Diffraction

Ordre d’interférence $\displaystyle p$ 👉 $\displaystyle \delta=2e\cos i=p\lambda$. Attention à la confusion entre ordre d’interférence et numérotation de la frange d’interférence en partant du centre.

1. Cours : $\displaystyle \delta=2e\cos i$, $\displaystyle i$ angle d’incidence sur les miroirs.

2. Pour la frange d’ordre $\displaystyle p$ :

$\displaystyle \delta=2e\cos i=p\lambda\Longrightarrow r=f'\sqrt{2\left(1-\frac{p}{p_{0}}\right)}$. Pour avoir un maximum d’intensité, $\displaystyle p$ doit être entier. Comme le centre de la figure d’interférence est brillant, l’ordre au centre $\displaystyle p_{0}=2e/\lambda$ est entier et le $\displaystyle k$ième anneau brillant correspond à $\displaystyle p=p_{0}-k$. D’où le rayon $$r_{k}=\sqrt{\frac{k\lambda}{e}}.$$

A.N. : $\displaystyle r_{1}$=7,39 mm, $\displaystyle r_{2}$=1,04 cm, $\displaystyle r_{3}$=1,28 cm

3. Au contact optique, $\displaystyle \delta=0$ pour tout $\displaystyle i$, l’éclairement est uniforme, c’est la teinte plate.

Avec le miroir sphérique au lieu de plan, on se retrouve avec un dispositif de type coin d’air, mais il y a une symétrie de révolution autour de l’axe de la sphère, qui fait qu’on va observer une figure d’interférence constituée d’anneaux et non de franges rectilignes. Pour observer ces franges, il faut observer directement à l’oeil en accomodant sur le “coin d’air” ou par projection, en faisant l’image du coin d’air par une lentille.

L’épaisseur du “coin d’air” est $\displaystyle e(r)=AB=R-\sqrt{R^{2}-r^{2}}\simeq \frac{r^{2}}{2R}$.

Les maxima d’intensité correspondent à $\displaystyle 2e(x)=p\lambda$, $\displaystyle p$ entier. Soit $$r=\sqrt{p\lambda R}.$$

A.N. $\displaystyle r_{1}$=2,33 mm, $\displaystyle r_{2}$=3,30 mm, $\displaystyle r_{3}$=4,03 mm.

Modélisation de l’oeil : association d’une lentille de vergence variable (le cristallin) et d’un capteur fixe (la rétine).
Lentilles minces 👉 formules de conjugaison (Descartes ou Newton).

1. Le patient est myope. Un oeil emmétrope (normal) peut accomoder pour faire l’image d’un objet entre $\displaystyle -\infty$ et -25 cm. Ici, le cristallin correspond à une lentille trop convergente : sa distance focale maximale est plus petite que la distance fixe cristallin-rétine : l’image d’un objet à grande distance (supérieure à 26 cm) ne peut jamais se former sur la rétine.

• Pour un oeil emmétrope, lorsqu’une personne accomode, elle fait varier la courbure de son cristallin et modifie ainsi la distance focale de la lentille équivalente. $\displaystyle f'$ varie de $\displaystyle f'_{1}$ (sans accomodation, c’est l’observation à l’infini, c’est aussi la distance cristallin-rétine, c’est-à-dire la distance du cristallin à l’image qui est formée) à $\displaystyle f'_{2}$ telle que

$\displaystyle \frac{1}{f'_{1}}-\frac{1}{-PP}=\frac{1}{f'_{2}}$, soit $\displaystyle f'_{2}=\frac{f'_{1}.PP}{f'_{1}+PP}<f'_{1}$.

• Pour le patient myope, $\displaystyle f'$ varie de $\displaystyle f'_{1}$ (lorsque l’image de l’objet à $\displaystyle d_{1}$= 26 cm se forme sur la rétine, $\displaystyle f'_{1}$ n’est pas égale à la distance $\displaystyle d$ cristallin-rétine) à $\displaystyle f'_{2}$ (lorsque l’image de l’objet à $\displaystyle d_{2}$= 13 cm se forme sur la rétine, $\displaystyle f'_{2}$ n’est pas non plus égale à la distance $\displaystyle d$ cristallin-rétine)

$\displaystyle \frac{1}{d}-\frac{1}{-d_{1}}=\frac{1}{f'_{1}}$ et $\displaystyle \frac{1}{d}-\frac{1}{-d_{2}}=\frac{1}{f'_{2}}$.

• La correction apportée par les lunettes doit être telle que l’image par les lunettes d’un objet situé à une distance de l’oeil entre l’infini et 26 cm se trouve à une distance en cm du cristallin $\displaystyle d_{2}=13,5<d_{3}<d_{1}=26$. Ainsi pour un objet à l’infini, il faudrait que l’image par les lunettes soit à $\displaystyle 26-2 = 24$ cm des lunettes, il faut donc une lentille divergente de focale $\displaystyle f'= -24$ cm ou une vergence $\displaystyle V=4,2\textrm{ en dioptrie}$.

On vérifie que pour un objet situé à 25 cm de l’oeil (qui correspond au P.P. de l’oeil normal), son image par les lunettes se fera à une distance d’ du cristallin telle que, numériquement, $\displaystyle -\frac{1}{d'}-\frac{1}{-25}=-\frac{1}{24}$, soit $\displaystyle d'$=12,2 cm, soit une distance des yeux (du cristallin) de 14,2 cm.

• Pour des lentilles de contact, qu’on suppose à une position identique aux cristallins, on a directement

$\displaystyle f'=-26$ cm ou une vergence $\displaystyle V = 3,85$ en dioptries.

2. Avec l’âge, le patient devient presbyte, c’est-à-dire qu’il n’arrive plus à accomoder. Pour lire son journal, il lui suffit d’enlever ses lunettes et de placer le journal à 26 cm de ses yeux. En revanche, il ne verra toujours guère au-delà de 26 cm.

1. Deux sources cohérentes 👉 On somme les amplitudes : l’éclairement est donné par la formule de Fresnel.
2. Deux sources incohérentes 👉 On somme les intensités.

1. C’est le cas du cours pour l’observation à l’infini :

$\displaystyle E(M)=2E_{0}\left(1+\cos\left(2\pi\frac{\delta}{\lambda}\right)\right)$.

avec $\displaystyle \delta=a\sin\alpha\simeq a\frac{X}{f'}$. Les franges sont rectilignes équidistantes parallèles à l’axe $\displaystyle (OY)$. Le contraste est égal à 1.

2. Chaque point source produit sa propre figure d’interférence. Les différences de marche ont changé.

Pour la source 1 $\displaystyle \delta_{1}=\left(S_{1}F_{2}M\right)-\left(S_{1}F_{1}M\right)\simeq a\frac{v_{0}t}{D}+a\frac{X}{f'}$.

Pour la source 2 $\displaystyle \delta_{2}=\left(S_{2}F_{2}M\right)-\left(S_{2}F_{1}M\right)\simeq-a\frac{v_{0}t}{D}+a\frac{X}{f'}$.

Les sources $\displaystyle S_{1}$ et $\displaystyle S_{2}$ sont incohérentes, donc les éclairements s’ajoutenent :

$\displaystyle E(M)=2E_{0}\left(1+\cos\left(2\pi\frac{\delta_{1}}{\lambda}\right)\right)+2E_{0}\left(1+\cos\left(2\pi\frac{\delta_{2}}{\lambda}\right)\right)$.

$\displaystyle E(M)=4E_{0}\left(1+\cos\left(2\pi\frac{\delta_{1}-\delta_{2}}{2\lambda}\right)\right)\cos\left(2\pi\frac{\delta_{1}+\delta_{2}}{2\lambda}\right)$.
$\displaystyle E(M)=4E_{0}\left(1+\cos\left(2\pi\frac{av_{0}t}{D\lambda}\right)\cos\left(2\pi\frac{aX}{\lambda f'}\right)\right)$.

$$E(M)=4E_{0}\left(1+V\cos\left(2\pi\frac{aX}{\lambda f'}\right)\right).$$

Le contraste $\displaystyle C=\left|V\right|=\left|\cos\left(2\pi\frac{av_{0}t}{D\lambda}\right)\right|$ varie périodiquement avec une période $$T=\frac{D\lambda}{2av_{0}}.$$

Michelson en coin d’air éclairé par une source étendue 👉 franges rectilignes “d’égale épaisseur” localisées sur le coin d’air.

1. Les franges de coin d’air sont rectilignes, c’est la première figure qui convient.

2. Les franges d’interférence sont localisées au niveau du coin d’air. La lentille de projection conjugue le coin d’air (i.e. l’un des miroirs) et l’écran de projection. D’où $\displaystyle \mathrm{}\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f'}$.

avec $\displaystyle f'$ la distance focale de la lentille convergente, $\displaystyle O$ son centre optique, $\displaystyle A$ point du coin d’air, $\displaystyle A'$ point de l’écran.

La distance $\displaystyle AA'=1,25\textrm{ m }$ est donnée. Par ailleurs, l’image du miroir de diamètre 20 mm est un disque de diamètre 8 cm sur l’écran. Avec la relation du grandissement

$\displaystyle \left|\gamma\right|=\frac{OA'}{OA}$, on en déduit $\displaystyle \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=-4$ (l’objet et l’image sont réels, donc $\displaystyle \overline{OA'}>0$ et $\displaystyle \overline{OA}<0)$. Ainsi

$\displaystyle \begin{cases} \overline{OA'}-\overline{OA}=1,25\textrm{ m }\\ \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=-4 \end{cases}$, d’où $\displaystyle \overline{OA'}=1\textrm{ m }$ et $\displaystyle \overline{OA}=-0,25\textrm{ m }$.

Avec la relation de conjugaison : $\displaystyle f'=20\textrm{ cm}$. La lentille est placée à 25 cm du miroir, et à 1,0 m de l’écran.

3. On déduit de la figure la valeur de l’interfrange sur l’écran $\displaystyle i'$, ce qui correspond à un interfrange $\displaystyle i=i'/\left|\gamma\right|$. Pour le coin d’air, $\displaystyle i=\frac{\lambda}{2\alpha}$, d’où $\displaystyle \alpha=\frac{\lambda\left|\gamma\right|}{2i'}$.

A.N. $\displaystyle \left|\gamma\right|=4, i'=\frac{8.10^{-2}}{17}\textrm{ m}$, d’où $\displaystyle \alpha=3.10^{-4}\textrm{ rads}$.

4. Pour les rayons se réfléchissant sur la bosse, l’onde lumineuse parcourt un chemin optique “en moins” égal à $\displaystyle \lambda/2$ (aller-retour), soit un déphasage de $\displaystyle \pi$. Ainsi sur un disque correspondant à l’image géométrique de la bosse, de diamètre 16 mm $\displaystyle (\left|\gamma\right|\textrm{x4)}$, on observera un décalage d’un demi-interfrange par rapport à la situation du 1 (les zones lumineuses deviennent sombres et réciproquement).

• Interférences à n>2 ondes 👉 Sommer les amplitudes complexes.
• Interférences à l’infini 👉 Evaluer le déphasage avec la loi du retour inverse + théorème de Malus.

Pour un point M de l’écran, appelons $\displaystyle \underline{s}_{1}(M)$ l’amplitude complexe de l’onde issue de la fente $\displaystyle F_1$ (en $\displaystyle x=a$) telle que $\displaystyle \underline{s}_{1}(M,t)=\underline{s}_{1}(M)\exp\left(i\omega t\right)$.
L’amplitude complexe de l’onde issue de la fente du milieu est $$\underline{s}_{2}(M)=\underline{s}_{1}(M)\exp\left(-i\varphi\right).$$ où $\displaystyle \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left[\left(F_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)\right]$.

$\displaystyle \delta=\left(F_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)=\left(F_{2}H_{2}\right)+\left(H_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)$.
En utilisant le principe de Malus et la loi du retour inverse de la lumière
$\displaystyle \left(H_{2}M\right)=\left(F_{1}M\right)$, et $\displaystyle \delta=F_{2}H_{2}=a\sin\alpha\simeq a\frac{x}{f'}$ dans l’approximation de Gauss.

De même $\displaystyle \underline{s}_{3}(M)=\underline{s}_{2}(M)\exp\left(-i\varphi\right)$.

Les ondes issues des 3 fentes sont cohérentes, l’amplitude complexe résultante en M

$\displaystyle \begin{aligned} \underline{s} & =\underline{s}_{1}+\underline{s}_{2}+\underline{s}_{3}\\ & =\underline{s}_{1}\left(1+\exp\left(-i\varphi\right)+\exp\left(-2i\varphi\right)\right). \end{aligned}$

L’éclairement $\displaystyle \mathcal{E}(M)=K\underline{s}.\underline{s}^{*}$ avec $\displaystyle K$ facteur de proportionnalité, soit

$\displaystyle \mathcal{E}(M)=K\left|\underline{s}_{1}\right|^{2}\left[3+4\cos\varphi+2\cos\left(2\varphi\right)\right].$

$\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{E}(M) & =K\left|\underline{s}_{1}\right|^{2}\left[3+4\cos\varphi+2\cos\left(2\varphi\right)\right]\\ & =\mathcal{E}_{0}\left[3+4\cos\varphi+2\cos\left(2\varphi\right)\right]. \end{aligned}$

$\displaystyle \mathcal{E}_{0}(M)$ étant l’éclairement obtenu quand une seule fente est ouverte.

L’éclairement, fonction de $\displaystyle \varphi$, est $\displaystyle 2\pi$ périodique, et pair, avec sur $\displaystyle \left[0,\pi\right]$ un maximum absolu $\displaystyle 9\mathcal{E}_{0}$ pour $\displaystyle \varphi=0$ (toutes les ondes sont en phase) et un maximum relatif $\displaystyle \mathcal{E}_{0}$ pour $\displaystyle \varphi=\pi$ (les ondes 1 et 3 sont en phase, l’onde 2 en opposition de phase). Le minimum d’éclairement nul est obtenu pour $\displaystyle \varphi=2\pi/3$.

En fonction de la position de M,

$\displaystyle \mathbb{\mathcal{E}}(M)=\mathcal{E}_{0}\left[3+4\cos\left(2\pi\frac{ax}{\lambda f'}\right)+2\cos\left(4\pi\frac{ax}{\lambda f'}\right)\right].$

On observe ainsi sur l’écran des franges rectilignes parallèles à $\displaystyle \left(Oy\right)$, avec des franges très brillantes séparées de $\displaystyle \frac{\lambda f'}{a}$. Partant d’une frange brillante, on observe à une distance $\displaystyle \frac{\lambda f'}{3a}$ une frange sombre, puis à $\displaystyle \frac{\lambda f'}{2a}$ une frange brillante d’intensité 9 fois plus faible, et à $\displaystyle \frac{2\lambda f'}{3a}$ une nouvelle frange sombre.

• Condition d’interférence sur la polarisation 👉 Les ondes scalaires doivent être associés à des ondes électromagnétiques de directions de polarisation non perpendiculaires.
• Interférences à l’infini 👉 Evaluer le déphasage avec la loi du retour inverse + théorème de Malus.

1. Seules les ondes issues de $\displaystyle F_{1}$ et $\displaystyle F_{2}$ interfèrent.
   Pour un point M de l’écran, le déphasage entre les deux ondes est
   $\displaystyle \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left[\left(F_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)\right]$.
   $\displaystyle \delta=\left(F_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)=\left(F_{2}H_{2}\right)+\left(H_{2}M\right)-\left(F_{1}M\right)$.
   
   En utilisant le principe de Malus et la loi du retour inverse de la lumière $\displaystyle \left(H_{2}M\right)=\left(F_{1}M\right)$, et $\displaystyle \delta=F_{2}H_{2}=a\sin\alpha\simeq a\frac{x}{f'}$ dans l’approximation de Gauss.
   La formule de Fresnel donne l’éclairement associé à ces deux ondes
   $$\mathcal{E}_{1,2}(M)=2\mathcal{E}_{0}\left[1+\cos\varphi\right].$$
   Pour des ondes de directions de polarisation perpendiculaires, on somme les éclairements. D’où l’éclairement total
   $\displaystyle \begin{aligned} \mathbb{\mathcal{E}}(M) & =\mathcal{E}_{0}+\mathcal{E}_{1,2}(M)\\ & =3\mathcal{E}_{0}\left[1+\frac{2}{3}\cos\varphi\right]\\ & =3\mathcal{E}_{0}\left[1+\frac{2}{3}\cos\left(2\pi\frac{ax}{\lambda f'}\right)\right]. \end{aligned}$
   On observe sur l’écran des franges rectilignes parallèles à $\displaystyle \left(Oy\right)$ d’interfrange $\displaystyle i=\frac{\lambda f'}{a}$, de contraste $\displaystyle C=\frac{\mathcal{E}_{max}-\mathcal{E}_{min}}{\mathcal{E}_{max}+\mathcal{E}_{min}}=2/3$.

2. Seules les ondes issues de $\displaystyle F_{1}$ et $\displaystyle F_{3}$ interfèrent. Ces fentes étant distantes de $\displaystyle 2a$, on obtient de la même manière qu’en 1.
   $\displaystyle \mathcal{E}_{1,3}(M)=2\mathcal{E}_{0}\left[1+\cos\psi\right]$ où $\displaystyle \psi=2\pi\frac{2ax}{\lambda f'}=2\varphi.$
   L’éclairement total devient
   $\displaystyle \begin{aligned} \mathbb{\mathcal{E}}(M) & =\mathcal{E}_{0}+\mathcal{E}_{1,3}(M)\\ & =3\mathcal{E}_{0}\left[1+\frac{2}{3}\cos\left(4\pi\frac{ax}{\lambda f'}\right)\right]. \end{aligned}$
   On observe sur l’écran des franges rectilignes parallèles à $\displaystyle \left(Oy\right)$ d’interfrange $\displaystyle i'=\frac{\lambda f'}{2a}=\frac{i}{2}$, de même contraste $\displaystyle C=2/3$.

Remarque — Le cas des interférences à 3 ondes est abordé dans l’exercice 40 Interférences à N>2 ondes.

Dispositif afocal 👉 l’image d’un objet à l’infini est à l’infini.

1. L’image d’un objet à l’infini par la lentille convergente L1 est en $\displaystyle F'_1$. L’image par le miroir est le symétrique de $\displaystyle F'_1$ par rapport à $\displaystyle M$, et coïncide avec le foyer objet $\displaystyle F_2$ de la lentille $\displaystyle L_{2}$, dont l’image par $\displaystyle L_{2}$ est à l’infini par définition.

2. Le diamètre angulaire de Jupiter vu de la Terre est $\displaystyle \alpha\simeq2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{d}{D}$.
   
   Dans le plan focal image de $\displaystyle L_{1}$, l’image intermédiaire de Jupiter a un diamètre $\displaystyle 2F'_{1}A_{1}=\alpha f'_{1}$. C’est aussi le diamètre de son image par le miroir $\displaystyle (F'_{1}A_{1}=F_{2}A_{2})$. Les rayon extrêmes du faisceau émergeant de $\displaystyle L_{2}$ font ainsi un angle $\displaystyle \beta\simeq2\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)=\alpha\frac{f'_{1}}{f'_{2}}$.

A.N. Alors que $\displaystyle \alpha=2.10^{-4}\mathbb{\textrm{radians }}$ est inférieur au pouvoir séparateur de l’oeil $\displaystyle (3.10^{-4}\textrm{ radians})$, l’image obtenue par le télescope a un diamètre angulaire $\displaystyle \beta=2.10^{-3}$ radians, l’image n’apparaît pas ponctuelle.

Remarque — On peut simplifier le système en “repliant” le schéma par rapport au miroir. $\displaystyle F'_{1}$ et $\displaystyle F_{2}$ se superposent, ainsi que $\displaystyle A_{1}$ et $\displaystyle A_{2}$. On a juste une lunette afocale dont le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet de l’oculaire.

• Maximum d’intensité 👉 Les ondes sont en phase.
• Calcul de l’intensité (ou éclairement) pour N>2 ondes 👉 Sommer les amplitudes complexes pour obtenir l’amplitude résultantes avant de passer à l’intensité.

1. Il s’agit d’un réseau par réflexion. Les miroirs étant “très fins”, la diffraction par un miroir se fait dans tout le demi-espace disponible, et le problème se ramène à l’interférence des $\displaystyle N$ ondes dans la direction $\displaystyle \theta$.

Evaluons la différence de marche entre les rayons se réfléchissant sur deux marches consécutives.

$\displaystyle \delta=HO_{k}+O_{k}K=b+\overrightarrow{O_{k}O_{k+1}}.\overrightarrow{u_{\theta}}$

avec $\displaystyle \overrightarrow{u_{\theta}}=\cos\theta\overrightarrow{u_{y}}+\sin\theta\overrightarrow{u_{x}}$, et $\displaystyle \overrightarrow{O_{k}O_{k+1}}=b\overrightarrow{u_{y}}-a\overrightarrow{u_{x}}$.

$$\delta=b+b\cos\theta-a\sin\theta.$$

Les maxima d’intensité correspondent à $\displaystyle \delta=p\lambda,p\in\mathbb{Z}$.

Soit $\displaystyle \theta_{0}=\arctan\left(a/b\right), \delta=p\lambda\Longleftrightarrow b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\left(\theta+\theta_{0}\right)=p\lambda$.

$$\cos\left(\theta+\theta_{0}\right)=\frac{p\lambda-b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$ (avec $\displaystyle \theta>-\arctan\frac{a}{2b})$ pour que les rayons puissent émerger.

L’intérêt d’un tel dispositif est que les maxima sont obtenus pour des ordres $\displaystyle p$ élevés, ce qui permet d’obtenir un meilleur pouvoir de résolution : pour un faible écart de longueur d’onde, l’écart angulaire vérifie
$\displaystyle -\sin\left(\theta+\theta_{0}\right)\Delta\theta=p\frac{\Delta\lambda}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$

2. Soit $\displaystyle \underline{a}_{1}\left(\theta\right)$ l’amplitude complexe diffractée par la marche n°1 dans la direction d’angle $\displaystyle \theta$, et soit $\displaystyle \phi\left(\theta\right)=2\pi\frac{\delta}{\lambda}$ le déphasage entre les ondes issues de deux fentes consécutives. L’amplitude résultante est
   $$\begin{aligned}\underline{a}\left(\theta\right)&=\sum_{k=1}^{N}\underline{a}_{k}\left(\theta\right)\\ &=\underline{a}_{1}\sum_{n=0}^{N-1}e^{in\phi}=\underline{a}_{1}\frac{1-e^{iN\phi}}{1-e^{i\phi}}\\&=\underline{a}_{1}e^{i(N-1)\phi/2}\frac{\sin\left(N\phi/2\right)}{\sin\left(\phi/2\right)}. \end{aligned}$$ Avec $\displaystyle I_{0}=\left|\underline{a}_{1}\right|^{2}$,

$$I(\phi)=I_{0}\left(\frac{\sin\left(N\phi/2\right)}{\sin\left(\phi/2\right)}\right)^{2}.$$

Les maxima principaux sont bien obtenus pour $\displaystyle \phi=2p\pi$, soit $\displaystyle \delta=p\lambda$.

(pour 20 fentes)

Écrivons l’égalité des chemins optiques parcourus pour un rayon ne passant pas par le renflement $\displaystyle (AL)$ ou passant par le renflement $\displaystyle (BM)$, avec $\displaystyle (AL)=(BM)$.

$\displaystyle \left(AL\right)=ne+A'L.$

$\displaystyle \left(BM\right)=n(e+e')+B"M.$

$\displaystyle \left(AL\right)=\left(BM\right)\Rightarrow ne+A'L=n(e+e')+B"M.$

$\displaystyle \Rightarrow B'M=B"M+e'=A'L-(n-1)e'.$

Les surfaces équiphase après la lame possèdent un “creux” au niveau du renflement de largeur $$e"=\left(n-1\right)e'.$$

Remarque — Le théorème de Malus n’est pas mis en défaut, puisque les rayons sont bien normaux aux surfaces équiphases, mais il ne donne pas d’information permettant de trouver ces surfaces d’après les tracés de rayons.

Propagation dans la fibre 👉 Exprimer la condition de réflexion totale à l’interface coeur/gaine.
Ondes en phase 👉 Déphasage multiple de 2$\displaystyle \pi$, ou différence de chemin optique multiple de $\displaystyle \lambda_0$.

1. Il doit y avoir réflexion totale à l’interface coeur/gaine, soit
   $\displaystyle n_{1}\sin\theta>n_{2}$, ou $\displaystyle \theta>\theta_{l}$, $$\theta_{l}=\arcsin\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right).$$
   L’angle $\displaystyle r=\pi/2-\theta>\pi/2-\theta_{l}$. Avec $\displaystyle \sin i=n_{1}\sin r$,
   $$i>\arcsin\left(n_{1}\cos\theta_{l}\right)=\arcsin\left(\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}\right).$$

2. Les ondes en $\displaystyle P$ et $\displaystyle P'$, qui appartiennent au même plan d’onde, sont en phase pour un déphasage $\displaystyle \varphi=2\pi\frac{\delta}{\lambda_0}=2m\pi,m\in\mathbb{Z}$.
   $\displaystyle \delta=n_{1}\left[PB+BC+CP'\right]=n_{1}\left[BC+CQ\right]$.
   
   $\displaystyle BC=\frac{a}{\cos\theta}$ et $\displaystyle BQ=BC\cos\left(2\theta\right)=\frac{a}{\cos\theta}\left(2\cos^{2}\theta-1\right)$.
   D’où $\displaystyle \delta=2n_{1}a\cos\theta$. La condition est donc $$2n_{1}a\cos\theta=m\lambda_{0},m\in\mathbb{Z}.$$
   La condition $\displaystyle \theta>\theta_{l}$ donne $\displaystyle \cos\theta<\cos\theta_{l}=\sqrt{1-\frac{n_{2}^{2}}{n_{1}^{2}}}$, soit $$0\leq m<\frac{2a}{\lambda_{0}}\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}.$$
   A.N. $\displaystyle \frac{2a}{\lambda}\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}=48,4.$ Il y a 49 modes possibles (de 0 à 48).

3. La fréquence doit vérifier $$f=c/\lambda_{0}>m\frac{c}{2a\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}=f_{c,m}.$$
   La fibre se comporte comme un passe-haut.

4. Seul le mode $\displaystyle m=0$ doit pouvoir convenir. Il faut donc $\displaystyle \frac{2a}{\lambda_{0}}\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}\leq1$,
   soit $$a\leq\frac{\lambda_{0}}{2\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}.$$
   A.N. $\displaystyle a\leq2,0\textrm{ }\mu\textrm{m}$. Dans ce cas, $\displaystyle \theta=\pi/2$, la propagation se fait selon l’axe de la fibre.

Théorème de Malus : les rayons lumineux sont normaux aux surfaces
d’onde ou surfaces équiphases.

Les deux ondes se propageant selon les rayons passant par $\displaystyle A$ et $\displaystyle B$ sont en phase d’une part en $\displaystyle A$ et $\displaystyle H$, d’autre part en $\displaystyle B$ et $\displaystyle K$. Donc $\displaystyle \left(AK\right)=\left(HB\right)$, soit $\displaystyle n_{2}AK=n_{1}HB\Longleftrightarrow n_{2}AB\sin i_{2}=n_{1}AB\sin i_{1}$.

$$n_{1}\sin i_{1}=n_{2}\sin i_{2}.$$

Dans le cas de la réflexion , on obtient de même $\displaystyle \left(AJ\right)=\left(HB\right)$, soit $$r=-i$$.

Pour 2. , utiliser la loi vectorielle de composition des vitesses
$\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=\overrightarrow{V_{R}}-\overrightarrow{V_{0}}=\overrightarrow{c}-V_{0}\overrightarrow{u_{x}}$. La direction de $\displaystyle \overrightarrow{c}$ dépend du trajet.

1. En lame d’air à faces parallèles

• avec une source ponctuelle les interférences sont délocalisées,
• avec une source étendue (cas du programme) les franges sont localisées à l’infini, observables directement à l’oeil, ou dans le plan focal image d’une lentille convergente.
  Les franges obtenues sont les franges d’égale inclinaison circulaires ; pour en observer plusieurs il faut des angles d’incidence variés sur les miroirs.
  Si on utilise une incidence unique $\displaystyle i=0$, il n’y aura qu’un point lumineux sur un écran placé dans le focal image d’une lentille convergente . Si on n’utilise pas de lentille (la source est “ponctuelle” à l’infini), on observe un éclairement uniforme.

2. Les deux miroirs et la séparatrice sont fixes dans $\displaystyle \left(R'\right)$ et se déplacent donc à la vitesse $\displaystyle \mathbb{}V_{0}\overrightarrow{u_{x}}$ dans $\displaystyle \left(R\right)$. Dans $\displaystyle \left(R'\right)$, le trajet de la lumière $\displaystyle IAI$ est selon $\displaystyle \left(Ix\right)$, alors que le trajet de la lumière $\displaystyle IBI$ est selon $\displaystyle \left(Iy\right)$. Utilisons la loi classique de composition des vitesses en notant $\displaystyle \overrightarrow{c}$ le vecteur vitesse de la lumière dans $\displaystyle \left(R\right)$ : $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=\overrightarrow{V_{R}}-\overrightarrow{V_{0}}=\overrightarrow{c}-V_{0}\overrightarrow{u_{x}}.$

• Pour le trajet $\displaystyle (IB)$ : $\displaystyle \overrightarrow{c}=c\overrightarrow{u_{x}}$, $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=\left(c-V_{0}\right)\overrightarrow{u_{x}}$. D’où $$t_{IB}=\frac{L+x}{c-V_{0}}.$$
• Pour le trajet $\displaystyle (BI)$ : $\displaystyle \overrightarrow{c}=-c\overrightarrow{u_{x}}$, $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=\left(-c-V_{0}\right)\overrightarrow{u_{x}}$. D’où $$t_{BI}=\frac{L+x}{c+V_{0}}.$$
• Pour le trajet $\displaystyle (IA)$ : $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=V_{R'}\overrightarrow{u_{y}}=\overrightarrow{c}-V_{0}\overrightarrow{u_{x}}\Longrightarrow c^{2}=V_{R'}^{2}+V_{0}^{2}$, soit $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=\sqrt{c^{2}-V_{0}^{2}}\overrightarrow{u_{y}}.$ D’où $$t_{IA}=\frac{L}{\sqrt{c^{2}-V_{0}^{2}}}.$$ On remarque que le trajet de la lumière dans $\displaystyle \left(R\right)$ ne se fait pas selon $\displaystyle \left(Oy\right)$.
• Pour le trajet $\displaystyle (AI)$ : $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=-V_{R'}\overrightarrow{u_{y}}=\overrightarrow{c}-V_{0}\overrightarrow{u_{x}}\Longrightarrow c^{2}=V_{R'}^{2}+V_{0}^{2}$, soit $\displaystyle \overrightarrow{V_{R'}}=-\sqrt{c^{2}-V_{0}^{2}}\overrightarrow{u_{y}}$. D’où $$t_{AI}=\frac{L}{\sqrt{c^{2}-V_{0}^{2}}}=t_{IA}.$$
  $\displaystyle \begin{aligned}t_{IBI}&=t_{IB}+t_{BI}=\frac{2c\left(L+x\right)}{c^{2}-V_{0}^{2}}\\&\simeq\frac{2\left(L+x\right)}{c}\left(1+\frac{V_{0}^{2}}{c^{2}}\right).\end{aligned}$
  $\displaystyle \begin{aligned}t_{IAI}&=t_{IA}+t_{AI}=\frac{2L}{\sqrt{c^{2}-V_{0}^{2}}}\\&\simeq\frac{2L}{c}\left(1+\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}\right).\end{aligned}$
  On en déduit
  $\displaystyle \begin{aligned}\Delta\varphi&=\omega\left(t_{IBI}-t_{IAI}\right)\\&=\frac{2\omega}{c}\left[x+L\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}+x\frac{V_{0}^{2}}{2c}\right]\end{aligned}.$
  Le dernier terme est négligeable : $$\Delta\varphi=\frac{2\omega}{c}\left[x+L\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}\right].$$

3. L’interféromètre est réglé pour avoir $\displaystyle x=-L\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}$. En tournant l’interféromètre :

• $\displaystyle t_{IBI}\simeq\frac{2(L+x)}{c}\left(1+\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}\right)$
• $\displaystyle t_{IAI}\simeq\frac{2L}{c}\left(1+\frac{V_{0}^{2}}{c^{2}}\right)$
  Soit $\displaystyle \Delta\varphi=\frac{2\omega}{c}\left[x-L\frac{V_{0}^{2}}{2c^{2}}\right]=-\frac{2\omega}{c}L\frac{V_{0}^{2}}{c^{2}}=-\frac{4\pi L}{\lambda}\frac{V_{0}^{2}}{c^{2}}.$

4. On étudie le système Terre dans le référentiel héliocentrique. La Terre est soumise à l’attraction gravitationnelle du Soleil. En appliquant le théorème du centre de masse à la Terre dans le plan de sa trajectoire circulaire :
   $\displaystyle M_{T}\overrightarrow{a}=-M_{T}\left(\frac{V_{0}^{2}}{R}\right)\overrightarrow{u_{r}}=-G\frac{M_{S}M_{T}}{R^{2}}\overrightarrow{u_{r}}$, d’où
   $$V_{0}=\sqrt{\frac{GM_{S}}{R}}=\frac{2\pi R}{T_{1an}}.$$
   A.N. : $\displaystyle V_{0}=30$ km.s$\displaystyle ^{-1}$.
   $\displaystyle \Delta\varphi=2\pi\Delta p\Longrightarrow\Delta p=\frac{2L}{\lambda}\frac{V_{0}^{2}}{c^{2}}=0,4$ pour $\displaystyle \lambda=5.10^{-7}$ m. On devrait par conséquent observer une variation nette de l’éclairement. Ce n’est pas le cas, donc la loi de composition des vitesses est inexacte. L’expérience de Michelson et Morley est une expérience (négative) fondatrice de la relativité.