Equations de Maxwell

5. Calcul du champ en tout point comme en électrostatique 👉 Théorème de Gauss.
6. Calcul du champ en tout point comme en magnétostatique 👉 Théorème d’Ampère.

1. $\displaystyle \overrightarrow{g}$ obéit aux équations analogues à celles vérifiées par le champ électrostatique : $\displaystyle \textrm{div}\overrightarrow{g}=-4\pi\mathscr{G}\rho$, où $\displaystyle \rho$ est la masse volumique et $\displaystyle \overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{g}=\overrightarrow{0}$.

2. $\displaystyle \varepsilon_{g}=\frac{-1}{4\pi\mathscr{G}}$ et $\displaystyle \overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{g}=-\frac{\partial\overrightarrow{h}}{\partial t}$ indique que $\displaystyle \left[{h}\right]=T^{-1}$.

3. Même démonstration qu’en électromagnétisme $\displaystyle \Delta\overrightarrow{g}-\varepsilon_{g}\mu_{g}\frac{\partial^{2}\overrightarrow{g}}{\partial t^{2}}=\overrightarrow{0}$, d’où $\displaystyle \varepsilon_{g}\mu_{g}c^{2}=1$ et donc $\displaystyle \mu_{g}<0$.

4. $\displaystyle \overrightarrow{f}=m\left(\overrightarrow{g}+\overrightarrow{v}\land\overrightarrow{h}\right)$.

5. Théorème de Gauss comme pour $\displaystyle \overrightarrow{E}$, avec les quatre étapes : symétries, invariances, choix de la surface fermée, application du théorème.
   $$\overrightarrow{g}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{g}r}\overrightarrow{u_{r}}.$$ La force exercée sur $\displaystyle \overrightarrow{dl}$ est $\displaystyle \overrightarrow{dF_{g}}=\lambda dl\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{g}d}\overrightarrow{u_{r}}$, soit par unité de longueur $\displaystyle \overrightarrow{F_{g}}=\frac{\lambda^{2}}{2\pi\varepsilon_{g}d}\overrightarrow{u_{r}}$, c’est une force attractive $\displaystyle \varepsilon_{g}<0$.

6. Théorème d’Ampère comme pour $\displaystyle \overrightarrow{B}$, avec les quatre étapes : symétries, invariances, choix du contour fermé, application du théorème.
   $$\overrightarrow{h}=\frac{\mu_{g}\lambda v}{2\pi r}\overrightarrow{u_{\theta}}.$$La force exercée sur $\displaystyle \overrightarrow{dl}$ est $\displaystyle \overrightarrow{dF_{h}}=\lambda dl\overrightarrow{v}\land\frac{\mu_{g}\lambda v}{2\pi d}\overrightarrow{u_{\theta}}=-\frac{\mu_{g}\lambda^{2}v^{2}dl}{2\pi d}\overrightarrow{u_{r}}$, soit par unité de longueur $\displaystyle \overrightarrow{F_{h}}=-\frac{\mu_{g}\lambda^{2}v^{2}}{2\pi d}\overrightarrow{u_{r}}$, c’est une force répulsive.
   La force totale est $\displaystyle \overrightarrow{F}=\frac{\lambda^{2}}{2\pi\varepsilon_{g}d}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\overrightarrow{u_{r}}$. On retrouve le facteur $\displaystyle \frac{v^{2}}{c^{2}}$ entre les deux forces. $\displaystyle \frac{\left\Vert \overrightarrow{F_{h}}\right\Vert }{\left\Vert \overrightarrow{F_{g}}\right\Vert }\ll1$ pour les vitesses usuelles.
   Si les deux fils se déplacent en sens inverses, la force gravitationnelle ne change pas et la force gravitomagnétique change de sens.

Solide en rotation autour d’un axe fixe 👉 Théorème du moment cinétique scalaire ou théorème de l’énergie cinétique.
La force électrique agit sur toute la surface du cylindre 👉 il faut sommer les moments élémentaires.

1. Le champ magnétique dépend du temps, d’où l’apparition de $\displaystyle \overrightarrow{E_{1}}$ tel que $\displaystyle \overrightarrow{\textrm{rot}}\left(\overrightarrow{E_{1}}\right)=-\frac{\partial\overrightarrow{B_{1}}}{\partial t}$.

Sous forme intégrale $\displaystyle \oint_{C}\overrightarrow{E_{1}}.\overrightarrow{d\ell}=-\frac{d}{dt}\iint_{S}\overrightarrow{B_{1}}.\overrightarrow{d^{2}S}$, $\displaystyle S$ étant une surface s’appuyant sur le contour $\displaystyle C$.

$\displaystyle \overrightarrow{E_{1}}=E_{1}\overrightarrow{u_{\theta}}$. Il y a invariance du problème par rotation autour de $\displaystyle \left(Oz\right)$. Choisissons pour $\displaystyle C$ un cercle d’axe $\displaystyle \left(Oz\right)$ de rayon $\displaystyle r$, et comme surface le disque correspondant :

$\displaystyle \oint_{C}\overrightarrow{E_{1}}.\overrightarrow{d\ell}=E_{1}(r,z,t)2\pi r$ et $\displaystyle \iint_{S}\overrightarrow{B_{1}}.\overrightarrow{d^{2}S}=B_{1}(t)\pi r^{2}$. D’où $\displaystyle \overrightarrow{E_{1}}(r,t)=-\frac{r}{2}\frac{dB_{1}}{dt}\overrightarrow{u_{\theta}}$.

Remarque : ce champ dépendant du temps et de l’espace génère à son tour un champ $\displaystyle \overrightarrow{B_{2}}(r,t)$ qui est négligé ici (on néglige l’autoinduction).

2. Les charges sont soumises à la force de Lorentz. Seule la contribution électrique a un moment non nul sur l’axe. Sur $\displaystyle d^{2}S_{P}$ s’exerce la force électrique $\displaystyle \sigma d^{2}S_{P}\overrightarrow{E_{1}}(P,t)$.

$\displaystyle M_{Oz}=\overrightarrow{u_{z}}.\iint\overrightarrow{OP}\wedge\overrightarrow{E_{1}}(P,t)\sigma d^{2}S_{P}=a\left(-\frac{a}{2}\frac{dB_{1}}{dt}\right)q$.

Le théorème du moment cinétique scalaire projeté sur $\displaystyle \left(Oz\right)$ donne :

$\displaystyle I\dot{\omega}=-q\frac{a^{2}}{2}\dot{B}_{1}$, soit en intégrant, $$\omega_{F}=q\frac{a^{2}}{2I}B_{0}.$$

a) Principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron en référentiel supposé galiléen :
$\displaystyle m\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t}=-e\left[\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\land\overrightarrow{B}\right]$.

Équation de Maxwell-Faraday : $\displaystyle \overrightarrow{\textrm{rot}}\left(\overrightarrow{E}\right)=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}$.

Équation de Maxell-Ampère : $\displaystyle \overrightarrow{\textrm{rot}}\left(\overrightarrow{B}\right)=\mu_{0}\left[-ne\overrightarrow{v}+\varepsilon_{0}\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right]$.

b) $\displaystyle \overrightarrow{E}$ et $\displaystyle \overrightarrow{B}$ peuvent présenter des discontinuités en cas de densité surfacique de charge et de courant surfacique, qui sont des modélisations de grandeurs volumiques dans un volume de très faible épaisseur. Ici le milieu est localement neutre et le courant volumique est explicitement décrit, il n’y a donc pas lieu de tenir compte de modélisations surfaciques.

c) Les électrons sont mis en mouvement par le champ électrique seul et

$\displaystyle \begin{cases} m\frac{\partial v}{\partial t}=-eE\\ \frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{\partial B}{\partial t}\\ \frac{\partial B}{\partial x}=\mu_{0}nev \end{cases}.$ D’où $\displaystyle \frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}=-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial B}{\partial t}\right)=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_{0}ne^{2}v\right)$,

soit $\displaystyle \frac{\partial^{2}E(x,t)}{\partial x^{2}}=\frac{1}{\lambda^{2}}E(x,t)$ avec $\displaystyle \lambda=\sqrt{\frac{m}{\mu_{0}ne^{2}}}$. En introduisant $\displaystyle \omega_{p}$, $$\lambda=\frac{c}{\omega_{p}}.$$

d) Le champ étant borné, l’équation du c) se résout en $\displaystyle E(x,t)=A(t)\exp\left(-x/\lambda\right)$. En intégrant l’équation de Maxwell-Faraday : $\displaystyle B(x,t)=C(x)+D(t)\exp\left(-x/\lambda\right)$ avec $\displaystyle \dot{D}(t)=A(t)/\lambda$.

En supprimant la constante d’intégration stationnaire $\displaystyle C(x)$ comme indiqué, et avec la condition aux limites en $\displaystyle x=0$ : $$B(x,t)=B_{0}(t)\exp\left(-x/\lambda\right).$$$$E(x,t)=\lambda\dot{B_{0}}(t)\exp\left(-x/\lambda\right).$$$${v(x,t)=-\frac{e\lambda}{m}B_{0}(t)\exp\left(-x/\lambda\right).}$$

e) A.N. : $\displaystyle \lambda=1,7\textrm{ cm}$. Les champs décroissent sur une distance caractéristique de l’ordre de quelques cm.

Remarque — À cause de la condition en $\displaystyle x=0$, le champ électrique est non nul dans la région vide et en conséquence un champ magnétique avec une dépendance spatiale est engendré. On a supposé implicitement que ce dernier était négligeable devant $\displaystyle B_{0}$.

• Force de Laplace volumique $\displaystyle d^{3}\overrightarrow{F}=\overrightarrow{j}d^{3}\tau\land\overrightarrow{B}$.
• Vitesse angulaire finale d’un solide en rotation autour d’un axe fixe 👉 A priori théorème du moment cinétique ou théorème de l’énergie cinétique. Ici le théorème du moment cinétique est très simple à mettre en œuvre.

1. $\displaystyle i(t)=-\frac{dQ}{dt}.$

Il y a symétrie par rotation autour de $\displaystyle \left(Oz\right)$ et par translation parallèlement à $\displaystyle \left(Oz\right)$. Le vecteur densité de courant est radial par symétrie. D’où en négligeant les effets de bord, et en coordonnées cylindriques $\displaystyle i(t)=\iint\overrightarrow{j}.\overrightarrow{d^{2}S}=j(r)2\pi rh$ et $\displaystyle \overrightarrow{j}(M,t)=\frac{i}{2\pi rh}\overrightarrow{u_{r}}$.

2. Sur un élément de volume $\displaystyle d^{3}\tau$ s’exerce une force de Laplace
   $\displaystyle d^{3}\overrightarrow{F}=\overrightarrow{j}d^{3}\tau\land\overrightarrow{B}=-\frac{i}{2\pi rh}Bd^{3}\tau\overrightarrow{u_{\theta}}$. Le moment de cette force qui s’exerce à la distance r de l’axe , projeté sur l’axe du condensateur, est
   $\displaystyle d^{3}M_{z}=-\frac{i}{2\pi h}Bd^{3}\tau$, d’où un moment total

$$M_{z}=-\frac{i}{2\pi h}B\pi h\left(b^{2}-a^{2}\right)=-\frac{i}{2}B\left(b^{2}-a^{2}\right).$$

Le condensateur est soumis dans le référentiel galiléen d’étude à

• son poids de moment nul par rapport à l’axe, où se trouve le centre d’inertie

• les actions d’axe de moment nul car pas de frottements

• le moment des forces de Laplace.

Le théorème du moment cinétique projeté sur l’axe donne donc $\displaystyle J\frac{d\omega}{dt}=-\frac{i}{2}B\left(b^{2}-a^{2}\right)$. En intégrant entre l’instant initial et l’instant final (quand la vitesse finale est atteinte, i.e. quand le condensateur est déchargé)

$\displaystyle J\omega_{0}=-\frac{1}{2}B\left(b^{2}-a^{2}\right)\int_{0}^{t_{f}}i.dt=\frac{-Q_{0}}{2}B\left(b^{2}-a^{2}\right)$, soit $$\omega_{0}=-\frac{Q_{0}}{2J}B\left(b^{2}-a^{2}\right).$$

3. $\displaystyle \left[\overrightarrow{d^{3}P}\right]\equiv \left[\varepsilon_{0}\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{B}d^{3}\tau\right]$. On sait avec le vecteur de Poynting que $\displaystyle \left[\frac{\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{B}}{\mu_{0}}\right]\equiv M.T^{-3}$ (en Watt.m$\displaystyle ^{-2)}$). Donc $\displaystyle \left[\varepsilon_{0}\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{B}\right]\equiv M.L^{-2}.T^{-1}$ et $\displaystyle \left[\overrightarrow{dP}\right]\equiv M.L.T^{-1}$, comme une quantité de mouvement. On calcule le moment cinétique correspondant :

$\displaystyle \overrightarrow{L_{0}}=\iiint_{\textrm{entre les armatures}}\overrightarrow{OM}\land\overrightarrow{d^{3}P}=\iiint_{\textrm{entre les armatures}}\overrightarrow{ru_{r}}\land\overrightarrow{d^{3}P}$.

Pour calculer le champ électrique pour $\displaystyle t<0$, on utilise le théorème de Gauss en suivant la méthode usuelle (direction du champ, paramètres d’espace, surface fermée cylindrique,…) : $\displaystyle \overrightarrow{E}=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0}rh}\overrightarrow{u_{r}}$.

D’où $\displaystyle \overrightarrow{L_{0}}(t<0)=-\int_{a}^{b}\frac{rQ_{0}}{2\pi rh}.B.2\pi rdr\overrightarrow{u_{z}}=-Q_{0}B\frac{b^{2}-a^{2}}{2}\overrightarrow{u_{z}}$.

Pour t<0, le condensateur est immobile, seul le champ est associé à un moment cinétique non nul.
Lorsque le condensateur est déchargé, le champ électrique est nul, donc le moment cinétique associé au champ est nul. En revanche le solide a acquis un moment cinétique $\displaystyle J\omega_{0}\overrightarrow{u_{z}}=-Q_{0}B\frac{b^{2}-a^{2}}{2}\overrightarrow{u_{z}}$.

Il y a eu transfert sans perte de moment cinétique depuis le champ vers le système mécanique.

• Force exercée sur une charge 👉 Force de Lorentz $\displaystyle \overrightarrow{f}=Q\left[\overrightarrow{E}+\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{B}\right]$.
• Changement de référentiel 👉 Pour des référentiels en translation uniforme
  $\displaystyle \overrightarrow{v}_{\mathscr{R}}=\overrightarrow{v}_{\mathscr{R'}}+\overrightarrow{V}_{\mathscr{R'/R}}$.

1. La particule est soumise à la force de Lorentz.
   Dans $\displaystyle \mathscr{R}$, $$\overrightarrow{f}=Q\left[\overrightarrow{E}+\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{B}\right].$$
   Dans $\displaystyle \mathscr{R'}$, $\displaystyle \overrightarrow{f}=Q\left[\overrightarrow{E'}+\overrightarrow{u'}\wedge\overrightarrow{B'}\right]$,
   où $\displaystyle \overrightarrow{u'}$ est la vitesse de la particule dans $\displaystyle \mathscr{R'}$.
   Dans le cas de la translation, la loi de transformation des vitesses donne $\displaystyle \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u'}+\overrightarrow{V}_{\mathscr{R'/R}}=\overrightarrow{u'}+\overrightarrow{V}$. D’où en remplaçant $\displaystyle \overrightarrow{u'}$ en fonction de $\displaystyle \overrightarrow{u}$,
   $$\overrightarrow{f}=Q\left[\overrightarrow{E'}-\overrightarrow{V}\wedge\overrightarrow{B'}+\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{B'}\right].$$
   Selon le principe de relativité, les expressions des forces sont identiques quelle que soit $\displaystyle \overrightarrow{u}$.
   Pour $\displaystyle \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$, cela implique $$\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E'}-\overrightarrow{V}\wedge\overrightarrow{B'}.$$
   Puis la relation étant vraie pour tout $\displaystyle \overrightarrow{u}$, $$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B'}.$$
   Remarque — En remplaçant dans la force dans $\displaystyle \mathscr{R}$, $\displaystyle \overrightarrow{u}$ en fonction de $\displaystyle \overrightarrow{u'}$, on obtient évidemment $\displaystyle \overrightarrow{E'}=\overrightarrow{E}+\overrightarrow{V}\wedge\overrightarrow{B}$ et $\displaystyle \overrightarrow{B'}=\overrightarrow{B}$.

2. Pour le champ électrique, il s’agit du calcul très classique du champ créé par un cylindre “infini” uniformément chargé, de charge volumique $\displaystyle \rho=-ne$, de rayon $\displaystyle R$. Après avoir soigneusement étudié les invariances et symétries du problème, on obtient en coordonnées cylindriques au point $\displaystyle M$ quelconque (les champs sont continus puisqu’il s’agit de distributions volumiques)

• pour $\displaystyle r\leq R$, $\displaystyle \overrightarrow{E}(M)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}}\overrightarrow{e_{r}}=-\frac{ner}{2\varepsilon_{0}}\overrightarrow{e_{r}}$.

• Pour $\displaystyle r\geq R$, $\displaystyle \overrightarrow{E}(M)=\frac{\rho R^{2}}{2r\varepsilon_{0}}\overrightarrow{e_{r}}=-\frac{neR^{2}}{2r\varepsilon_{0}}\overrightarrow{e_{r}}$.
  Concernant le champ magnétique, il s’agit là aussi du résultat classique du champ créé par un cylindre “infini” de rayon $\displaystyle R$ parcouru par une densité volumique de courant uniforme $\displaystyle \overrightarrow{j}=-ne\overrightarrow{V}$.
  Après avoir soigneusement étudié les invariances et symétries du problème,
  on obtient le résultat en coordonnées cylindriques

• pour $\displaystyle r\leq R$, $\displaystyle \overrightarrow{B}(M)=\frac{\mu_{0}jr}{2}\overrightarrow{e_{\theta}}=-\frac{\mu_{0}ner}{2}\overrightarrow{e_{\theta}}$.

• Pour $\displaystyle r\geq R$, $\displaystyle \overrightarrow{B}(M)=\frac{\mu_{0}jR^{2}}{2r}\overrightarrow{e_{\theta}}=-\frac{\mu_{0}neR^{2}}{2r}\overrightarrow{e_{\theta}}$.

3. Déterminons les champs dans $\displaystyle \mathscr{R'}$ .
   Concernant le champ électrique, le calcul est identique au cas précédent.
   En effet les électrons sont en mouvement mais à une date donnée, la
   densité volumique de charge est inchangée. Donc $$\overrightarrow{E'}(M)=\overrightarrow{E}(M).$$
   Concernant le champ magnétique en revanche, le courant volumique $\displaystyle \overrightarrow{j'}$ est nul dans $\displaystyle \mathscr{R'}$ puisque les électons sont immobiles. D’où $$\overrightarrow{B'}=\overrightarrow{0}$$ en tout point.

4. Les relations obtenues à la question 1 sont visiblement non vérifiées
   pour les champs calculés en 2. et 3. !!!
   Soit le calcul des champs est faux, soit la cinématique classique (en particulier la loi de composition des vitesses) est fausse. À ton avis 🤔?
   Le titre de l’exercice correspond à l’année à laquelle Albert Einstein
   a publié la théorie de la relativité. (Non, nous n’entrerons pas dans la polémique Poincaré-Enstein sur la paternité de la relativité 😯). C’est bien la cinématique classique et sa loi de composition des vitesses qu’il faut abandonner. Notons que la cinématique relativiste (contraction des longueurs…) conduit aussi à abandonner l’idée que la densité volumique de charge est la même dans les deux référentiels.