Ondes électromagnétiques

3. L’onde est-elle plane progressive ? Si oui, structure usuelle de l’onde plane. Sinon, retour aux équations de Maxwell

1. Insérons l’expression du champ dans l’équation de propagation
2. $\displaystyle \Delta\overrightarrow{E}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\overrightarrow{E}}{\partial t^{2}}=\overrightarrow{0}$. Comme le champ est non identiquement nul :

$$\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}+k^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}.$$

Le rapport $\displaystyle \omega/k$ n’est pas constant : le milieu est dispersif. Une onde de ce type s’observe dans un guide d’ondes, fermé par deux plans parfaitement conducteurs en $\displaystyle z=0$ et $\displaystyle z=a$.

2. Pour que l’onde se propage,la partie réelle de $\displaystyle k$ doit être non nulle, soit $\displaystyle \omega>\omega_{c}=\pi c/a$ . Alors $\displaystyle k^{2}=\frac{\omega^{2}-\omega_{c}^{2}}{c^{2}}$. Donc la vitesse de phase $\displaystyle V_{\varphi}=\frac{\omega}{k}=c\frac{\omega}{\sqrt{\omega^{2}-\omega_{c}^{2}}}$.

$\displaystyle \overrightarrow{\textrm{rot}}\left(\overrightarrow{E}\right)=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\Longrightarrow\left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}\\ 0\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right)\land\left(\begin{array}{c} 0\\ E\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -\frac{\partial E}{\partial z}\\ 0\\ \frac{\partial E}{\partial x} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -E_{0}\frac{\pi}{a}\cos\left(\frac{\pi z}{a}\right)\cos\left(kx-\omega t\right)\\ 0\\ -E_{0}k\sin\left(\frac{\pi z}{a}\right)\sin\left(kx-\omega t\right) \end{array}\right)=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}.$

D’où $\displaystyle \overrightarrow{B}=\left(\begin{array}{c} -E_{0}\frac{\pi}{a\omega}\cos\left(\frac{\pi z}{a}\right)\sin\left(kx-\omega t\right)\\ 0\\ E_{0}\frac{k}{\omega}\sin\left(\frac{\pi z}{a}\right)\cos\left(kx-\omega t\right) \end{array}\right).$

Le vecteur de Poynting moyen $\displaystyle \left\langle \overrightarrow{\Pi}\right\rangle =E_{0}^{2}\frac{k}{2\mu_{0}\omega}\sin^{2}\left(\frac{\pi z}{a}\right)\overrightarrow{u_{x}}$. La puissance moyenne rayonnée à travers la section est

$\displaystyle P=\iint\left\langle \overrightarrow{\Pi}\right\rangle .d^{2}S\overrightarrow{u_{x}}=E_{0}^{2}\frac{kb}{2\mu_{0}\omega}\int_{0}^{a}\sin^{2}\left(\frac{\pi z}{a}\right)dz=E_{0}^{2}\frac{kab}{4\mu_{0}\omega}$.

1. Relation de dispersion 👉 Insérer la représentation complexe dans l’équation de propagation.
2. Présence d’une interface 👉 Onde incidente, onde réfléchie et onde transmise.

1. $\displaystyle \overrightarrow{j}_{libre}=-ne\overrightarrow{v}$.
2. Dans l’hypothèse d’électrons non relativistes, la force magnétique est a priori négligeable , et $\displaystyle im\omega\overrightarrow{\underline{v}}=-e\overrightarrow{\underline{E}}$, soit $\displaystyle \overrightarrow{\underline{j}}_{libre}=\frac{ne^{2}}{im\omega}\overrightarrow{\underline{E}}$.

$\displaystyle \begin{aligned} \textrm{div}\overrightarrow{{\underline{E}}}&=0 &\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{{\underline{E}}}&=-\frac{\partial\overrightarrow{{\underline{B}}}}{\partial t}\\ \textrm{div}\overrightarrow{{\underline{B}}}&=0 &\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{{\underline{B}}}&=\mu_{0}\left(\frac{ne^{2}}{im\omega}\overrightarrow{\underline{E}}+\varepsilon_{r}\varepsilon_{_{0}}\frac{\partial\overrightarrow{\underline{E}}}{\partial t}\right).\end{aligned}$

Avec $\displaystyle \overrightarrow{\textrm{rot}}\left(\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{\underline{E}}\right)=\overrightarrow{\textrm{grad}}\left(\textrm{div}\overrightarrow{\underline{E}}\right)-\Delta\overrightarrow{\underline{E}}$,
$\displaystyle \underline{k}^{2}=-i\omega\mu_{0}\left(\frac{ne^{2}}{im\omega}+\varepsilon_{r}\varepsilon_{_{0}}i\omega\right)$, soit $\displaystyle \underline{k}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon_{r}(1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}})$ avec $\displaystyle \omega_{p}^{2}=\frac{ne^{2}}{m\varepsilon_{0}}$.

2. $\displaystyle q=\frac{\omega}{c}$ et $\displaystyle \underline{k}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon_{r}(1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}})$ sont les relations de dispersion. Pour $\displaystyle \omega>\omega_{p}$, l’onde peut se propager dans le milieu conducteur sans atténuation, mais avec dispersion. Pour $\displaystyle \omega<\omega_{p}$, $\displaystyle \underline{k}$ est imaginaire, l’onde ne peut pas se propager.

3. $\displaystyle \mathrm{}f(z)=e^{-iqz}+\underline{r}e^{iqz}$ pour $\displaystyle z<0$ décrit l’onde incidente et l’onde réfléchie dans le vide.

$\displaystyle \mathrm{}f(z)=\underline{t}e^{i\underline{k}z}$ pour $\displaystyle \mathrm{}z\geqslant0$ décrit l’onde transmise dans le milieu.

Comme on décrit explicitement charges et courants, il y a continuité des champs à l’interface. Avec la continuité du champ électrique, $\displaystyle f\left(0^{+}\right)=f\left(0^{-}\right)$. De même si on exprime la continuité du champ magnétique, on va obtenir la continuité de $\displaystyle f'$ en $\displaystyle x=0$. D’où

$\displaystyle \begin{cases} 1+\underline{r}=\underline{t}\\ q\left(1-\underline{r}\right)=\underline{k} \underline{t} \end{cases}$. D’où $\displaystyle \left|\underline{r}\right|^{2}=\left|\frac{q-\underline{k}}{q+\underline{k}}\right|^{2}$.

Pour $\displaystyle \omega<\omega_{p}$, $\displaystyle \left|\underline{r}\right|^{2}=1$. Toute la puissance est réfléchie (analogie avec la réflexion sur un plasma gazeux peu dense).

En choisissant une convention en $\displaystyle \exp\left[i\left(\omega t-\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}\right)\right]$,

$\displaystyle \overrightarrow{\underline{E}_{1}}(M,t)=\underline{E}_{01}\exp\left[i\omega\left(t-\frac{z}{c}\right)\right]\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{u_{x}}\pm\frac{1}{2}\overrightarrow{u_{y}}\right)$,

$\displaystyle \overrightarrow{\underline{E}_{2}}(M,t)=\underline{E}_{02}\exp\left[i\omega\left(t-\frac{y\pm x}{c\sqrt{2}}\right)\right]\overrightarrow{u_{x}}$.

Propagation dans un plasma 👉 condition de propagation ?
L’exercice est évident pour qui connaît parfaitement son cours…

Dans le cours sur la propagation des ondes électromagnétiques dans un plasma, on montre que pour que l’onde puisse se propager, il faut que sa pulsation soit supérieure à la pulsation plasma $\displaystyle \omega>\omega_{p}=\sqrt{\frac{ne^{2}}{m\varepsilon_{0}}}$.

Pour que l’onde puisse effectivement pénétrer dans la micro cible et vaporiser l’échantillon, il faut donc

$\displaystyle n<n_{\textrm{max}}=\frac{m\varepsilon_{0}\omega^{2}}{e^{2}}=\frac{m\varepsilon_{0}4\pi^{2}c^{2}}{e^{2}\lambda^{2}}$.

A.N. $\displaystyle n_{\textrm{max}}=1.10^{27}\textrm{ m}^{-3}$.

Remarque— Dans l’expérience du CEA, la longueur d’onde initiale est divisée par 3 grâce à des cristaux non linéaires, pour atteindre 351 nm, ce qui augmente encore $\displaystyle n_{\textrm{max}}$ (en considérant le modèle du plasma peu dense du cours toujours valable…).

:

Décomposer l’onde incidente en deux ondes, polarisées circulairement gauche et droite, et évaluer le retard créé par la traversée de la substance dans chaque cas.

1. Pour $\displaystyle z<0$,

$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\underline{E}}(z,t)&=\underline{E}_{0}e^{i\left(\omega t-kz\right)}\overrightarrow{u_{x}}\\&=\underline{E}_{0}e^{i\left(\omega t-kz\right)}\left(\frac{\left(\overrightarrow{u_{x}}-i\overrightarrow{u_{y}}\right)}{2}+\frac{\left(\overrightarrow{u_{x}}+i\overrightarrow{u_{y}}\right)}{2}\right).\end{aligned}$

avec $\displaystyle k=\omega/c$.

Lors de la traversée de la substance, l’onde polarisée circulairement gauche acquiert un retard $\displaystyle \tau_{g}=L/v_{g}-L/c=\left(n_{g}-1\right)L/c$ par rapport à une propagation dans le vide, alors que l’onde polarisée circulairement droite acquiert un retard $\displaystyle \tau_{d}=L/v_{d}-L/c=\left(n_{d}-1\right)L/c$.

Pour $\displaystyle z>L$,
$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\underline{E}}(z,t)&=\underline{E}_{0}e^{i\left[\omega(t-\tau_{g})-kz\right]}\frac{\left(\overrightarrow{u_{x}}-i\overrightarrow{u_{y}}\right)}{2}\\&+\underline{E}_{0}e^{i\left[\omega(t-\tau_{d})-kz\right]}\frac{\left(\overrightarrow{u_{x}}+i\overrightarrow{u_{y}}\right)}{2}.\end{aligned}$
On étudie chaque composante :

$\displaystyle \begin{aligned}\underline{E}_{x}(z,t)&=\frac{1}{2}\underline{E}_{0}e^{i\left(\omega t-kz\right)}\left[e^{-i\omega\tau_{g}}+e^{-i\omega\tau_{d}}\right]\\&=\underline{E}_{0}e^{i\left[\omega(t-\frac{\tau_{g}+\tau_{d}}{2})-kz\right]}\cos\left(\omega\frac{\tau_{d}-\tau_{g}}{2}\right)\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}\underline{E}_{y}(z,t)&=\frac{1}{2}\underline{E}_{0}e^{i\left(\omega t-kz\right)}\left[-ie^{-i\omega\tau_{g}}+ie^{-i\omega\tau_{d}}\right]\\&=\underline{E}_{0}e^{i\left[\omega(t-\frac{\tau_{g}+\tau_{d}}{2})-kz\right]}\sin\left(\omega\frac{\tau_{d}-\tau_{g}}{2}\right)\end{aligned}$
Le champ résultant est

$\displaystyle \overrightarrow{\underline{E}}(z,t)=\underline{E}_{0}e^{i\left[\omega(t-\frac{\tau_{g}+\tau_{d}}{2})-kz\right]}(\cos\left(\omega\frac{(n_{d}-n_{g})L}{2c}\right)\overrightarrow{u_{x}}+\sin\left(\omega\frac{(n_{d}-n_{g})L}{2c}\right)\overrightarrow{u_{y}}).$

La traversée de la substance a fait tourner la direction de polarisation de l’onde. C’est le “pouvoir rotatoire” ou activité optique, obtenu avec un matériau constitué de molécules chirales. Une solution d’eau sucrée par exemple convient très bien (ou un morceau de scotch).

2. Le principe est d’utiliser un faisceau lumineux monochromatique qui passe successivement à travers un polariseur, la substance avec activité optique, et un analyseur. L’extinction du faisceau émergent n’est pas obtenue pour polariseur et analyseurs croisés, mais pour un certain angle égal au complémentaire de l’angle de rotation à travers la substance.

La même expérience avec de la lumière blanche va faire apparaitre en sortie de jolies couleurs qui dépendent de l’angle analyseur/polariseur. En effet, les indices $\displaystyle n_{g}$ et $\displaystyle n_{d}$ dépendent de la longueur d’onde…

À voir : Expérience proposée par l’université Joseph Fourier

Et voici une photo (merci Mathieu !) obtenue avec une expérience fondée sur le principe de l’exercice, en éclairant en lumière blanche, du scotch placé entre un polariseur et un analyseur, et dont on a superposé aléatoirement un certain nombre de couches. L’activité optique de la substance traversée dépend de son épaisseur, et les longueurs d’onde “éteintes” par le dispositif dépendent ainsi du nombre de couches de scotch traversées.

Vecteur de Poynting 👉 Pas de représentation complexe pour calculer un produit.

1. $\displaystyle \overrightarrow{p}(t)=-ez(t)\overrightarrow{u_{z}}$ et $\displaystyle \overrightarrow{\underline{p}}(t)=-eae^{i\omega t}\overrightarrow{u_{z}}.$

2. Les conditions suivantes doivent être vérifiées

• $\displaystyle r\gg a$ (approximation dipolaire).
• $\displaystyle \lambda\gg a$ , ce qui revient à $\displaystyle a\omega\ll2\pi c$, le mouvement de la charge mobile est non relativiste.
• $\displaystyle r\gg\lambda$, qui définit la zone de rayonnement.
  Finalement $$a\ll\lambda\ll r.$$

3. L’onde rayonnée se propage selon $\displaystyle \overrightarrow{u_{r}}$. La relation de structure
   $\displaystyle \overrightarrow{\underline{B}}=\frac{\overrightarrow{u_{r}}\land\overrightarrow{\underline{E}}}{c}$ donne
   $$\overrightarrow{\underline{B}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi rc}\underline{\ddot{p}}(t-r/c)\sin\theta\overrightarrow{u_{\varphi}}.$$

4. On repasse en champs réels, $\displaystyle \overrightarrow{\Pi}=\frac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_{0}}=\frac{E^{2}}{\mu_{0}c}\overrightarrow{u_{r}}.$
   $$\overrightarrow{\Pi}=\frac{\mu_{0}\omega^{4}p_{0}^{2}}{16\pi^{2}r^{2}c}\sin^{2}\theta\cos^{2}\left[\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right]\overrightarrow{u_{r}}.$$
   Le vecteur de Poynting dépend de $\displaystyle \theta$, ce qui montre l’anisotropie du rayonnement. La puissance rayonnée est maximale pour $\displaystyle \theta=\pi/2$.

La puissance moyenne rayonnée est $\displaystyle P=\iint_{\textrm{sphère centre O}}\left\langle \overrightarrow{\Pi}\right\rangle .\overrightarrow{d^{2}S}$.

La puissance rayonnée est indépendante du rayon de la sphère sur laquelle on intégre. Cela illustre la conservation de l’énergie, la même puissance traversant des sphères concentriques.

$\displaystyle \begin{aligned}P&=\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi}\frac{\mu_{0}\omega^{4}p_{0}^{2}}{32\pi^{2}r^{2}c}\sin^{2}\theta\overrightarrow{u_{r}}.r^{2}\sin\theta d\theta d\varphi\overrightarrow{u_{r}}\\&=\frac{\mu_{0}\omega^{4}p_{0}^{2}}{16\pi c}\int_{\theta=0}^{\pi}\sin^{3}\theta d\theta\\&=\frac{\mu_{0}\omega^{4}p_{0}^{2}}{16\pi c}\int_{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right)du\end{aligned}$,
en posant $\displaystyle u=\cos\theta.$

$$P=\frac{\mu_{0}\omega^{4}p_{0}^{2}}{12\pi c}.$$

La dépendance de la puissance rayonnée vis-à-vis de la fréquence est importante (en $\displaystyle \omega^{4}$), la puissance augmentant avec la fréquence (application à la couleur du ciel dans la diffusion Rayleigh).

1. L’onde est la superposition de deux ondes polarisées rectilignement, l’une selon $\displaystyle \left(Ox\right)$, l’autre selon $\displaystyle \left(Oy\right)$, de même amplitude et déphasées de $\displaystyle \pi/2$. C’est une onde polarisée circulairement. Un observateur voyant arriver l’onde vers lui “voit” en un plan $\displaystyle z$ fixé le champ tourner dans le sens horaire : c’est une polarisation circulaire droite.
   
   Remarque—La notion de polarisation circulaire, gauche ou droite, n’est pas au programme MP ni PSI.

2. Le champ réfléchi, généré par les charges mises en mouvement dans le conducteur à la pulsation $\displaystyle \omega$, est de même pulsation que le champ incident. Par ailleurs, dans le conducteur parfait $\displaystyle \overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$. En utilisant la méthode du cours, i.e. en appliquant la relation de passage pour le champ résultant dans le vide $\displaystyle \overrightarrow{E_{i}}(0^{_{-}},t)+\overrightarrow{E_{r}}(0^{-},t)=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\left(-\overrightarrow{u_{z}}\right)$. En admettant que l’onde réfléchie est une plane progressive dans le sens des $\displaystyle z$ décroissants, donc de champ perpendiculaire à $\displaystyle \overrightarrow{u_{z}}$, on obtient $\displaystyle \sigma=0$ à l’interface $\displaystyle z=0$ et
   $$\overrightarrow{E_{r}}(z,t)=-E_{0}e^{i(\omega t+kz)}\left(\overrightarrow{u_{x}}+i\overrightarrow{u_{y}}\right).$$
   L’onde est polarisée circulairement. Un observateur voyant arriver l’onde vers lui “voit” en un plan $\displaystyle z$ fixé le champ tourner dans le sens trigonométrique : c’est une polarisation circulaire gauche.
   

3. Le champ résultant est
   $\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{E}(z,t)&=\overrightarrow{E_{i}}(z,t)+\overrightarrow{E_{r}}(z,t)\\&=E_{0}\left(e^{i(\omega t-kz)}-e^{i(\omega t+kz)}\right)\left(\overrightarrow{u_{x}}+i\overrightarrow{u_{y}}\right)\\&=-E_{0}e^{i\omega t}2i\sin\left(kz\right)\left(\overrightarrow{u_{x}}+i\overrightarrow{u_{y}}\right)\\&=2E_{0}\sin\left(kz\right)\left[\sin\left(\omega t\right)\overrightarrow{u_{x}}+\cos\left(\omega t\right)\overrightarrow{u_{y}}\right].\end{aligned}$
   C’est la superposition de deux ondes stationnaires polarisées rectilignement.
   Pour chaque composante, la structure d’onde plane peut être utilisée.
   $\displaystyle \overrightarrow{B_{i}}(z,t)=\frac{1}{c}\left(\overrightarrow{u_{z}}\wedge\overrightarrow{E_{i}}(z,t)\right)=\frac{E_{0}}{c}e^{i(\omega t-kz)}\left(\overrightarrow{u_{y}}-i\overrightarrow{u_{x}}\right)$
   $\displaystyle \overrightarrow{B_{r}}(z,t)=\frac{1}{c}\left(-\overrightarrow{u_{z}}\wedge\overrightarrow{E_{r}}(z,t)\right)=\frac{E_{0}}{c}e^{i(\omega t+kz)}\left(\overrightarrow{u_{y}}-i\overrightarrow{u_{x}}\right)$
   $\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{B}(z,t)&=\overrightarrow{B_{i}}(z,t)+\overrightarrow{B_{r}}(z,t)\\&=\frac{E_{0}}{c}\left(e^{i(\omega t-kz)}+e^{i(\omega t+kz)}\right)\left(\overrightarrow{u_{y}}-i\overrightarrow{u_{x}}\right)\\&=\frac{E_{0}}{c}e^{i\omega t}2\cos\left(kz\right)\left(\overrightarrow{u_{y}}-i\overrightarrow{u_{x}}\right)\\&=2\frac{E_{0}}{c}\cos\left(kz\right)\left[\sin\left(\omega t\right)\overrightarrow{u_{x}}+\cos\left(\omega t\right)\overrightarrow{u_{y}}\right].\end{aligned}$

4. La densité d’énergie est
   $\displaystyle \begin{aligned}u_{\textrm{em}}&=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}+\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}\\&=2\varepsilon_{0}E_{0}^{2}\sin^{2}\left(kz\right)+\frac{2}{\mu_{0}c^{2}}E_{0}^{2}\cos^{2}\left(kz\right)\\&=4\varepsilon_{0}E_{0}^{2}=\left\langle u_{\textrm{em}}\right\rangle.\end{aligned}$
   $\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\Pi}&=\frac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_{0}}\\&=\frac{4E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\sin\left(kz\right)\cos\left(kz\right)\sin\left(\omega t\right)\cos\left(\omega t\right)\left[\overrightarrow{u_{x}}\land\overrightarrow{u_{y}}+\overrightarrow{u_{y}}\land\overrightarrow{u_{x}}\right]\\&=\overrightarrow{0}=\left\langle \overrightarrow{\Pi}\right\rangle.\end{aligned}$
   On retrouve le résultat classique, pour une onde stationnaire, d’une densité d’énergie électromagnétique de valeur moyenne uniforme et du vecteur de Poynting de valeur moyenne nulle.

5. En 2, on a obtenu $\displaystyle \sigma=0$ sur l’interface $\displaystyle z=0$. De même $\displaystyle \overrightarrow{B}(0^{-},t)-\overrightarrow{0}=-\mu_{0}\overrightarrow{j_{s}}\land\overrightarrow{u_{z}}$, d’où $$\overrightarrow{j_{s}}=\frac{2E_{0}}{\mu_{0}c}\left[\cos\left(\omega t\right)\overrightarrow{u_{x}}-\sin\left(\omega t\right)\overrightarrow{u_{y}}\right],$$
   proportionnel au champ électrique incident comme attendu (les électrons sont mis en mouvement pas le champ électrique).

6. Quand les fils sont parallèles à $\displaystyle (Ox)$, $\displaystyle \overrightarrow{j_{s}}=j_{s}\overrightarrow{u_{x}}$.
   Un champ électrique polarisé suivant $\displaystyle \left(Ox\right)$ génère un courant surfacique de même direction, et par suite une onde réfléchie est générée dans la région $\displaystyle z<0$. On retrouve la réflexion d’une onde plane polarisée rectilignement par un conducteur parfait.
   En revanche, quand les fils sont parallèles à $\displaystyle (Oy)$, un champ électrique polarisé suivant $\displaystyle \left(Ox\right)$ ne peut pas génèrer un courant surfacique de même direction. Il n’y a pas réflexion, et l’onde incidente est transmise à travers la grille.
   Avec l’onde polarisée circulairement étudiée, la grille va laisser passer la composante du champ électrique perpendiculaire aux fils, et réfléchir la composante parallèle aux fils.
   La grille joue le rôle d’un polariseur.

Comme vu en cours, il y a réflexion totale de l’onde par la plaque conductrice, donc le champ électromagnétique dans la région $\displaystyle z>0$ est nul. Le champ électromagnétique rayonné pour $\displaystyle z>0$ est ainsi $$\overrightarrow{E_{ray}}(z>0,t)=-E_{0}e^{i(\omega t-kz)}\overrightarrow{u_{x}},$$ $$\overrightarrow{B_{ray}}(z>0,t)=-\frac{E_{0}}{c}e^{i(\omega t-kz)}\overrightarrow{u_{y}}.$$
Le plan $\displaystyle z=0$ est plan de symétrie de la distribution de charges et de courants. D’après la loi de Curie, $\displaystyle \overrightarrow{B_{ray}}(-z,t)=-\textrm{Sym}{}_{\textrm{plan z=0}}\left(\overrightarrow{B_{ray}}(z,t)\right)$.
$$\overrightarrow{B_{ray}}(z<0,t)=\frac{E_{0}}{c}e^{i(\omega t+kz)}\overrightarrow{u_{y}}.$$

De même $\displaystyle \overrightarrow{E_{ray}}(-z,t)=\textrm{Sym}{}_{\textrm{plan z=0}}\left(\overrightarrow{E_{ray}}(z,t)\right)$. Pour $\displaystyle z<0$, $$\overrightarrow{E_{ray}}(z<0,t)=E_{0}e^{i(\omega t+kz)}\overrightarrow{u_{x}}.$$
On retrouve le résultat pour $\displaystyle z<0$ l’expression du champ électromagnétique réfléchi vu en cours.
Remarque — Cette démonstration ne remplace en aucun cas celle du cours. En effet on a fait l’hypothèse non justifiée que l’onde incidente est inchangée pour $\displaystyle z>0$.

Rayonnement dipolaire 👉 Diagramme de rayonnement. La puissance moyenne rayonnée dans une direction varie en $\displaystyle \sin^2\left(\theta\right)$, $\displaystyle \theta$ angle avec le dipôle.

1. Soit $\displaystyle i_{1}$ l’angle d’incidence (entre la normale et le rayon incident), $\displaystyle r$ l’angle du rayon réfléchi avc la normale et $\displaystyle i_{2}$ l’angle du rayon réfracté avec la normale.
   a. Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan d’incidence, formé par le rayon incident et la normale à l’interface au point d’impact du rayon sur l’interface (voir figure plus loin).
   b. $\displaystyle r=-i$.
   c. $\displaystyle n_{1}\sin i_{1}=n_{2}\sin i_{2}$.
2. Dans le cours sur le rayonnement dipolaire, on montre que le champ rayonné par un dipôle est nul dans la direction de l’axe du dipôle.
3. Les dipôles induits par l’onde transmise sont parallèles au champ transmis, c’est-à-dire perpendiculaires à la direction de propagation de l’onde transmise.
   
   Ainsi il ne peut y avoir d’onde réfléchie quand la direction de propagation de l’onde réfléchie est perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde réfléchie, soit $\displaystyle i_{2}=\pi/2-i_{1}$.
   Alors $\displaystyle n_{1}\sin i_{1}=n_{2}\sin\left(\pi/2-i_{1}\right)$, soit $\displaystyle \tan\left(i_{1}\right)=\frac{n_{2}}{n_{1}}$.
   Pour $$i_{1}=i_{B}=\arctan\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)$$ il n’y a pas d’onde réfléchie.
4. Pour une onde polarisée perpendiculairement au plan d’incidence, le champ électrique, et par conséquent les dipôles induits, sont nécessairement perpendiculaires à la direction de propagation de l’onde réfléchie. Le problème ne se pose donc pas.

On peut ainsi polariser un faisceau lumineux par réflexion en se plaçant
à un angle d’incidence égal à l’angle de Brewster.

Puissance d’une force 👉 $\displaystyle p=\overrightarrow{f}.\overrightarrow{v}$, attention à ne pas utiliser directement les représentations complexes mais utiliser la relation fournie par l’énoncé.
Relation de dispersion 👉 Partir de l’équation de propagation, ou directement des équations de Maxwell, et insérer les représentations complexes des champs et courants.

1. En référentiel supposé galiléen où le noyau est fixe, le principe fondamental de la dynamique donne
   $\displaystyle m\ddot{\overrightarrow{r}}=-e\left(\overrightarrow{E}+\dot{\overrightarrow{r}}\land\overrightarrow{B}\right)-m\omega_{0}^{2}\overrightarrow{r}-\frac{m}{\tau}\dot{\overrightarrow{r}}$.
   Hypothèses
   -l’électron est non relativiste, ce qui permet de négliger la force magnétique devant la force électrique : $\displaystyle \left\Vert \overrightarrow{B}\right\Vert$ est considéré en ordre de grandeur égal à $\displaystyle \left\Vert \overrightarrow{E}\right\Vert /c$, d’où
   $\displaystyle \left\Vert \dot{\overrightarrow{r}}\land\overrightarrow{B}\right\Vert \leq\left\Vert \dot{\overrightarrow{r}}\right\Vert .\left\Vert \overrightarrow{B}\right\Vert \sim\frac{\left\Vert \dot{\overrightarrow{r}}\right\Vert }{c}\left\Vert \overrightarrow{E}\right\Vert \ll\left\Vert \overrightarrow{E}\right\Vert$.

• $\displaystyle \lambda\gg r$, de telle sorte que le champ est considéré uniforme
  à l’échelle atomique.
  L’équation du mouvement devient $\displaystyle \ddot{\overrightarrow{r}}+\frac{1}{\tau}\dot{\overrightarrow{r}}+\omega_{0}^{2}\overrightarrow{r}=-\frac{e}{m}\overrightarrow{E}$.
  En représentation complexe, :
  $\displaystyle \left[\left(-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}\right)+i\frac{\omega}{\tau}\right]\overrightarrow{\underline{r}}=-\frac{e}{m}\overrightarrow{\underline{E}}$, d’où $$\overrightarrow{\underline{r}}=\frac{-\frac{e}{m}E_{0}}{\left(-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}\right)+i\frac{\omega}{\tau}}e^{i\omega t}\overrightarrow{u_{x}}.$$
  La puissance moyenne fournie à un électron est
  $\displaystyle \begin{aligned}p&=\frac{1}{2}\textrm{Re}\left(\dot{\underline{\overrightarrow{r}}}.\overrightarrow{\underline{E}}^{*}\right)\\&=\frac{1}{2}\textrm{Re}\left(\left[\left(-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}\right)-i\frac{\omega}{\tau}\right]i\omega\frac{-\frac{e}{m}E_{0}^{2}}{\left(-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}\right)^{2}+\left(\frac{\omega}{\tau}\right)^{2}}\right)\\&=\frac{\frac{e\omega^{2}}{m\tau}E_{0}^{2}}{\left(-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}\right)^{2}+\left(\frac{\omega}{\tau}\right)^{2}}.\end{aligned}$
  L’onde fournit du travail aux électrons afin de compenser le terme
  de dissipation associé à la force $\displaystyle \overrightarrow{f_{2}}$.

2. $\displaystyle \overrightarrow{\underline{j}}=-ne\dot{\overrightarrow{r}}=\frac{ne^{2}/m}{-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}+i\frac{\omega}{\tau}}i\omega\overrightarrow{\underline{E}}$.
   Les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday en complexes sont
   $\displaystyle \begin{cases} \overrightarrow{\textrm{rot}}\left(\overrightarrow{\underline{B}}\right)=\mu_{0}\left(\overrightarrow{\underline{j}}+\varepsilon_{0}i\omega\overrightarrow{\underline{E}}\right)\\ \overrightarrow{\textrm{rot}}\left(\overrightarrow{\underline{E}}\right)=-i\omega\overrightarrow{\underline{B}} \end{cases}$
   Le milieu est neutre à l’échelle mésoscopique $\displaystyle \textrm{div}\left(\overrightarrow{E}\right)=0$,
   d’où avec $\displaystyle \overrightarrow{\textrm{rot}}\left(\overrightarrow{\textrm{rot}}\left(\overrightarrow{E}\right)\right)=...$,
   $\displaystyle \begin{aligned}-\Delta\overrightarrow{\underline{E}}&=-i\omega\mu_{0}\left(\overrightarrow{\underline{j}}+\varepsilon_{0}i\omega\overrightarrow{\underline{E}}\right)\\&=\varepsilon_{0}\mu_{0}\omega^{2}\left[1+\frac{\omega_{p}^{2}}{-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}+i\frac{\omega}{\tau}}\right]\overrightarrow{\underline{E}},\end{aligned}$
   avec $\displaystyle \omega_{p}^{2}=\frac{ne^{2}}{m\varepsilon_{0}}$ la fréquence plasma habituelle. $\displaystyle \Delta\overrightarrow{\underline{E}}=-k^{2}\overrightarrow{\underline{E}}$, d’où finalement
   $$k^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\left[1+\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i\frac{\omega}{\tau}}\right].$$
   $\displaystyle k$ est complexe, ce qui traduit l’absorption par le milieu (l’onde
   fournit de l’énergie au milieu, cf 2.).

3. La relation de dispersion se simplifie en $\displaystyle k^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\left[1+\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right]$,
   soit $\displaystyle n=\left[1+\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right]^{1/2}$. Il n’y a plus d’absorption.
   En se limitant au terme d’ordre le plus bas en $\displaystyle \omega/\omega_{0}$,
   $\displaystyle \begin{aligned}n&\simeq\left[1+\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}}\left(1+\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right)\right]^{1/2}\\&\simeq\left(1+\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right)^{1/2}\left[1+\frac{\frac{\omega^{2}}{2\omega_{0}^{2}}\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}}}{1+\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}}}\right]\\&=\left(1+\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right)^{1/2}+\frac{\frac{\omega^{2}\omega_{p}^{2}}{2\omega_{0}^{4}}}{\left(1+\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right)^{1/2}}\end{aligned}$.
   Avec $\displaystyle \omega=2\pi c/\lambda$, $$A=\sqrt{1+\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}}}\textrm{ et }B=\frac{2\pi^{2}c^{2}\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{4}\sqrt{1+\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}}}}.$$