HighKholle

Electrocinétique, Electronique

Exercice 15 ⭐️⭐️ Association de 2 dipôles, Sup/L1

On considère le circuit formé de deux dipôles en série D1\displaystyle D_{1} et D2\displaystyle D_{2}. Ces deux dipôles sont réalisés en utilisant en tout trois composants : une résistance R\displaystyle R, une capacité C\displaystyle C et une bobine L\displaystyle L. Le circuit est alimenté par une tension e(t)\displaystyle e(t) ; la tension aux bornes de D2\displaystyle D_{2} est la tension de sortie s(t)\displaystyle s(t).

En sortie ouverte, et en alimentant le dipôle avec une tension continue e(t)=E0=15 V\displaystyle e(t)=E_{0}=15\textrm{ V}, on mesure en régime pemanent une intensité i(t)=i0=15 mA\displaystyle i(t)=i_{0}=15\textrm{ mA} traversant D1\displaystyle D_{1} et D2\displaystyle D_{2}.

L’étude en régime sinusoïdal montre que le dipôle est un filtre passe-bande de fréquence propre f0=1,15 kHz \displaystyle f_{0}=1,15\textrm{ kHz } et de bande passante à -3dB Δf=340 Hz.\displaystyle \Delta f=340\textrm{ Hz}.

  1. Montrer que les trois composants ne peuvent pas être en série.

  2. Déterminer la position des composants et les valeurs de R,L,C\displaystyle R,L,C.

  1. Un condensateur se comporte en basse fréquence (et donc en régime continu) comme un interrupteur ouvert, le courant le traversant étant nul. Si les trois composants étaient en série, le courant dans le circuit devrait donc être nul, ce qui est contraire à l’observation.

  2. En essayant les différentes possibilités (deux des trois composants sont en parallèle), et le comportement HF et BF des composants, un seul cas convient : D1\displaystyle D_{1} est la résistance et D2\displaystyle D_{2} est l’association en parallèle de la bobine et du condensateur.

En régime continu i=iR=iL=E/R\displaystyle i=i_{R}=i_{L}=E/R , ce qui donne R\displaystyle R.

En régime sinusoïdal, la fonction de transfert
H‾=s‾e‾=jLωR(1−LCω2)+jLω=11+jQ(x−1x),\displaystyle \begin{aligned}\underline{H}&=\frac{\underline{s}}{\underline{e}}\\&=\frac{jL\omega}{R(1-LC\omega^{2})+jL\omega}\\&=\frac{1}{1+jQ\left(x-\frac{1}{x}\right)},\end{aligned}
avec x=ω/ω0,ω0=1/LC,Q=RCL\displaystyle x=\omega/\omega_{0}, \omega_{0}=1/\sqrt{LC}, Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}.

D’où f0=12πLC\displaystyle f_{0}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} et Δf=f0Q=12πRC\displaystyle \Delta f=\frac{f_{0}}{Q}=\frac{1}{2\pi RC}.

Numériquement R=1,0.103 Ω,C=0,43 μF,L=44 mH\displaystyle R=1,0.10^{3}\:\Omega,C=0,43\:\mu\textrm{F}, L=44\textrm{ mH}.

Exercice 16 ⭐️⭐️ Tensions efficaces, Sup/L1

Un circuit électrique est constitué d’une inductance, d’une résistance et d’un condensateur en série avec un générateur de courant alternatif. Les tensions efficaces relevées par un multimètre aux bornes des composants sont UL=150 V,UR=200 V,UC=200 V\displaystyle \mathbb{}U_{L}=150\textrm{ V},\mathbb{}U_{R}=200\textrm{ V},U_{C}=200\textrm{ V}.

  1. Quelle est la tension efficace aux bornes de l’ensemble?

  2. Quel est le déphasage entre la tension et le courant?

  1. Aux bornes de l’ensemble, la tension efficace est :

Ueff=∣Z‾∣Ieff=R2+(Lω−1Cω)2Ieff=UR2+(UL−UC)2\displaystyle U_{eff}=\left|\underline{Z}\right|I_{eff}=\sqrt{R^{2}+\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)^{2}}I_{eff}=\sqrt{U_{R}^{2}+(U_{L}-U_{C})^{2}}. A.N. Ueff=206 V\displaystyle U_{eff}=\textrm{206 V}.

  1. Le déphasage est φ=arg⁡(Z‾)=arctan⁡(Lω−1CωR)\displaystyle \varphi=\arg\left(\underline{Z}\right)=\arctan\left(\frac{L\omega-\frac{1}{C\omega}}{R}\right) car la partie réelle de Z‾\displaystyle \underline{Z} est positive : φ=arctan⁡(UL−UCUR)\displaystyle \varphi=\arctan\left(\frac{U_{L}-U_{C}}{U_{R}}\right). A.N. φ=14°=0,24 rad\displaystyle \varphi=14\text{°}=0,24\textrm{ rad}.

Exercice 90 ⭐️⭐️⭐️ Chaîne de cellules RC, Spé/L2

D’après Centrale.
Une ligne infinie est constituée de cellules, associant chacune une résistance R\displaystyle R et un condensateur de capacité C\displaystyle C. Cette ligne est alimentée par un générateur idéal de tension sinusoïdale de f.é.m e(t)=U0cos⁡(ωt)\displaystyle e(t)=U_{0}\cos\left(\omega t\right). En régime sinusoïdal forcé (RSF), la tension aux bornes du nieˋme\displaystyle n^{i\grave{e}me} condensateur est un(t)=Uncos⁡(ωt+φn)\displaystyle u_{n}(t)=U_{n}\cos\left(\omega t+\varphi_{n}\right), de représentation complexe un‾(t)\displaystyle \underline{u_{n}}(t).

  1. Etablir la relation de récurrence liant les un‾(t)\displaystyle \underline{u_{n}}(t).

  2. On cherche une solution de la forme un‾=k‾nu0‾\displaystyle \underline{u_{n}}=\underline{k}^{n}\underline{u_{0}}.
    Montrer que c’est possible si k‾\displaystyle \underline{k} vérifie une condition à expliciter.

  3. Dans la suite, RCω≪1\displaystyle RC\omega\ll1 . Montrer que k‾≃1±(1+j)RCω2\displaystyle \underline{k}\simeq1\pm\left(1+j\right)\sqrt{\frac{RC\omega}{2}}
    au second ordre près en RCω\displaystyle \sqrt{RC\omega}.
    Interpréter le caractère complexe de k‾\displaystyle \underline{k} . Déterminer ∣k‾∣\displaystyle \left|\underline{k}\right| au même ordre d’approximation que k‾\displaystyle \underline{k}. Lever l’indétermination de signe sur k‾\displaystyle \underline{k}.
    .

  4. Comme RCω≪1\displaystyle RC\omega\ll1, ∣k‾∣\displaystyle \left|\underline{k}\right| est proche de l’unité. Montrer que l’amplitude Un\displaystyle U_{n} de un(t)\displaystyle u_{n}(t) présente une décroissance quasi exponentielle du type Un/U0=exp⁡(−n/n0)\displaystyle U_{n}/U_{0}=\exp\left(-n/n_{0}\right). Exprimer n0\displaystyle n_{0}.
    Combien de cellules faut-il pour avoir une atténuation de l’amplitude
    supérieure à 99% ?

  5. Les condensateurs sont repérés par leur position xn=na\displaystyle x_{n}=na où a\displaystyle a est la taille d’une cellule. La fonction de deux variables u(x,t)\displaystyle u(x,t) est définie telle que un(t)=u(na,t)=u(xn,t)\displaystyle u_{n}(t)=u(na,t)=u(x_{n},t). On suppose que la variation spatiale de la fonction u(x,t)\displaystyle u(x,t) est faible sur une échelle de distance de l’ordre de a\displaystyle a. Montrer que u(x,t)\displaystyle u(x,t) vérifie une équation différentielle de la forme
    ∂u∂t=1rc∂2u∂x2.\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{rc}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.

La fonction de deux variables u(x,t)\displaystyle u(x,t) est définie telle que un(t)=u(na,t)=u(xn,t)\displaystyle u_{n}(t)=u(na,t)=u(x_{n},t) 👉 Approximation des milieux continus.

  1. Soit in=Cdundt\displaystyle i_{n}=C\frac{du_{n}}{dt}. Avec la loi des noeuds un−1−unR+un−1−unR−in=0\displaystyle \frac{u_{n-1}-u_{n}}{R}+\frac{u_{n-1}-u_{n}}{R}-i_{n}=0,
    d’où
    un−1+un+1=2un+RCdundt.u_{n-1}+u_{n+1}=2u_{n}+RC\frac{du_{n}}{dt}.
    En RSF avec la représentation complexe : un−1‾+un+1‾=(2+jRCω)un‾\displaystyle \underline{u_{n-1}}+\underline{u_{n+1}}=\left(2+jRC\omega\right)\underline{u_{n}}.

  2. k‾n−1+k‾n+1=(2+jRCω)k‾n\displaystyle \underline{k}^{n-1}+\underline{k}^{n+1}=\left(2+jRC\omega\right)\underline{k}^{n},
    soit k‾2−(2+jRCω)k‾+1=0\displaystyle \underline{k}^{2}-\left(2+jRC\omega\right)\underline{k}+1=0.

  3. k‾=12[2+jRCω±(4(1+jRCω/2)2−4)]\displaystyle \underline{k}=\frac{1}{2}\left[2+jRC\omega\pm\sqrt{\left(4\left(1+jRC\omega/2\right)^{2}-4\right)}\right].
    Avec RCω≪1\displaystyle RC\omega\ll1, (1+jRCω/2)2≃1+jRCω\displaystyle \left(1+jRC\omega/2\right)^{2}\simeq1+jRC\omega,
    k‾≃1±(1+j)RCω2.\underline{k}\simeq1\pm\left(1+j\right)\sqrt{\frac{RC\omega}{2}}.
    k‾\displaystyle \underline{k} complexe décrit un déphasage entre deux tensions successives un\displaystyle u_{n} et un+1\displaystyle u_{n+1}.
    ∣k‾∣=[(1±RCω/2)2+RCω/2]1/2\displaystyle \left|\underline{k}\right|=\left[\left(1\pm\sqrt{RC\omega/2}\right)^{2}+RC\omega/2\right]^{1/2}.
    En ne gardant que les premiers termes du développement, ∣k‾∣=1±RCω/2.\left|\underline{k}\right|=1\pm\sqrt{RC\omega/2}.
    Il ne peut y avoir qu’atténuation car les composants en jeu sont des
    dipôles passifs, donc ∣k‾∣<1\displaystyle \left|\underline{k}\right|<1. Donc k‾=1−(1+j)RCω2\displaystyle \underline{k}=1-\left(1+j\right)\sqrt{\frac{RC\omega}{2}}.

  4. ∣k‾∣=1−RCω/2\displaystyle \left|\underline{k}\right|=1-\sqrt{RC\omega/2} , Un=U0(1−RCω/2)n\displaystyle U_{n}=U_{0}\left(1-\sqrt{RC\omega/2}\right)^{n}.
    Par identification avec Un=U0(exp⁡(−1n0))n\displaystyle U_{n}=U_{0}\left(\exp\left(-\frac{1}{n_{0}}\right)\right)^{n},
    −1n0=ln⁡(1−RCω/2)≃−RCω/2\displaystyle -\frac{1}{n_{0}}=\ln\left(1-\sqrt{RC\omega/2}\right)\simeq-\sqrt{RC\omega/2}, soit
    n0=2RCω.n_{0}=\sqrt{\frac{2}{RC\omega}}.
    Pour n≃3n0\displaystyle n\simeq3n_{0}, Un=5.10−3U0\displaystyle U_{n}=5.10^{-3}U_{0}.

  5. Il s’agit de l’aproximation des milieux continus :
    un+1=u((n+1)a,t)=u(na,t)+a∂u∂x(na,t)+a22∂2u∂x2(na,t).\displaystyle \begin{aligned}u_{n+1}&=u(\left(n+1\right)a,t)\\&=u(na,t)+a\frac{\partial u}{\partial x}(na,t)+\frac{a^{2}}{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}(na,t).\end{aligned}
    un−1=u((n−1)a,t)=u(na,t)−a∂u∂x(na,t)+a22∂2u∂x2(na,t).\displaystyle \begin{aligned}u_{n-1}&=u(\left(n-1\right)a,t)\\&=u(na,t)-a\frac{\partial u}{\partial x}(na,t)+\frac{a^{2}}{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}(na,t).\end{aligned}
    En remplaçant dans l’équation du 1), rc∂u∂t=∂2u∂x2,rc\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}, avec rc=RCa2\displaystyle rc=\frac{RC}{a^{2}} en m−2\displaystyle ^{-2}.s. On obtient ainsi une équation de diffusion. Une telle équation peut être ainsi simulée expérimentalement par une chaîne de cellules RC\displaystyle RC.

Exercice 107 ⭐️⭐️ Régime variable 1, Sup/L1

À t=0\displaystyle t=0, on ferme l’interrupteur (qui était jusqu’alors ouvert) du circuit représenté sur la figure, et dans lequel la fém E\displaystyle E est constante.

  1. Déterminer les courants i1(0),i2(0),i(0)\displaystyle i_{1}(0),i_{2}(0),i(0).

  2. Déterminer i1(∞),i2(∞),i(∞)\displaystyle i_{1}(\infty),i_{2}(\infty),i(\infty) , c’est-à-dire au bout d’un temps “très long”.

  3. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par i(t)\displaystyle i(t) et déterminer
    les expressions des courants en fonction du temps. Préciser ce que siginifie “très long” dans la question 2.

  4. Effectuer un bilan énergétique.

  1. Le courant dans une bobine est une fonction continue du temps :
    i(0+)=i(0−)=0\displaystyle i(0^{+})=i(0^{-})=0. D’où i1(0+)=i2(0+)=E/(R1+R2).i_{1}(0^{+})=i_{2}(0^{+})=E/\left(R_{1}+R_{2}\right).

  2. Lorsque le régime permanent est atteint, la bobine est équivalente
    à un fil. Les lois des mailles et des nœuds donnent
    {i1=i+i2E−R1i1=Ri=R2i2\displaystyle \begin{cases} i_{1}=i+i_{2}\\ E-R_{1}i_{1}=Ri=R_{2}i_{2} \end{cases}.
    D’où E−R1i(1+R/R2)=Ri\displaystyle E-R_{1}i\left(1+R/R_{2}\right)=Ri
    soit i=E/(R+R1+RR1/R2)i=E/\left(R+R_{1}+RR_{1}/R_{2}\right)i1=E1+R/R2R+R1+RR1/R2,i_{1}=E\frac{1+R/R_{2}}{R+R_{1}+RR_{1}/R_{2}},i2=E1+R/R2R2+R1+R2R1/Ri_{2}=E\frac{1+R/R_{2}}{R_{2}+R_{1}+R_{2}R_{1}/R}

  3. En régime variable, avec la loi des noeuds et la loi des mailles,
    {i1=i+i2E−R1i1=Ri+Ldi/dt=R2i2.\displaystyle \begin{cases} i_{1}=i+i_{2}\\ E-R_{1}i_{1}=Ri+Ldi/dt=R_{2}i_{2}. \end{cases}
    D’où
    E/R1−(Ri+Ldi/dt)/R1=i+(Ri+Ldi/dt)/R2.\displaystyle E/R_{1}-\left(Ri+Ldi/dt\right)/R_{1}=i+\left(Ri+Ldi/dt\right)/R_{2}.
    soit
    LR1+R2R1R2didt+(RR1+R2R1R2+1)i=ER1.\displaystyle L\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}\frac{di}{dt}+(R\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}+1)i=\frac{E}{R_{1}}.
    La solution de cette équation est i(t)=i∞+(i(0)−i∞)exp⁡(−t/τ),i(t)=i_{\infty}+\left(i(0)-i_{\infty}\right)\exp\left(-t/\tau\right),avec τ=LR+R1R2R1+R2.\displaystyle \tau=\frac{L}{R+\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}.
    Ainsi, le régime permanent de la question 2) est atteint pour des dates t≫τ\displaystyle t\gg\tau.

  4. Pour établir le bilan énergétique, faisons apparaître la puissance fournie par le générateur :
    Ei1=R1i12+(Ri+Ldi/dt)(i+i2)=R1i12+Ri2+ddt(12Li2)+R2i22.\displaystyle \begin{aligned}Ei_{1}&=R_{1}i_{1}^{2}+\left(Ri+Ldi/dt\right)\left(i+i_{2}\right)\\&=R_{1}i_{1}^{2}+Ri^{2}+\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}Li^{2})+R_{2}i_{2}^{2}.\end{aligned}
    L’énergie fournie par le générateur est en partie dissipée par effet Joule, en partiestockée sous forme d’énergie magnétique dans la bobine.