Filtrage, signaux

ALI idéal en régime linéaire 👉 $\displaystyle V_{-}=V_{+}$ et $\displaystyle i_+=i_-=0$.

1. En basse fréquence, le condensateur équivaut à un interrupteur ouvert. Comme $\displaystyle i_{+}=0$, le courant dans $\displaystyle R_{1}=0$ et $\displaystyle V_{+}=V_{e}$.
   L’ALI est en régime linéaire donc $\displaystyle V_{-}=V_{+}=V_{e}$. Donc le courant entre l’entrée et l’entrée - de l’ALI est nul. Comme $\displaystyle i_{-}=0$, $\displaystyle V_{s}=V_{-}=V_{e}$.
   En haute fréquence, le condensateur équivaut à un fil : $\displaystyle V_{+}=0$. Comme l’ALI est en régime linéaire $\displaystyle V_{-}=V_{+}=0$. Le courant dans les deux résistances $\displaystyle R$ étant le même puisque $\displaystyle i_{-}=0$, $\displaystyle V_{s}=-V_{e}$.

2. Plaçons- nous en régime sinusoïdal forcé, en utilisant la représentation complexe.
   La loi des nœuds donne à l’entrée -
   $\displaystyle \frac{\underline{V_{_{e}}}-\underline{V_{-}}}{R}+\frac{\underline{V_{s}}-\underline{V_{-}}}{R}=0.$
   La loi des nœuds donne à l’entrée +
   :$\displaystyle \frac{\underline{V_{e}}-\underline{V_{-}}}{R_{1}}+\left(0-\underline{V_{-}}\right)jC\omega=0.$
   D’où la fonction de transfert $$\underline{H}=\frac{\underline{V_{s}}}{\underline{V_{e}}}=\frac{1-jR_{1}C\omega}{1+jR_{1}C\omega}.$$
   $\displaystyle \left|\underline{H}\right|=1$, il s’agit d’un circuit déphaseur.

3. L’équation différentielle reliant les tensions d’entrée et de sortie peut s’obtenir directement, ou simplement à partir de la fonction de transfert en identifiant la multiplication par $\displaystyle j\omega$ à la dérivation par rapport au temps.
   $\displaystyle V_{s}(t)+R_{1}C\frac{dV_{s}(t)}{dt}=V_{e}(t)+R_{1}C\frac{dV_{e}(t)}{dt}$.
   Pour $\displaystyle t>0$, $\displaystyle V_{s}(t)+R_{1}C\frac{dV_{s}(t)}{dt}=E.$
   D’où $\displaystyle V_{s}(t)=E+A\exp\left(-t/\tau\right)$ avec $\displaystyle \tau=R_{1}C$.
   Pour $\displaystyle t<0,V_{e}(t)=0$, le condensateur s’est déchargé, d’où $\displaystyle V_{+}=0$. Par continuité de la tension aux bornes d’un condensateur , $\displaystyle V_{+}(t=0^{+})=V_{-}(t=0^{+})$.
   D’où le courant circulant dans les deux résistances $\displaystyle R$ est $\displaystyle i_{R}\left(0^{+}\right)=E/R$ et $\displaystyle V_{s}(t)=-E$. D’où $$V_{s}(t)=E-2E\exp\left(-t/\tau\right).$$

Signal sinusoïdal 👉 Par définition, un seul terme dans la décomposition de Fourier, il faut éliminer les autres !
Signal créneau/signal triangulaire 👉 L’un est la dérivée par rapport au temps de l’autre, à un facteur multiplicatif près.

1. À hautes fréquences, les condensateurs équivalent à des fils. La tension de sortie, prise au bornes d’un condensateur, est nulle.
   À basses fréquences, les condensateurs équivalent à des interrupteurs ouverts. Il n’y a pas de courant circulant dans le dipôle de sortie, la tension de sortie est nulle.
   Il s’agit a priori d’un passe-bande.
2. Pour un signal d’entrée sinusoïdal, de pulsation $\displaystyle \omega=2\pi f$, l’ensemble (R,C) en parallèle a une impédance $\displaystyle \underline{Z}$ telle que $\displaystyle \frac{1}{\underline{Z}}=\frac{1}{R}+jC\omega$, $$\underline{Z}=\frac{R}{1+jRC\omega}.$$
   Avec un diviseur de tension,
   $\displaystyle \begin{aligned}\frac{\underline{V_{s}}}{\underline{V_{e}}}&=\frac{\underline{Z}}{R+\frac{1}{jC\omega}+\underline{Z}}\\&=\frac{1}{1+\left(R+\frac{1}{jC\omega}\right)\left(\frac{1}{R}+jC\omega\right)}\\&=\frac{1}{3+jRC\omega+\frac{1}{jRC\omega}}.\end{aligned}$
   La fonction de transfert est bien celle d’un passe-bande du second ordre, de la forme $$\underline{H}=\frac{H_{0}}{1+jQ\left(x-\frac{1}{x}\right)}=\frac{H_{0}j\frac{x}{Q}}{1-x^{2}+j\frac{x}{Q}}$$ avec $\displaystyle H_{0}=1/3$, $\displaystyle x=RC\omega=\frac{\omega}{\omega_{0}}$, $\displaystyle Q=1/3$. La fréquence de résonance est $\displaystyle f_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}=\frac{1}{2\pi RC}$, la bande passante à -3 dB est $\displaystyle \Delta f=\frac{f_{0}}{Q}=3f_{0}$.
   
   Gain en dB et phase en fonction de $\displaystyle f/f_0$.

3.a. Pour isoler l’harmonique 3 et ainsi obtenir un signal sinusoïdal de 300 kHz, il faut un filtre de fréquence de résonance $\displaystyle f_{0}=3f$ pour sélectionner l’harmonique 3 du signal d’entrée. Idéalement, il faut un filtre très sélectif (de grand facteur de qualité), ce qui permet de supprimer les autres harmoniques et le fondamental. Dans le cas présent, le facteur de qualité est imposé égal à 1/3. Calculons les fréquences de coupure
$\displaystyle H=\left|\underline{H}\right|=\frac{H_{0}}{\sqrt{1+Q^{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}}}$.
$\displaystyle H(\omega)=\frac{H_{0}}{\sqrt{2}}\Longleftrightarrow Q^{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}=1\Longleftrightarrow Q\left(x-\frac{1}{x}\right)=\pm1$.
Avec $\displaystyle Q=1/3$, il y a deux solutions positives (une pour +, une pour -)
$\displaystyle x=\frac{\pm3+\sqrt{13}}{2}$, soit $\displaystyle x_{1}=0,30$ et $\displaystyle x_{2}=3,3$.
Pour $\displaystyle f_{0}=300$ kHz, cela donnerait les fréquences de coupure $\displaystyle f_{1}=f_{0}x_{1}=90\textrm{ Hz}$ et $\displaystyle f_{2}=f_{0}x_{2}=990\textrm{ Hz}$. $\displaystyle f$ et $\displaystyle 5f$ sont dans la bande passante, le signal de sortie ne sera pas sinusoïdal puisque le filtre laisse passer le fondamental et l’harmonique 5.
3.b. La dérivée d’un signal triangulaire est un signal créneau. Pour $\displaystyle f_{0}=\frac{1}{2\pi RC}\gg f$, la fonction de transfert $\displaystyle \underline{H}\left(j\omega\right)\sim j\omega/Q$, le filtre fonctionne en dérivateur (avec multiplication par $\displaystyle 1/Q$).
Il faut donc $\displaystyle RC\gg\frac{1}{2\pi f}=1,6.10^{-6}\textrm{s}.$ On peut prendre par exemple $\displaystyle C\sim1\mu\textrm{F}$ et $\displaystyle R\sim1\textrm{ k}\Omega$ pour obtenir un signal créneau en sortie.

• Circuit dérivateur 👉 La fonction de transfert correspondante en régime sinusoïdal forcé est équivalente à $\displaystyle ja\omega,$ $\displaystyle a$ réel.
• Modélisation d’un condensateur à “haute” (resp. “basse”) fréquence 👉 Fil (resp. interrupteur ouvert). Mais que signifie “haute” ou “basse” fréquence ?

1. Pour répondre, on se place en régime sinusoïdal forcé. On vérifie facilement que les très hautes fréquences (condensateur équivalent à un fil) ou très basses fréquences (condensateur équivalent à un interrupteur ouvert) ne permettent pas d’obtenir un dérivateur.
   En remarquant $\displaystyle R\ll R'$, on peut se demander ce que signifie ici l’expression “haute fréquence” ou “basse fréquence” ? Il s’agit de comparer l’impédance du condensateur, de module $\displaystyle \frac{1}{C\omega}$, aux autres impédances présentes, ici $\displaystyle R$ et $\displaystyle R'$. On peut se trouver dans la situation $\displaystyle R\ll\frac{1}{C\omega}\ll R'$, ce qui correspondrait à se trouver “à haute fréquence” relativement à $\displaystyle \frac{1}{2\pi R'C}$ , mais “à basse fréquence” relativement à $\displaystyle \frac{1}{2\pi RC}$.
   Dans ce cas l’association en parallèle de $\displaystyle C$ et $\displaystyle R'$ se comporte comme s’il y avait seulement le condensateur $\displaystyle Z_{R'//C}=\frac{R'}{1+jR'C\omega}\simeq\frac{1}{jC\omega}$.
   On a ainsi le condensateur et la résistance $\displaystyle R$ en série et $$\frac{\underline{V_{S}}}{\underline{V_{E}}}=\frac{RjC\omega}{RjC\omega+1}\simeq RjC\omega.$$
   Remarque — Comme $\displaystyle R\ll\frac{1}{C\omega}$, on pourrait considérer que, dans l’association condensateur et résistance $\displaystyle R$ en série, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, mais alors le signal de sortie devrait être nul. On peut en déduire que l’amplitude du signal de sortie est a priori très faible devant l’amplitude du signal d’entrée.
   On a bien un circuit dérivateur pour $$\frac{1}{2\pi R'C}\ll f\ll\frac{1}{2\pi RC},$$
   soit $$1,0.10^{2}\textrm{Hz}\ll f\ll48\textrm{ kHz}.$$

• $\displaystyle f_{a}=10\textrm{ Hz}$ correspond aux basses fréquences $\displaystyle f\ll\frac{1}{2\pi RC}$ et $\displaystyle f\ll\frac{1}{2\pi R'C}$. Le condensateur équivaut à un interrupteur ouvert et on a juste à cette fréquence $\displaystyle R$ et $\displaystyle R'$ en série, soit un diviseur de tension avec $\displaystyle \frac{\underline{V_{S}}}{\underline{V_{E}}}\simeq\frac{R}{R+R'}=2,1.10^{-3}$.
  Si on se limite aux premiers termes du développement en série de Fourier $\displaystyle n=1,3,5$, chacun terme vérifie la condition $\displaystyle f\ll\frac{1}{2\pi R'C}$ (facteur 2 un peu juste pour $\displaystyle n=5$…), et le signal triangulaire est transmis tel quel, avec une atténuation de $\displaystyle 2,1.10^{-3}$.
• $\displaystyle f_{b}=2\textrm{ kHz}$, ainsi que les harmoniques 3 et 5 correspondent au domaine étudié au 1), $\displaystyle 1,0.10^{2}\textrm{Hz}\ll f\ll48\textrm{ kHz}.$ Le circuit se comporte comme un dérivateur $\displaystyle \frac{\underline{V_{S}}}{\underline{V_{E}}}\simeq RjC\omega$ , ce qui justifie la forme créneau observée, dérivée du signal triangulaire.
  Le facteur multiplicatif $\displaystyle RC=3,3.10^{-6}$ est très faible (voir remarque plus haut), et justifie l’amplitude du signal de sortie.

Quand la pulsation passe de $\displaystyle \omega_{1}=$ 1,5.10$\displaystyle ^{4}$ rad.s$\displaystyle ^{-1}$ à $\displaystyle \omega_{2}=$ 4,0.10$\displaystyle ^{4}$ rad.s$\displaystyle ^{-1}$, l’atténuation doit être au moins de 12 dB (on passe de $\displaystyle \textrm{G}_{1}=$-3 dB à $\displaystyle \textrm{G}_{2}=$-15 dB).
Considérons une variation du gain de la forme $\displaystyle \textrm{G(dB)}=a\log\omega+b$, alors $\displaystyle a=\left(\textrm{G}_{1}-\textrm{G}_{2}\right)/\log\left(\omega_{1}/\omega_{2}\right)$ est la pente par décade. La valeur absolue de la pente du gain en dB dans le diagramme de Bode doit donc être supérieure à $\displaystyle \frac{12}{\log\left(4,0/1,5\right)}=28$$\displaystyle \textrm{ dB/décade}$.
Il ne peut donc s’agir d’un filtre d’ordre 1, dont la pente est de -20 dB par décade. En revanche un filtre d’ordre 2 peut convenir, avec une pente de -40 dB par décade.
Un exemple simple de passe-bas d’ordre 2 est un circuit série R, L, C, la tension de sortie étant prise aux bornes du condensateur. Alors, la fonction de transfert est de la forme normalisée $$\underline{H}=\frac{1}{1-x^{2}+jx/Q}$$
avec $\displaystyle x=\omega/\omega_{0},\omega_{0}=1/\sqrt{LC},$ et le facteur de qualité $\displaystyle Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$.
Pour éviter une amplification comme demandé, il faut éviter la présence de résonance, donc $\displaystyle Q\leq\frac{1}{\sqrt{2}}$.
En choisissant $\displaystyle \omega_{0}=\omega_{1}$ et $\displaystyle Q=\frac{1}{\sqrt{2}}$, la condition 1) est bien vérifiée.
La condition 2) devrait l’être également. On vérifie en calculant $\displaystyle \left|\underline{H}\left(x\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{2}+\left(x/Q\right)^{2}}}$ pour $\displaystyle x=\omega_{2}/\omega_{0}=4/1,5$ et $\displaystyle Q=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\displaystyle G=20\log\left|\underline{H}\left(\omega_{2}/\omega_{0}\right)\right|=-17\textrm{ dB}$. La condition 2) est donc vérifiée.

Gain en fonction de $\displaystyle \log(\omega/\omega_0)$ (en bleu les zones interdites par les contraintes imposées).