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Caractéristiques de la diffusion -Transport d’une quantité physique dans un milieu matériel, sans mouvement macroscopique du milieu.
• Echelle mésocopique, équilibre thermodynamique local.
Diffusion de particules Equation de diffusion • Densité particulaire n \displaystyle n n ϕ \displaystyle \phi ϕ j P → \displaystyle \overrightarrow{j_{P}} j P ϕ = ∬ S j P → . d 2 S → \displaystyle \phi=\iint_{S}\overrightarrow{j_{P}}.\overrightarrow{d^{2}S} ϕ = ∬ S j P . d 2 S
• Loi de Fick
j P → = − D grad → ( n ) \displaystyle \overrightarrow{j_{P}}=-D\overrightarrow{\textrm{grad}}(n) j P = − D grad ( n ) D p \displaystyle D_{p} D p 2 \displaystyle ^{2} 2 − 1 \displaystyle ^{-1} − 1
• Bilan de particules ∂ n ∂ t = − div ( j P → ) \displaystyle \frac{\partial n}{\partial t}=-\textrm{div}(\overrightarrow{j_{P}}) ∂ t ∂ n = − div ( j P ) σ \displaystyle \sigma σ − 3 \displaystyle ^{-3} − 3 − 1 \displaystyle ^{-1} − 1
∂ n ∂ t = σ v − div ( j P → ) . \displaystyle \frac{\partial n}{\partial t}=\sigma_{v}-\textrm{div}(\overrightarrow{j_{P}}). ∂ t ∂ n = σ v − div ( j P ) .
• Equation de diffusion :
∂ n ∂ t − D P Δ n = 0. \frac{\partial n}{\partial t}-D_{P}\Delta n=0. ∂ t ∂ n − D P Δ n = 0 .
En cas de source: ∂ n ∂ t − D P Δ n = σ . \displaystyle \frac{\partial n}{\partial t}-D_{P}\Delta n=\sigma. ∂ t ∂ n − D P Δ n = σ .
Diffusion thermique Modes de transfert thermique Rayonnement, convection, diffusion (domine dans les solides opaques).
Equation de diffusion • Puissance (ou flux) thermique ϕ \displaystyle \phi ϕ j t h → \displaystyle \overrightarrow{j_{th}} j t h ϕ = ∬ S j t h → . d 2 S → \displaystyle \phi=\iint_{S}\overrightarrow{j_{th}}.\overrightarrow{d^{2}S} ϕ = ∬ S j t h . d 2 S
• Loi de Fourier j t h → = − λ grad → ( T ) \displaystyle \overrightarrow{j_{th}}=-\lambda\overrightarrow{\textrm{grad}}(T) j t h = − λ grad ( T )
Conductivité thermique λ \displaystyle \lambda λ − 1 \displaystyle ^{-1} − 1 − 1 \displaystyle ^{-1} − 1
• Bilan d’énergie, premier principe :ρ c ∂ T ∂ t = − div ( j t h → ) \displaystyle \rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\textrm{div}(\overrightarrow{j_{th}}) ρ c ∂ t ∂ T = − div ( j t h )
En cas de source p \displaystyle p p − 3 \displaystyle ^{-3} − 3 ρ c ∂ T ∂ t = p v − div ( j t h → ) \displaystyle \rho c\frac{\partial T}{\partial t}=p_{v}-\textrm{div}(\overrightarrow{j_{th}}) ρ c ∂ t ∂ T = p v − div ( j t h )
• Equation de diffusion :
∂ T ∂ t − D T Δ T = 0 avec D T = λ ρ c \frac{\partial T}{\partial t}-D_{T}\Delta T=0\textrm{ avec }D_{T}=\frac{\lambda}{\rho c} ∂ t ∂ T − D T Δ T = 0 avec D T = ρ c λ
D T \displaystyle D_{T} D T 2 \displaystyle ^{2} 2 − 1 \displaystyle ^{-1} − 1
En cas de source : ∂ T ∂ t − D T Δ T = p ρ c \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}-D_{T}\Delta T=\frac{p}{\rho c} ∂ t ∂ T − D T Δ T = ρ c p
Conditions aux limites • Contact entre deux solides : continuité de T, continuité du flux thermique.
• Contact fluide-solide : transport conducto-convectif, loi de Newton.
Régime stationnaire ou quasi-stationnaire Résistance thermique, analogie électrocinétique.
Propriétés de l’équation de diffusion Linéarité (théorème de superposition), irréversibilité, échelles caractéristiques : D ∼ L 2 τ . D\sim\frac{L^{2}}{\tau}. D ∼ τ L 2 .