\displaystyle \delta=2e\cos i$. Au foyer image de la lentille, $\displaystyle i=0$.

L’interféromètre est monté en lame d’air à faces parallèles. Au foyer image de la lentille convergente, les ondes portées par des rayons en incidence normale sur les deux miroirs interfèrent, avec une différence de marche $\displaystyle \delta=2e$, où $\displaystyle e$ est la distance entre les deux miroirs. Ici $\displaystyle e(t)=e_{0}+Vt$.
La source comporte un doublet de longueurs d’onde voisines $\displaystyle \lambda_{1}<\lambda_{2}$ , de l’ordre de 590 nm.

Version sans calcul de l’éclairement
Les dates de contraste nul (quand les maxima et minima sont confondus) sont associées à des valeurs de $\displaystyle \delta$ telles qu’un minimum d’éclairement pour $\displaystyle \lambda_{1}$ correspond à un maximum de l’éclairement pour $\displaystyle \lambda_{2}$ ou réciproquement, soit par exemple $\displaystyle \delta=p\lambda_{2}=\left(q+\frac{1}{2}\right)\lambda_{1},p\textrm{ et }q\in\mathbb{Z}$.
Partant de $\displaystyle \delta=0$ et $\displaystyle \delta$ augmentant, cela arrive

• la première fois pour $\displaystyle \delta_{1}=p\lambda_{2}=\left(p+\frac{1}{2}\right)\lambda_{1}$,
  soit $\displaystyle \delta_{1}=\frac{\lambda_{1}}{2\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)}\lambda_{2},$
• la seconde fois pour $\displaystyle \delta_{2}=p\lambda_{2}=\left(p+\frac{3}{2}\right)\lambda_{1}$,
  soit $\displaystyle \delta_{1}=\frac{3\lambda_{1}}{2\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)}\lambda_{2},$
• la troisième fois pour $\displaystyle \delta_{3}=p\lambda_{2}=\left(p+\frac{5}{2}\right)\lambda_{1}$,
  soit $\displaystyle \delta_{1}=\frac{5\lambda_{1}}{2\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)}\lambda_{2}$,
  etc…

La période en $\displaystyle \delta$ est $\displaystyle \Lambda=\frac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}$
et, comme $\displaystyle \delta=2e_{0}+2Vt$, la période temporelle est $$T=\frac{\varLambda}{2V}.$$
D’où $$\Delta\lambda=\frac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{2VT}\simeq\frac{\lambda^{2}}{2VT}.$$

A.N. $\displaystyle \lambda\simeq590\textrm{ nm}$ et $\displaystyle T=239,2\textrm{ s}$ , $\displaystyle \Delta\lambda=0,6\textrm{ nm}$.

Version avec calcul de l’éclairement
L’éclairement résultant est la somme des éclairements pour chaque longueur d’onde, chaque éclairement pouvant être exprimé avec la formule
de Fresnel :
$\displaystyle \begin{aligned}E&=E_{\lambda_{1}}+E_{\lambda_{2}}\\&=E_{01}\left[1+\cos\left(2\pi\frac{\delta}{\lambda_{1}}\right)\right]+E_{02}\left[1+\cos\left(2\pi\frac{\delta}{\lambda_{2}}\right)\right].\end{aligned}$

En l’absence d’information, considérons $\displaystyle E_{01}\simeq E_{02}$.

$\displaystyle E\left(\delta\right)=2E_{01}\left[1+\cos\left(\pi\frac{\delta}{\varLambda}\right)\cos\left(2\pi\frac{\delta}{\lambda}\right)\right]$
où $\displaystyle \frac{2}{\lambda}=\frac{1}{\lambda_{1}}+\frac{1}{\lambda_{2}}$
et $\displaystyle \frac{1}{\varLambda}=\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\lambda_{1}\lambda_{2}}$.

L’éclairement varie ainsi rapidement entre les courbes enveloppes
$\displaystyle 2E_{01}\left[1+\cos\left(\pi\frac{\delta}{\varLambda}\right)\right]$ et $\displaystyle 2E_{01}\left[1-\cos\left(\pi\frac{\delta}{\varLambda}\right)\right]$.
Le contraste $\displaystyle C=\left|\cos\left(\pi\frac{\delta}{\varLambda}\right)\right|=\left|\cos\left(\pi\frac{2e_{0}+2Vt}{\varLambda}\right)\right|$ a une période en $\displaystyle \delta$ égale à $\displaystyle \varLambda$, et une période temporelle $\displaystyle T=\frac{\varLambda}{2V}$ qui redonne le résultat précédent.

• Doublet de longueurs d’onde 👉 les ondes de longueur d’onde différentes n’interfèrent pas, les éclairements s’ajoutent.
• Michelson en lame d’air à faces parallèles 👉 avec l’observation à l’infini, $\displaystyle \delta=2e\cos i$. Au foyer image $\displaystyle i=0$.
• Longueur de cohérence 👉 Pour observer des interférences, il est nécessaire que $\displaystyle \delta<L_C$.

Le principe est le même que dans l’exercice 87, sauf qu’apparaît une échelle de temps supplémentaire car l’amplitude des battements varie.

Au foyer image d’une lentille convergente, les ondes interfèrent, avec une différence de marche $\displaystyle \delta=2e$, où $\displaystyle e(t)=e_{0}+Vt$ est la distance entre les deux miroirs.

Il s’agit ici d’une source comportant un doublet de longueurs d’onde voisines $\displaystyle \lambda_{1}<\lambda_{2}$ .

• L’échelle de temps la plus courte correspond à la période temporelle $\displaystyle T_{1}$ des franges qui défilent. Un maximum est obtenu pour $\displaystyle \delta=p\lambda,p\in\mathbb{Z}$ où $\displaystyle \lambda$ est la longueur d’onde moyenne du doublet.
  $\displaystyle \delta=2\left(e_{0}+Vt\right)=p\lambda\Rightarrow$$$\lambda=2VT_{1}.$$
  A.N. $\displaystyle T_{1}=7,80/15=0,52\textrm{ s},\lambda=0,58\textrm{ }\mu\textrm{m}.$

• Comme dans le cas du sodium (exercice 87), l’écart de longueur d’onde est associé à une “période” temporelle des battements $\displaystyle T_{2}=\frac{\varLambda}{2V}$ où $\displaystyle \Lambda=\frac{\lambda_{2}\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\simeq\frac{\lambda^{2}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}$.
  On en déduit $$\Delta\lambda=\simeq\frac{\lambda^{2}}{2VT_{2}}.$$
  A.N. $\displaystyle \lambda\simeq5,8.10^{2}\textrm{ nm}$ et $\displaystyle T_{2}=720/5\textrm{ s}$, $\displaystyle \Delta\lambda=2,1\textrm{ nm}$.

• L’amplitude des interférences décroît lorsqu’on s’éloigne du contact optique $\displaystyle \delta=0$, car chaque raie du doublet a une largeur spectrale $\displaystyle \Delta\nu$ qui est associée à une longueur de cohérence $\displaystyle L_{c}=c/\Delta\nu$.
  Considérons que la largeur totale à mi-hauteur de la courbe enveloppe en fonction de $\displaystyle \delta$ est de l’ ordre de grandeur de $\displaystyle L_{c}/2$ (les interférences ne sont plus observables pour $\displaystyle \left|\delta\right|\geq L_{c}$). Ainsi, avec $\displaystyle \delta=2\left(e_{0}+Vt\right)$, la largeur totale à mi-hauteur $\displaystyle T_{3}$ de la courbe enveloppe en fonction de $\displaystyle t$ permet d’obtenir un ordre de grandeur $$L_{c}\sim4VT_{3}.$$
  A.N. $\displaystyle L_{c}\simeq0,8\textrm{ mm}$, ce qui est un ordre de grandeur vraisemblable.
  Remarque — On peut faire une modélisation simpliste d’une raie à profil rectangulaire en fréquence entre $\displaystyle \nu_{0}-\Delta\nu/2$ et $\displaystyle \nu_{0}+\Delta\nu/2$ , qui conduit dans le cas d’une seule raie à un éclairement $$\mathcal{E}=2\mathcal{\mathcal{E}}_{0}\left(1+\frac{\sin\left(\pi\Delta\nu\delta/c\right)}{\pi\Delta\nu\delta/c}\cos\left(\frac{2\pi}{c}\nu_{0}\delta\right)\right).$$
  Une expression détaillée de l’éclairement n’est pas nécessaire ici.