Magnétostatique

Détermination du champ en tout point de l’espace 👉 Théorème d’Ampère.

Pour $\displaystyle r>R_{2}$, $\displaystyle \overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$ comme pour un solénoïde “fin”.

Les coordonnées adaptées à la symétrie du problème sont les coordonnées cylindriques. Soit $\displaystyle M\left(r,\theta,z\right)$ un point de l’espace.

Direction de $\displaystyle \overrightarrow{B}\left(M\right)$ : Le plan contenant $\displaystyle M$, perpendiculaire à $\displaystyle \left(Oz\right)$ est plan de symétrie de la distribution de courant, donc $\displaystyle \overrightarrow{B}\left(M\right)$ est perpendiculaire à ce plan, $\displaystyle \overrightarrow{B}\left(M\right)=B(M)\overrightarrow{u_{z}}$.

Paramètres d’espace de $\displaystyle B(M)$ : il y a invariance du problème par translation prallèlement à $\displaystyle \left(Oz\right)$, donc $\displaystyle B(M)$ est indépendant de $\displaystyle z$, et par rotation autour de $\displaystyle \left(Oz\right)$, donc $\displaystyle B(M)$ est indépendant de $\displaystyle \theta . \overrightarrow{B}(M)=B(r)\overrightarrow{u_{z}}$.

On utilise le théorème d’Ampère en choisissant un contour rectangulaire dont deux côtés sont parallèles à $\displaystyle \left(Oz\right)$, de longueur $\displaystyle a$ selon l’axe $\displaystyle \left(z\right)$, dont l’un des côtés parallèle à $\displaystyle \left(Oz\right)$ passe par M, et l’autre est extérieur au cylindre $\displaystyle \left(Oz\right)$, l’autre côté qui lui est parallèle passant par $\displaystyle M$. Ce contour est orienté pour que la normale soit selon le vecteur $\displaystyle \overrightarrow{u_{\theta}}$ en $\displaystyle M$.

$\displaystyle \oint _{C}\overrightarrow{B}.\overrightarrow{dl}=\mu_{0}I_{enlac\acute{e}}$.

$\displaystyle \int_{\left(2\right)}\overrightarrow{B}.\overrightarrow{dl}=\int_{\left(4\right)}\overrightarrow{B}.\overrightarrow{dl}=0$ car $\displaystyle \overrightarrow{B}.\overrightarrow{dl}=0$, et sur $\displaystyle \left(3\right) \overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$. D’où

$\displaystyle \int_{\left(1\right)}\overrightarrow{B}.\overrightarrow{dl}=B(r)a=\mu_{0}I_{enlac\acute{e}}$.

Exprimons le vecteur densité de courant entre $\displaystyle R_{1}$ et $\displaystyle R_{2}$ : $\displaystyle \overrightarrow{j}=j\overrightarrow{u_{\theta}}=\frac{ni}{R_{2}-R_{1}}\overrightarrow{u_{\theta}}$ homogène car $\displaystyle n$ en $\displaystyle \textrm{m}{}^{-1}$.

• pour $\displaystyle R_{1}\leq r\leq R_{2}$ , $\displaystyle I_{enlac\acute{e}}=ja\left(R_{2}-r\right)=nai\frac{R_{2}-r}{R_{2}-R_{1}}$. D’où $\displaystyle B(r)=\mu_{0}ni\frac{R_{2}-r}{R_{2}-R_{1}}$.

• pour $\displaystyle r\leq R_{1}, I_{enlac\acute{e}}=ja\left(R_{2}-R_{1}\right)=nia$. D’où $\displaystyle B(r)=\mu_{0}ni$. On retrouve évidemment le cas classique du solénoïde infini : $\displaystyle \overrightarrow{B}=\mu_{0}ni\overrightarrow{u_{z}}$ à l’intérieur du solénoïde.

Le champ est une fonction continue de l’espace, comme attendu pour une distribution volumique.

Tension maximale 👉 Etablir le bilan des actions mécaniques exercées sur le solénoïde.

Modéliser le solénoïde par une distribution continue de courant, et déterminer la force de Laplace qui s’exerce sur un élément de longueur du solénoïde.

1. Qualitativement, le solénoïde crèe un champ magnétique $\displaystyle \overrightarrow{B}=B\overrightarrow{u_{z}}$. Il y a donc une force de Laplace qui s’exerce sur un élément de fil du solénoïde $\displaystyle \overrightarrow{dF_{L}}=i\overrightarrow{d\ell}\land\overrightarrow{B}=id\ell\overrightarrow{u_{\theta}}\wedge B\overrightarrow{u_{z}}=id\ell B\overrightarrow{u_{r}}$. Un élément de fil entre $\displaystyle \theta$ et $\displaystyle \theta+d\theta$ est en équilibre sous l’action des deux tensions, $\displaystyle \overrightarrow{T}\left(\theta+d\theta\right)$ et $\displaystyle -\overrightarrow{T}\left(\theta\right)$ exercées aux deux extrémités en $\displaystyle \theta$ et $\displaystyle \theta+d\theta$, et la force de Laplace.
   

En projetant parallèlement à $\displaystyle \overrightarrow{dF_{L}}$ :
$\displaystyle iBd\ell=T(\theta+d\theta)\sin\left(\frac{d\theta}{2}\right)+T(\theta)\sin\left(\frac{d\theta}{2}\right)$.

En projetant perpendiculairement à $\displaystyle \overrightarrow{dF_{L}}$ :
$\displaystyle 0=T(\theta+d\theta)\cos\left(\frac{d\theta}{2}\right)-T(\theta)\cos\left(\frac{d\theta}{2}\right)$, soit $\displaystyle T(\theta+d\theta)=T(\theta)$, la tension est de norme constante $\displaystyle T$.

De la première équation on tire $\displaystyle iBRd\theta=Td\theta$.

La condition $\displaystyle T<T_{rupture}$ s’écrit donc $\displaystyle iBR<T_{rupture}$. Reste à déterminer $\displaystyle B$.

Dans le modèle du solénoïde infini, il y a une discontinuité du champ à la traversée du solénoïde. On peut considérer une distribution continue de courant entre $\displaystyle R_{1}$ et $\displaystyle R_{2}$ , on trouve à une distance r comprise entre $\displaystyle R_{1}$ et $\displaystyle R_{2}$ un champ $\displaystyle \overrightarrow{B}=\mu_{0}ni\frac{R_{2}-r}{R_{2}-R_{1}}\overrightarrow{u_{z}}$, maximal en $\displaystyle R_{1}$. Si on veut juste avoir un ordre de grandeur, on peut prendre $\displaystyle B=\mu_{0}ni$ (ou $\displaystyle \mu_{0}ni/2$ ), ce qui donne $\displaystyle \mu_{0}ni^{2}R<T_{rupture}$, soit $$I_{max}=\sqrt{\frac{T_{rupture}}{\mu_{0}nR}}.$$

2. A.N. : $\displaystyle n=10^{4}\textrm{ m}^{-1} , I_{max}=4.10^{2}\textrm{ A}$.

3. Le courant très important va vraisemblablement conduire à ce que le fil constituant le solénoïde fonde sous l’action de l’échauffement créé par l’effet Joule (à moins que le fil ne soit en matériau supraconducteur, comme dans les “aimants” supraconducteurs. Dans ce cas, la résistance du bobinage est nulle et il n’y a pas d’effet Joule limitant la création de fort courant, et donc de champ magnétique intense. En revanche, le problème de la tension de rupture est à prendre en compte).

4. Avec un solénoïde fini, le même phénomène de rupture peut se produire. Il se produit en premier lieu là où le champ est le plus intense, donc au milieu du solénoïde.

Calcul du champ en tout point 👉 Théorème d’Ampère.

1. Le plan $\displaystyle z=0$ est plan de symétrie de la distribution de courant.
   Le plan passant par $\displaystyle M\left(x,y,0\right)$ et parallèle à $\displaystyle \left(xOz\right)$ est plan de symétrie de la distribution de courant.
   Donc le champ $\displaystyle \overrightarrow{B}(x,y,0)$ doit être perpendiculaire à ces deux plans.
   $$\overrightarrow{B}(x,y,0)=\overrightarrow{0}.$$

2. Direction de $\displaystyle \overrightarrow{B}$. Le plan passant par $\displaystyle M\left(x,y,z\right)$ et parallèle à $\displaystyle \left(xOz\right)$ est plan de symétrie de la distribution de courant. Donc $\displaystyle \overrightarrow{B}(M)=B(M)\overrightarrow{u_{y}}$.
   Paramètres d’espace de $\displaystyle \overrightarrow{B}$. La distribution de courant est invariante par translation selon $\displaystyle \left(Ox\right)$ ou $\displaystyle \left(Oy\right)$. D’où $\displaystyle \overrightarrow{B}(M)=B(z)\overrightarrow{u_{y}}$.
   Théorème d’Ampère. Le plan $\displaystyle z=0$ étant plan de symétrie de la distribution de courant, $\displaystyle B(-z)=-B(z)$. Déterminons $\displaystyle \overrightarrow{B}$ pour $\displaystyle z>0$, en appliquant le théorème d’Ampère à un contour rectangulaire parallèle à $\displaystyle \left(yOz\right)$, de longueur $\displaystyle b$ selon l’axe $\displaystyle \left(y\right)$ dans le plan $\displaystyle z=0$, l’autre côté qui lui est parallèle passant par $\displaystyle M$. Ce contour est orienté pour que la normale soit selon le vecteur $\displaystyle \overrightarrow{u_{x}}$.

$\displaystyle \oint_{C}\overrightarrow{B}.\overrightarrow{dl}=\mu_{0}I_{enlac\acute{e}}$. L’intégrale est nulle pour les côtés verticaux du schéma et en $\displaystyle z=0$. D’où : $\displaystyle \Longrightarrow-B(z)b=\mu_{0}I_{enlac\acute{e}}$.

• Pour $\displaystyle z\geq a/2$, $\displaystyle I_{enlac\acute{e}}=\iint\overrightarrow{j}.\overrightarrow{d^{2}S}=\iint j_{0}.d^{2}S=j_{0}ba/2$ et $\displaystyle B(z)=-\mu_{0}j_{0}a/2$.

• Pour $\displaystyle z<a/2$, $\displaystyle I_{enlac\acute{e}}=\iint\overrightarrow{j}.\overrightarrow{d^{2}S}=\iint j_{0}.d^{2}S=j_{0}bz$ et $\displaystyle B(z)=-\mu_{0}j_{0}z$.
Finalement :

pour $\displaystyle z\geq a/2$, $\displaystyle \overrightarrow{B}(M)=-\mu_{0}j_{0}\frac{a}{2}\overrightarrow{u_{y}}$.

pour $\displaystyle z\leq-a/2$, $\displaystyle \overrightarrow{B}(M)=\mu_{0}j_{0}\frac{a}{2}\overrightarrow{u_{y}}$.

pour $\displaystyle \left|z\right|<a/2, \overrightarrow{B}(M)=-\mu_{0}j_{0}z\overrightarrow{u_{y}}$.

On retrouve à l’extérieur de la distribution le champ créé par une nappe de courant $\displaystyle \overrightarrow{j_{S}}=j_{0}a\overrightarrow{u_{x}}$.

L’idée est d’utiliser le théorème de superposition : $\displaystyle \overrightarrow{B}$ est la superposition du champ $\displaystyle \overrightarrow{B_{1}}$ créé par un cylindre infini plein, de rayon $\displaystyle R$, d’axe $\displaystyle \left(Ox\right)$, parcouru par $\displaystyle \overrightarrow{j}$, et du champ $\displaystyle \overrightarrow{B_{2}}$ créé par un cylindre infini plein, de rayon $\displaystyle a$, d’axe $\displaystyle \left(O'x\right)$, parcouru par $\displaystyle -\overrightarrow{j}$.

• Déterminons $\displaystyle \overrightarrow{B_{1}}$.

Les coordonnées adaptées à la symétrie du problème sont les coordonnées cylindriques. Soit $\displaystyle M\left(r,\theta,z\right)$ un point de l’espace, $\displaystyle \overrightarrow{OM}=r\overrightarrow{u_{r}}+z\overrightarrow{u_{z}}$.

Direction de $\displaystyle \overrightarrow{B_{1}}\left(M\right)$ : le plan contenant $\displaystyle M$ et $\displaystyle \left(Oz\right)$ est plan de symétrie de la distribution de courant, donc $\displaystyle \overrightarrow{B_{1}}\left(M\right)$ est perpendiculaire à ce plan,
$\displaystyle \overrightarrow{B_{1}}\left(M\right)=B_{1}(M)\overrightarrow{u_{\theta}}$.

Paramètres d’espace de $\displaystyle B_{1}(M)$ : il y a invariance du problème par translation prallèlement à $\displaystyle \left(Oz\right)$, donc $\displaystyle B_{1}(M)$ est indépendant de $\displaystyle z$, et par rotation autour de $\displaystyle \left(Oz\right)$, donc $\displaystyle B(M)$ est indépendant de $\displaystyle \theta$.
$\displaystyle \overrightarrow{B_{1}}(M)=B_{1}(r)\overrightarrow{u_{\theta}}$.

On utilise le théorème d’Ampère en choisissant un contour circulaire d’axe $\displaystyle \left(Oz\right)$, passant par $\displaystyle M$ :

$\displaystyle \oint_{C}\overrightarrow{B}.\overrightarrow{dl}=\mu_{0}I_{enlac\acute{e}}$, soit

d’une part $\displaystyle \int_{C}\overrightarrow{B_1}.\overrightarrow{dl}=\int_{C}B_{1}.dl=B_{1}(r)2\pi r$.

d’autre part pour $\displaystyle r<R$ qui est le seul cas utile ici $\displaystyle I_{enlac\acute{e}}=j\pi r^{2}$, d’où
$\displaystyle \overrightarrow{B_{1}}(M)=\mu_{0}j\frac{r}{2}\overrightarrow{u_{\theta}}$.

• Pour calculer $\displaystyle \overrightarrow{B_{2}}$ la démarche est la même. Attention $\displaystyle r$ et $\displaystyle \overrightarrow{u_{\theta}}$ n’ont pas la même signification.

• On réécrit les champs $\displaystyle \overrightarrow{B_{1}}(M)=\mu_{0}\frac{j}{2}\overrightarrow{u_{z}}\land\overrightarrow{OM}$,

$\displaystyle \overrightarrow{B_{2}}(M)=-\mu_{0}\frac{j}{2}\overrightarrow{u_{z}}\land\overrightarrow{O'M}$.

D’où $\displaystyle \overrightarrow{B}(M)=\mu_{0}\frac{j}{2}\overrightarrow{u_{z}}\land(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{O'M})$, soit : $$\overrightarrow{B}(M)=\mu_{0}\frac{j}{2}\overrightarrow{u_{z}}\land\overrightarrow{OO'}.$$

Le champ est uniforme dans la cavité.