Ondes mécaniques

Equation de dispersion 👉 Etablir une équation de propagation et y injecter une représentation complexe du signal.

Indice : chercher l’onde sous la forme $\displaystyle u_{n}(t)=U_{0}\exp\left(i(kx_{n}-\omega t\right))$.

Faisons un bilan des forces exercées sur l’atome $\displaystyle n$

• ressort lié à l’atome $\displaystyle n-1$ : $\displaystyle \overrightarrow{T}_{n-1,n}=-K_{1}\left(u_{n}-u_{n-1}\right)\overrightarrow{u_{x}}$.

• ressort lié à l’atome $\displaystyle n+1$ : $\displaystyle \overrightarrow{T}_{n+1,n}=-K_{1}\left(u_{n+1}-u_{n}\right)\left(-\overrightarrow{u_{x}}\right)$.

• ressort lié à l’atome $\displaystyle n-2$ : $\displaystyle \overrightarrow{T}_{n-2,n}=-K_{2}\left(u_{n}-u_{n-2}\right)\overrightarrow{u_{x}}$.

ressort lié à l’atome $\displaystyle n+2$ : $\displaystyle \overrightarrow{T}_{n+1,n}=-K_{2}\left(u_{n+2}-u_{n}\right)\left(-\overrightarrow{u_{x}}\right)$

En référentiel supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique projeté sur $\displaystyle \left(Ox\right)$ donne :

$\displaystyle M\ddot{u_{n}}=-K_{1}\left(2u_{n}-u_{n-1}-u_{n+1}\right)-K_{2}\left(2u_{n}-u_{n-2}-u_{n+2}\right)$.

Supposons qu’il existe une onde associée à ces déplacements de telle sorte que $\displaystyle u_{n}(t)=U_{0}\exp\left(i(kx_{n}-\omega t)\right)$. D’où :

$\displaystyle -M\omega^{2}=-K_{1}(2-e^{ikd}-e^{-ikd})-K_{2}(2-e^{2ikd}-e^{-2ikd})$.
Avec $\displaystyle \omega_{1}^{2}=\frac{K_{1}}{M}$ et $\displaystyle \omega_{2}^{2}=\frac{K_{2}}{M}$,

$\displaystyle \omega^{2}=2\omega_{1}^{2}\left(1-\cos\left(kd\right)\right)+2\omega_{2}^{2}\left(1-\cos\left(2kd\right)\right)$.$$\omega^{2}=4\left[\omega_{1}^{2}\sin^{2}\left(kd/2\right)+\omega_{2}^{2}\sin^{2}\left(kd\right)\right]$$

• La limite $\displaystyle kd\rightarrow0$ correspond à la limite des grandes longueurs d’onde $\displaystyle \lambda\gg$, d’où l’approximation continue est valide (on pourrait la retrouver en faisant des dl à l’ordre 2 de $\displaystyle u(x\pm d,t)$ et $\displaystyle u(x\pm2d,t)$ où $\displaystyle u(x=nd,t)=u_{n}(t)$).

$\displaystyle \omega^{2}=d^{2}\left(\omega_{1}^{2}+4\omega_{2}^{2}\right)k^{2}$ . Dans ce cas on trouve une propagation non dispersive de vitesse de phase $\displaystyle V_{\varphi}=d\sqrt{\omega_{1}^{2}+4\omega_{2}^{2}}$.

• En dehors de cette limite la propagation est dispersive car $\displaystyle \omega/k$ est non constant.

• La valeur maximale possible de $\displaystyle \omega$ est $\displaystyle \omega_{max}=2\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}}$. Pour une pulsation plus grande, il n’y a pas propagation.

Équation de dispersion 👉 Insérer les représentations complexes dans les équations de propagation.

1. $\displaystyle \frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=0$ avec $\displaystyle v=\sqrt{\frac{T_{0}}{\mu}}$.

2. La force de Laplace est
   $\displaystyle \overrightarrow{dF_{L}}=I\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{B}=I\left(dy\overrightarrow{u_{y}}+dz\overrightarrow{u_{z}}\right)\wedge B_{0}\overrightarrow{u_{x}}=IB_{0}\left(-\frac{\partial y}{\partial x}dx\overrightarrow{u_{z}}+\frac{\partial z}{\partial x}dx\overrightarrow{u_{y}}\right)=IB_{0}dx\left(-\frac{\partial y}{\partial x}\overrightarrow{u_{z}}+\frac{\partial z}{\partial x}\overrightarrow{u_{y}}\right).$

En référentiel terrestre supposé galiléen, considérons le système : élément de corde comprise au repos entre $\displaystyle x$ et $\displaystyle x+dx$.

Actions exercées : les tensions $\displaystyle \overrightarrow{T}\left(x+dx,t\right),-\overrightarrow{T}\left(x,t\right)$ et $\displaystyle \overrightarrow{dF_{L}}$.

Appliquons la relation fondamentale de la dynamique :

$\displaystyle \mu dx\overrightarrow{a}=\overrightarrow{T}\left(x+dx,t\right)-\overrightarrow{T}\left(x,t\right)+\overrightarrow{dF_{L}}$. On projette sur

• $\displaystyle \left(Ox\right) : 0=T_{x}\left(x+dx,t\right)-T_{x}\left(x,t\right)\Longrightarrow T_{x}=Cte=T_{0}$

• $\displaystyle \left(Oy\right) : \mu\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}dx=T_{y}\left(x+dx,t\right)-T_{y}\left(x,t\right)+IB_{0}\frac{\partial z}{\partial x}dx=\left[\frac{\partial T_{y}}{\partial x}+IB_{0}\frac{\partial z}{\partial x}\right]dx$. Avec $\displaystyle T_{y}=T_{0}\frac{\partial y}{\partial x}$,

$$\mu\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=T_{0}\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}+IB_{0}\frac{\partial z}{\partial x}.$$

• sur $\displaystyle \left(Oz\right)$ : de même,

$$\mu\frac{\partial^{2}z}{\partial t^{2}}=T_{0}\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}-IB_{0}\frac{\partial y}{\partial x}.$$

$\displaystyle \begin{cases} \left(k^{2}T_{0}-\mu\omega^{2}\right)\underline{Y}_{0}+ikIB_{0}\underline{Z_{0}}=0\\ -ikIB_{0}\underline{Y_{0}}+\left(k^{2}T_{0}-\mu\omega^{2}\right)\underline{Z}_{0}=0 \end{cases}.$

Pour qu’il y ait des solutions non nulles, il faut que le déterminant du système de deux équations à deux inconnues soit nul :

$\displaystyle \left(k^{2}T_{0}-\mu\omega^{2}\right)^{2}=\left(kIB_{0}\right)^{2}$,
soit $\displaystyle k^{2}T_{0}\pm kIB_{0}-\mu\omega^{2}=0$ ou $$k^{2}\pm k\frac{IB_{0}}{T_{0}}-\frac{\omega^{2}}{v^{2}}=0.$$

La résolution des deux équations conduit à des valeurs réelles de $\displaystyle k$ : il y a propagation sans amortissement ni amplification.

En remplaçant dans une des équations,en $\displaystyle \underline{Y}_{0}$ et $\displaystyle \underline{Z_{0}}$, on voit que $\displaystyle \underline{Y}_{0}=\pm i\underline{Z_{0}}$. La corde “tourne” dans un sens ou dans l’autre, on peut signaler l’analogie avec une OPPH électromagnétique de polarisation circulaire ou elliptique.

Limite non dispersive 👉 Relation linéaire entre $\displaystyle \omega$ et $\displaystyle k$.

Onde sur une chaîne discrète 👉 Chercher l’onde sous la forme
$\displaystyle x_{n}(t)=x_{0}\exp\left[i\left(\omega t-kz_n\right)\right]$.

1. La charge $\displaystyle n$ repérée par sa position $\displaystyle P_{n}$ est soumise aux forces
   exercées par ses plus proches voisines :

$\displaystyle \overrightarrow{F}_{n-1\rightarrow n}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\overrightarrow{P_{n}P_{n-1}}}{\left\Vert \overrightarrow{P_{n}P_{n-1}}\right\Vert ^{3}}$ et $\displaystyle \overrightarrow{F}_{n+1\rightarrow n}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\overrightarrow{P_{n}P_{n+1}}}{\left\Vert \overrightarrow{P_{n}P_{n+1}}\right\Vert ^{3}}$.

$\displaystyle \overrightarrow{F}_{n-1\rightarrow n}=\frac{Q^{2}\left[-a\overrightarrow{u_{z}}+\left(x_{n-1}-x_{n}\right)\overrightarrow{u_{x}}\right]}{4\pi\varepsilon_{0}\left(a^{2}+\left(x_{n-1}-x_{n}\right)^{2}\right)^{3/2}}$.
$\displaystyle \overrightarrow{F}_{n+1\rightarrow n}=\frac{Q^{2}\left[a\overrightarrow{u_{z}}+\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\overrightarrow{u_{x}}\right]}{4\pi\varepsilon_{0}\left(a^{2}+\left(x_{n+1}-x_{n}\right)^{2}\right)^{3/2}}$.

En référentiel supposé galiléen, on applique le principe fondamental de la dynamique à la charge $\displaystyle n$ en projection sur $\displaystyle \left(Ox\right)$

$\displaystyle m\ddot{x}_{n}=\frac{Q^{2}\left(x_{n-1}-x_{n}\right)}{4\pi\varepsilon_{0}\left(a^{2}+\left(x_{n-1}-x_{n}\right)^{2}\right)^{3/2}}+\frac{Q^{2}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)}{4\pi\varepsilon_{0}\left(a^{2}+\left(x_{n+1}-x_{n}\right)^{2}\right)^{3/2}}$

En se limitant à un développement au premier ordre non nul en $\displaystyle x_i/a$,

$\displaystyle m\ddot{x}_{n}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}a^{3}}\left[\left(x_{n-1}-x_{n}\right)+\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\right]$, soit

$$\ddot{x}_{n}=\frac{Q^{2}}{4\pi m\varepsilon_{0}a^{3}}\left[x_{n-1}+x_{n+1}-2x_{n}\right].$$

On retrouve l’équation usuelle d’une chaîne d’oscillateurs.

• On cherche une onde de la forme $\displaystyle x_{n}=x_{0}\exp\left[i\left(\omega t-kna\right)\right]$. En remplaçant dans (1) :

$\displaystyle -\omega^{2}=\frac{Q^{2}}{4\pi m\varepsilon_{0}a^{3}}\left(e^{ika}+e^{-ika}-2\right)$, soit la relation de dispersion
$\displaystyle \omega^{2}=\frac{Q^{2}}{2\pi m\varepsilon_{0}a^{3}}\left(1-\cos\left(ka\right)\right)=\frac{Q^{2}}{\pi m\varepsilon_{0}a^{3}}\sin^{2}\left(\frac{ka}{2}\right).$
La pulsation maximale est
$\displaystyle \omega_{M}=\sqrt{\frac{Q^{2}}{\pi m\varepsilon_{0}a^{3}}}$.

• Une propagation non dispersive correspond à une relation de dispersion de la forme $\displaystyle \omega^{2}=V^{2}k^{2}$. Cela correspond à la limite $\displaystyle ka\ll1$, c’est-à-dire à l’approximation des milieux continus.
En se plaçant directement dans ce cas, avec $\displaystyle x(z,t)$ telle que
$\displaystyle x\left(z=na,t\right)=x_{n}(t)$,
$\displaystyle \ddot{x}_{n}=\frac{\partial^{2}x}{\partial t^{2}}(na,t)$ et

$\displaystyle \begin{aligned} x_{n-1}+x_{n+1}-2x_{n}&=x(\left(n+1)a,t\right)+x(\left(n-1)a,t\right)-2x(na,t)\\&\simeq a^{2}\frac{\partial^{2}x}{\partial z^{2}}(na,t).\end{aligned}$

D’où $$\frac{\partial^{2}x}{\partial z^{2}}-\frac{4\pi m\varepsilon_{0}a}{Q^{2}}\frac{\partial^{2}x}{\partial t^{2}}=0.$$

On reconnait une équation de d’Alembert de célérité $\displaystyle V=\frac{Q}{\sqrt{4\pi m\varepsilon_{0}a}}$ dont on vérifie l’homogénéité en pensant à la force coulombienne $\displaystyle \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}a^{2}}$.

2. La force exercée par la charge $\displaystyle (n-k)$ sur la charge $\displaystyle n$ est
   $\displaystyle \overrightarrow{F}_{n-k\rightarrow n}=-\frac{Q^{2}\left(-1\right)^{k}\left[-ka\overrightarrow{u_{z}}+\left(x_{n-k}-x_{n}\right)\overrightarrow{u_{x}}\right]}{4\pi\varepsilon_{0}\left(\left(ka\right)^{2}+\left(x_{n-k}-x_{n}\right)^{2}\right)^{3/2}}$.
   La force exercée par la charge $\displaystyle n+k$ sur la charge $\displaystyle n$ est
   $\displaystyle \overrightarrow{F}_{n+k\rightarrow n}=-\frac{Q^{2}\left(-1\right)^{k}\left[ka\overrightarrow{u_{z}}+\left(x_{n+k}-x_{n}\right)\overrightarrow{u_{x}}\right]}{4\pi\varepsilon_{0}\left(\left(ka\right)^{2}+\left(x_{n+k}-x_{n}\right)^{2}\right)^{3/2}}.$
   Le principe fondamental de la dynamique à la charge $\displaystyle n$ en projection sur $\displaystyle \left(Ox\right)$ donne ainsi

$\displaystyle \begin{aligned} m\ddot{x}_{n}&=-\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{p=1}^{\infty}\left(-1\right)^{p}\left[\frac{x_{n-p}-x_{n}}{\left(\left(pa\right)^{2}+\left(x_{n-p}-x_{n}\right)^{2}\right)^{3/2}}\right.\\&\left. +\frac{x_{n+p}-x_{n}}{\left(\left(pa\right)^{2}+\left(x_{n+p}-x_{n}\right)^{2}\right)^{3/2}}\right]\\&=-\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}a^{3}}\sum_{p=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{p}}{p^{3}}\left(x_{n-p}+x_{n+p}-2x_{n}\right)\end{aligned}$

On cherche encore une onde de la forme $\displaystyle x_{n}=x_{0}\exp\left[i\left(\omega t-kna\right)\right]$.

$\displaystyle \omega^{2}=\frac{Q^{2}}{2\pi m\varepsilon_{0}a^{3}}\sum_{p=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{p}}{p^{3}}\left(\cos\left(pka\right)-1\right)$,

soit $\displaystyle \omega^{2}=-\frac{Q^{2}}{\pi m\varepsilon_{0}a^{3}}\sum_{p=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{p}}{p^{3}}\sin^{2}\left(\frac{pka}{2}\right)$.

Suivant l’énoncé, on en déduit dans la limite des milieux continus, tels que $\displaystyle ka\rightarrow0$ ou $\displaystyle a/\lambda\rightarrow0$,
$\displaystyle \begin{aligned}\omega^{2}&=-\frac{Q^{2}}{4\pi m\varepsilon_{0}a^{3}}\sum_{p=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{p}}{p}(ka)^2\\&=-\frac{Q^{2}}{4\pi m\varepsilon_{0}a}\left[\sum_{p=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{p}}{p}\right]k^{2}\end{aligned}$, soit

$$\omega^{2}=k^{2}\frac{Q^{2}}{4\pi m\varepsilon_{0}a}\ln2.$$

La célérité est dans ce cas
$\displaystyle V=Q\sqrt{\frac{\ln2}{4\pi m\varepsilon_{0}a}}.$

1. Par séparation des variables, $\displaystyle \frac{dk}{k}=2\frac{d\omega}{\omega}$.
   En intégrant, $\displaystyle \ln k=2\ln\omega+c$ où $\displaystyle c$ est une constante d’intégration.
   D’où $$k=A\omega^{2},$$ où $\displaystyle A=\exp c$ est une constante de dimension $\displaystyle \left[A\right]\equiv L^{-1}.T^{2}$.

2. $\displaystyle \left[g\right]\equiv L.T^{-2}$
   Avec un coefficient de proportionnalité égal à 1, la relation de dispersion est
   $$\omega =\sqrt{gk}=\sqrt{\frac{2\pi g}{\lambda}}.$$
   En fonction de la fréquence $\displaystyle f$ $$V_{\varphi}=\frac{g}{2\pi f}.$$

Soit $\displaystyle M$ la position de la particule à la date $\displaystyle t$. L’onde émiseà $\displaystyle t-\tau$ depuis la position $\displaystyle M_{0}$ telle que $\displaystyle \overline{M_{0}M}=v\tau$, atteint à $\displaystyle t$ la sphère de rayon $\displaystyle u\tau$ centrée sur $\displaystyle M_{0}$. Cette onde se trouve ainsi à $\displaystyle t$ à l’intérieur d’un cône d’angle $\displaystyle \alpha$ tel que
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{M_{0}H}{M_{0}M}=\frac{u\tau}{v\tau}$, indépendant de $\displaystyle \tau$.

Ainsi, les points de l’espace atteints par l’onde occupent l’intérieur d’un cône dont l’axe est donné par la trajectoire de la particule, et de demi-angle au sommet
$$\alpha=\arcsin\frac{u}{v}.$$

2. Ici $\displaystyle v=c$ et $\displaystyle u=c/n$. D’où $\displaystyle \sin\alpha=\frac{1}{n}$ .$$\alpha=49{^\circ}.$$

Remarque — Un autre exemple est le cône de Mach observé dans le cas
d’un avion supersonique.

Représenter sur un schéma la position du canard à la date $\displaystyle t$, la position du canard à la date $\displaystyle t'$, et le lieu des points atteints à la date $\displaystyle t$ par l’onde émise par le canard à la date $\displaystyle t'$.

L’onde émise à $\displaystyle t’$ dans la direction $\displaystyle \theta$ a parcouru à la date $\displaystyle t$ la distance $\displaystyle U\left(t-t'\right)=\frac{V}{2}\cos\left(\theta\right)\left(t-t'\right)=a\cos\left(\theta\right)$. Le lieu des points atteints par l’onde est donc le cercle de diamètre $\displaystyle a=\frac{V}{2}\left(t-t'\right)$.

Ce cercle passe par le milieu $\displaystyle I$ des positions $\displaystyle C(t)$ et $\displaystyle C(t')$ du canard à $\displaystyle t$ et $\displaystyle t'$. Les points du cercle sont tous contenus dans le cône de sommet $\displaystyle C(t)$ et d’angle $\displaystyle \alpha$, tel que

$$\tan\left(\alpha\right)=\frac{a/2}{3a/2}=\frac{1}{3},$$ indépendant de $\displaystyle t$ et $\displaystyle t'$.

On peut remarquer que toutes les ondes sont émises vers l’avant dans le référentiel terrestre : pour $\displaystyle \pi/2<\left|\theta\right|\leq\pi, V<0$. Par exemple, pour une émission dans la direction $\displaystyle \theta=\pi, V=-\frac{U}{2}$, d’où $\displaystyle \overrightarrow{V}=\frac{U}{2}\overrightarrow{e_{x}}$.

Ainsi à la date $\displaystyle t$, toutes les vaguelettes créées par le passage du canard sont comprises dans un cône d’angle $\displaystyle 2\alpha=39$°, qui définit le sillage du canard.

La résolution est identique pour les paquebots !

Remarques
— Il est intéressant de comparer ce résultat à celui de l’exercice 84, en milieu non dispersif, sur le cône Tcherenkov, ou cône de Mach, dans lequel l’angle du “sillage” est $\displaystyle 2\alpha=2\arcsin\frac{u}{v}$.
— La relation donnant la vitesse des ondes doit être modifiée quand $\displaystyle V$ augmente ; le sillage d’un bateau rapide de type « cigarette » est plus étroit.
Pour les curieux, un bel article de “Reflets de la physique” sur le sujet se trouve ici.

La fonction de deux variables $\displaystyle u(x,t)$ est définie telle que $\displaystyle u_{n}(t)=u(na,t)=u(x_{n},t)$ 👉 Approximation des milieux continus.

1. Soit $\displaystyle i_{n}=C\frac{du_{n}}{dt}$. Avec la loi des noeuds $\displaystyle \frac{u_{n-1}-u_{n}}{R}+\frac{u_{n-1}-u_{n}}{R}-i_{n}=0$,
   d’où
   $$u_{n-1}+u_{n+1}=2u_{n}+RC\frac{du_{n}}{dt}.$$
   En RSF avec la représentation complexe : $\displaystyle \underline{u_{n-1}}+\underline{u_{n+1}}=\left(2+jRC\omega\right)\underline{u_{n}}$.

2. $\displaystyle \underline{k}^{n-1}+\underline{k}^{n+1}=\left(2+jRC\omega\right)\underline{k}^{n}$,
   soit $\displaystyle \underline{k}^{2}-\left(2+jRC\omega\right)\underline{k}+1=0$.

3. $\displaystyle \underline{k}=\frac{1}{2}\left[2+jRC\omega\pm\sqrt{\left(4\left(1+jRC\omega/2\right)^{2}-4\right)}\right]$.
   Avec $\displaystyle RC\omega\ll1$, $\displaystyle \left(1+jRC\omega/2\right)^{2}\simeq1+jRC\omega$,
   $$\underline{k}\simeq1\pm\left(1+j\right)\sqrt{\frac{RC\omega}{2}}.$$
   $\displaystyle \underline{k}$ complexe décrit un déphasage entre deux tensions successives $\displaystyle u_{n}$ et $\displaystyle u_{n+1}$.
   $\displaystyle \left|\underline{k}\right|=\left[\left(1\pm\sqrt{RC\omega/2}\right)^{2}+RC\omega/2\right]^{1/2}$.
   En ne gardant que les premiers termes du développement, $$\left|\underline{k}\right|=1\pm\sqrt{RC\omega/2}.$$
   Il ne peut y avoir qu’atténuation car les composants en jeu sont des
   dipôles passifs, donc $\displaystyle \left|\underline{k}\right|<1$. Donc $\displaystyle \underline{k}=1-\left(1+j\right)\sqrt{\frac{RC\omega}{2}}$.

4. $\displaystyle \left|\underline{k}\right|=1-\sqrt{RC\omega/2}$ , $\displaystyle U_{n}=U_{0}\left(1-\sqrt{RC\omega/2}\right)^{n}$.
   Par identification avec $\displaystyle U_{n}=U_{0}\left(\exp\left(-\frac{1}{n_{0}}\right)\right)^{n}$,
   $\displaystyle -\frac{1}{n_{0}}=\ln\left(1-\sqrt{RC\omega/2}\right)\simeq-\sqrt{RC\omega/2}$, soit
   $$n_{0}=\sqrt{\frac{2}{RC\omega}}.$$
   Pour $\displaystyle n\simeq3n_{0}$, $\displaystyle U_{n}=5.10^{-3}U_{0}$.

5. Il s’agit de l’aproximation des milieux continus :
   $\displaystyle \begin{aligned}u_{n+1}&=u(\left(n+1\right)a,t)\\&=u(na,t)+a\frac{\partial u}{\partial x}(na,t)+\frac{a^{2}}{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}(na,t).\end{aligned}$
   $\displaystyle \begin{aligned}u_{n-1}&=u(\left(n-1\right)a,t)\\&=u(na,t)-a\frac{\partial u}{\partial x}(na,t)+\frac{a^{2}}{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}(na,t).\end{aligned}$
   En remplaçant dans l’équation du 1), $$rc\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},$$ avec $\displaystyle rc=\frac{RC}{a^{2}}$ en m$\displaystyle ^{-2}$.s. On obtient ainsi une équation de diffusion. Une telle équation peut être ainsi simulée expérimentalement par une chaîne de cellules $\displaystyle RC$.

• Evolution isentropique d’un gaz parfait 👉 Loi de Laplace.
• Approximation des milieux continus 👉 Interpoler la fonction discrète de l’espace par une fonction continue lentement variable sur une distance caractéristique de d.

1. En référentiel terrestre supposé galiléen, la cloison $\displaystyle n$ est soumise à deux forces horizontales de pression exercées par les compartiments de gauche $\displaystyle \overrightarrow{F}_{g,n}=P_{n}(t)S\overrightarrow{u_{x}}$ et de droite $\displaystyle \overrightarrow{F}_{d,n}=-P_{n+1}(t)S\overrightarrow{u_{x}}$.
   La seconde loi de Newton projetée sur $\displaystyle \left(Ox\right)$ donne, en
   divisant par $\displaystyle S$, $$\sigma\ddot{\xi}_{n}=P_{n-1}-P_{n}.$$

2. L’évolution du gaz parfait étant isentropique, la loi de Laplace s’applique $\displaystyle P_{n}V_{n}^{\gamma}=P_{0}V_{0}^{\gamma}$, soit, $\displaystyle P_{n}\left[S\left(d+\xi_{n+1}-\xi_{n}\right)\right]^{\gamma}=P_{0}\left[Sd\right]^{\gamma}$.
   $$P_{n}\left(1+\frac{\xi_{n+1}-\xi_{n}}{d}\right)^{\gamma}=P_{0}.$$
   Avec $\displaystyle \left|\xi_{n}\right|\ll d$,
   $\displaystyle P_{n}=P_{0}\left(1+\frac{\xi_{n+1}-\xi_{n}}{d}\right)^{-\gamma}\simeq P_{0}\left(1-\gamma\frac{\xi_{n+1}-\xi_{n}}{d}\right).$

3. En injectant $\displaystyle \begin{cases} P_{n}=P_{0}\left(1-\gamma\frac{\xi_{n+1}-\xi_{n}}{d}\right)\\ P_{n-1}=P_{0}\left(1-\gamma\frac{\xi_{n}-\xi_{n-1}}{d}\right) \end{cases}$ dans l’équation du 1), $$\ddot{\xi}_{n}=-\frac{\gamma}{d\sigma}P_{0}\left(2\xi_{n}-\xi_{n+1}-\xi_{n-1}\right).$$

4. L’approximation des milieux continus consiste à construire une fonction $\displaystyle \xi(x,t)$, telle que $\displaystyle \xi(x_{n},t)=\xi_{n}(t)$ , interpolation de $\displaystyle \xi_{n}(t)$, et de considérer $\displaystyle d$ petit devant la distance caractéristique d’évolution $\displaystyle \lambda$ de $\displaystyle \xi(x,t)$. Alors $\displaystyle \ddot{\xi}_{n}=\left.\frac{\partial^{2}\xi}{\partial t^{2}}\right|_{x=x_{n},t}$ et au second ordre en $\displaystyle d/\lambda$,
   $\displaystyle \begin{cases} \xi_{n+1}=\xi(x_{n}+d,t)=\xi(x_{n},t)+d\left.\frac{\partial\xi}{\partial x}\right|_{x=x_{n},t}+\frac{d^{2}}{2}\left.\frac{\partial^{2}\xi}{\partial x^{2}}\right|_{x=x_{n},t}\\ \xi_{n-1}=\xi(x_{n}-d,t)=\xi(x_{n},t)-d\left.\frac{\partial\xi}{\partial x}\right|_{x=x_{n},t}+\frac{d^{2}}{2}\left.\frac{\partial^{2}\xi}{\partial x^{2}}\right|_{x=x_{n},t} \end{cases}$.
   D’où $$\frac{\partial^{2}\xi}{\partial x^{2}}-\frac{\sigma}{\gamma dP_{0}}\frac{\partial^{2}\xi}{\partial t^{2}}=0.$$
   On obtient une équation de d’Alembert, associée à une propagation non dispersive de célérité $\displaystyle v=\sqrt{\frac{\gamma dP_{0}}{\sigma}}$.
   Avec $\displaystyle \sigma$ en kg.m$\displaystyle ^{-2}$, d en m et $\displaystyle P_{0}$ en kg.m$\displaystyle ^{-1}$.s$\displaystyle ^{-2}$, $\displaystyle v$ est bien homogène à une vitesse.
   La solution générale est de la forme $\displaystyle \xi(x,t)=(F(t-x/v)+G(t+x/v)$.

5. Pour tout $\displaystyle n$ entier, $\displaystyle e^{i\left(\omega t-knd\right)}$ est $\displaystyle 2\pi/d$
   périodique en $\displaystyle k$, ce qui justifie le domaine d’étude de $\displaystyle k$.
   En injectant les expressions des $\displaystyle \xi_{n}$ dans l’équation de propagation, on obtient
   $\displaystyle \begin{aligned}-\omega^{2}&=-\frac{\gamma P_{0}}{d\sigma}\left(2-e^{-ikd}-e^{ikd}\right)\\&=-\frac{2\gamma P_{0}}{d\sigma}\left(1-\cos\left(kd\right)\right)\end{aligned}$,
   soit la relation de dispersion $$\omega^{2}=\frac{4\gamma P_{0}}{d\sigma}\sin^{2}\left(kd/2\right),$$
   ou $\displaystyle \omega=v\frac{\left|\sin\left(kd/2\right)\right|}{d/2}=\omega_M\left|\sin\left(kd/2\right)\right|.$ La fonction est paire, la valeur >0 ou <0 de $\displaystyle k$ correspondant aux deux sens de propagation possibles.
   
   Remarque — Pour $\displaystyle d\ll\lambda=2\pi/k$, on retrouve la limite des milieux continus et la propagation non dispersive.
   La vitesse de phase (entrait plein sur la figure), par exemple pour $\displaystyle k>0$, est $$v_{\varphi}=\frac{\omega}{k}=v\frac{\sin\left(kd/2\right)}{kd/2}.$$
   De même la vitesse de groupe (en tirets sur la figure) $$v_{g}=\frac{d\omega}{dk}=v\cos\left(kd/2\right).$$ On constate q’uelle s’annule pour $\displaystyle \omega=\pi/d$.