La boîte à outils pour s’attaquer aux exercices.
1. Equations de Maxwell div E → = ρ ε 0 rot → E → = − ∂ B → ∂ t div B → = 0 rot → B → = μ 0 ( j → + ε 0 ∂ E → ∂ t ) \displaystyle \begin{aligned} \textrm{div}\overrightarrow{E}&=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} &\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{E}&=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\\ \textrm{div}\overrightarrow{B}&=0 &\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{B}&=\mu_{0}\left(\overrightarrow{j}+\varepsilon_{0}\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\end{aligned} div E div B = ε 0 ρ = 0 rot E rot B = − ∂ t ∂ B = μ 0 ( j + ε 0 ∂ t ∂ E )
Formulation intégrale en utilisant les relations de Green-Ostrogradski et Stockes-Ostrogradski.
Conservation de la charge :div j → + ∂ ρ ∂ t = 0. \textrm{div}\overrightarrow{j}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0. div j + ∂ t ∂ ρ = 0 .
Aspect énergétique Équation de Poynting (ou conservation de l’énergie) ∂ u e m ∂ t + div Π → + j → . E → = 0. \frac{\partial u_{em}}{\partial t}+\textrm{div}\overrightarrow{\Pi}+\overrightarrow{j}.\overrightarrow{E}=0. ∂ t ∂ u e m + div Π + j . E = 0 . u e m = 1 2 ε 0 E 2 + B 2 2 μ 0 \displaystyle u_{em}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}+\frac{B^{2}}{2\mu_{0}} u e m = 2 1 ε 0 E 2 + 2 μ 0 B 2 − 3 \displaystyle ^{-3} − 3
Π → = E → ∧ B → μ 0 \displaystyle \overrightarrow{\varPi}=\frac{\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{B}}{\mu_{0}} Π = μ 0 E ∧ B − 2 ) \displaystyle ^{-2}) − 2 )
2. Régime permanent Principe de Curie Les éléments de symétrie des causes se retrouvent dans les effets produits (force électrique et magnétique) : E → \displaystyle \overrightarrow{E} E B → \displaystyle \overrightarrow{B} B ∧ \displaystyle \land ∧
Propriétés des champs Electrostatique ‾ Magn e ˊ tostatique ‾ div ( E → ) = ρ ε 0 div ( B → ) = 0 \oiint E → . d S → = Q i n t ε 0 Th. de Gauss \oiint B → . d S → = 0 , rot → ( E → ) = 0 → rot → ( B → ) = μ 0 j → ∮ C E → . d l → = 0 ∮ C B → . d l → = μ 0 I e n l Th. d’Amp e ˋ re Energie E e ˊ l = ∭ e s p a c e 1 2 ε 0 E 2 . d τ Energie E m a g = ∭ e s p a c e 1 2 μ 0 B 2 . d τ \displaystyle \begin{array}{cc}
\underline{\textrm{Electrostatique}} & \underline{\textrm{Magnétostatique}}\\
\textrm{div}(\overrightarrow{E})=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} & \textrm{div}(\overrightarrow{B})=0\\
\oiint\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dS}=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_{0}}\textrm{ Th. de Gauss} & \oiint\overrightarrow{B}.\overrightarrow{dS}=0,\\
\overrightarrow{\textrm{rot}}(\overrightarrow{E})=\overrightarrow{0} & \overrightarrow{\textrm{rot}}(\overrightarrow{B})=\mu_{0}\overrightarrow{j}\\
\oint_{C}\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dl}=0 & \oint_{C}\overrightarrow{B}.\overrightarrow{dl}=\mu_{0}I_{enl}\textrm{ Th. d'Ampère}\\
\textrm{Energie }\mathit{E_{\acute{e}l}}=\iiint_{espace}\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}.d\tau & \textrm{Energie }E_{mag}=\iiint_{espace}\frac{1}{2\mu_{0}}B^{2}.d\tau\\
\end{array} Electrostatique div ( E ) = ε 0 ρ ∬ E . d S = ε 0 Q i n t Th. de Gauss rot ( E ) = 0 ∮ C E . d l = 0 Energie E e ˊ l = ∭ e s p a c e 2 1 ε 0 E 2 . d τ Magn e ˊ tostatique div ( B ) = 0 ∬ B . d S = 0 , rot ( B ) = μ 0 j ∮ C B . d l = μ 0 I e n l Th. d’Amp e ˋ re Energie E m a g = ∭ e s p a c e 2 μ 0 1 B 2 . d τ
rot → ( E → ) = 0 → ⇔ \displaystyle \overrightarrow{\textrm{rot}}(\overrightarrow{E})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow rot ( E ) = 0 ⇔ E → = − grad → ( V ) \displaystyle \overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\textrm{grad}}(V) E = − grad ( V ) E → \displaystyle \overrightarrow{E} E Les lignes de champ de B → \displaystyle \overrightarrow{B} B Dipôles Dip o ˆ le e ˊ lectrostatique ‾ Dip o ˆ le e ˊ lectrostatique ‾ Moment dipolaire p → = q A − A + → M → = i S → ou p → = ∭ ρ ( P ) O P → d τ ou M → = 1 2 ∭ O P → ∧ j → d τ Champ cr e ˊ e ˊ { E r = 1 4 π ε 0 2 p cos ( θ ) r 3 E θ = 1 4 π ε 0 p sin ( θ ) r 3 { B r = μ 0 4 π 2 M cos ( θ ) r 3 B θ = μ 0 4 π 2 M sin ( θ ) r 3 E → = μ 0 4 π r 3 ( 3 ( p → . u r → ) u r → − p → ) B → = μ 0 4 π r 3 ( 3 ( M → . u r → ) u r → − M → ) Action subie couple C → = p → ∧ E 0 → couple C → = M → ∧ B 0 → Energie potentielle E p = − p → . E 0 → E p = − M → . B 0 → \displaystyle \begin{array}{ccc}
& \underline{\textrm{Dipôle électrostatique}} & \underline{\textrm{Dipôle électrostatique}}\\
\textrm{Moment dipolaire} & \overrightarrow{p}=q\overrightarrow{A_{-}A_{+}} & \overrightarrow{M}=i\overrightarrow{S}\\
& \textrm{ou}\overrightarrow{p}=\iiint\rho(P)\overrightarrow{OP}d\tau & \textrm{ou }\overrightarrow{M}=\frac{1}{2}\iiint\overrightarrow{OP}\wedge\overrightarrow{j}d\tau\\
\textrm{Champ créé} & \begin{cases}
E_{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{2p\cos(\theta)}{r^{3}}\\
E_{\theta}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p\sin(\theta)}{r^{3}}
\end{cases} & \begin{cases}
B_{r}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{2M\cos(\theta)}{r^{3}}\\
B_{\theta}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{2M\sin(\theta)}{r^{3}}
\end{cases}\\
& \overrightarrow{E}=\frac{\mu_{0}}{4\pi r^{3}}(3(\overrightarrow{p}.\overrightarrow{u_{r}})\overrightarrow{u_{r}}-\overrightarrow{p}) & \overrightarrow{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi r^{3}}(3(\overrightarrow{M}.\overrightarrow{u_{r}})\overrightarrow{u_{r}}-\overrightarrow{M})\\
\textrm{Action subie} & \text{couple \ }\overrightarrow{C}=\overrightarrow{p}\wedge\overrightarrow{E_{0}} & \text{couple \ }\overrightarrow{C}=\overrightarrow{M}\wedge\overrightarrow{B_{0}}\\
\textrm{Energie potentielle} & E_{p}=-\overrightarrow{p}.\overrightarrow{E_{0}} & E_{p}=-\overrightarrow{M}.\overrightarrow{B_{0}}
\end{array} Moment dipolaire Champ cr e ˊ e ˊ Action subie Energie potentielle Dip o ˆ le e ˊ lectrostatique p = q A − A + ou p = ∭ ρ ( P ) O P d τ { E r = 4 π ε 0 1 r 3 2 p c o s ( θ ) E θ = 4 π ε 0 1 r 3 p s i n ( θ ) E = 4 π r 3 μ 0 ( 3 ( p . u r ) u r − p ) couple C = p ∧ E 0 E p = − p . E 0 Dip o ˆ le e ˊ lectrostatique M = i S ou M = 2 1 ∭ O P ∧ j d τ { B r = 4 π μ 0 r 3 2 M c o s ( θ ) B θ = 4 π μ 0 r 3 2 M s i n ( θ ) B = 4 π r 3 μ 0 ( 3 ( M . u r ) u r − M ) couple C = M ∧ B 0 E p = − M . B 0
Analogie électrostatique-gravitation 3. ARQS, induction ARQS “magnétique” : temps de propagation ≪ \displaystyle \ll ≪
Loi de Faraday e = − d ϕ d t \displaystyle e=-\frac{d\phi}{dt} e = − d t d ϕ
Autoinduction e = − d ϕ d t = − d ϕ e x t d t − L d i d t \displaystyle e=-\frac{d\phi}{dt}=-\frac{d\phi_{ext}}{dt}-L\frac{di}{dt} e = − d t d ϕ = − d t d ϕ e x t − L d t d i
Cas de Neumann, cas de Lorentz. Dans le cas de Lorentz, bilan auxiliaire de puissance : e i + P Laplace = 0 \displaystyle ei+P_{\textrm{Laplace}}=0 e i + P Laplace = 0
4. Equation de propagation des champs dans le vide vérifiée par E → \displaystyle \overrightarrow{E} E B → \displaystyle \overrightarrow{B} B Δ → ( E → ) − 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t 2 = 0 → . \overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{E}\right)-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\overrightarrow{E}}{\partial t^{2}}=\overrightarrow{0}. Δ ( E ) − c 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 E = 0 .
Propagation dans les milieux matériels : voir “ondes”