(Amicalement transmis et rédigé par Killian Le Milbeau 🙏, CPGE Chateaubriand)

1. Soit $\displaystyle u\in{E}$. Alors u est continue sur $\displaystyle [0,1]$. Or l’image d’une fonction continue par un segment est un segment. Donc, $\displaystyle u([0,1])=[a,b]$ où $\displaystyle 0\leq{a}\leq{b}\leq{1}$.
   Raisonnons par l’absurde. Supposons que $\displaystyle a>0$ ou $\displaystyle b<1$. On sait que $\displaystyle u$ conserve la mesure, donc
   $$\forall{\varphi}\in{E},\int_{[0,1]}(\varphi\circ u)(t)dt=\int_{[0,1]}\varphi(t)dt.$$
   Prenon une telle fonction $\displaystyle \varphi$, que l’on définit comme nulle sur $\displaystyle [a,b]$ et strictement positive sur $\displaystyle [0,a[\cup]b,1]$. Alors :
   $$(\varphi\circ u)([0,1])=\varphi([a,b])=\{0\}.$$ D’où
   $$\int_{[0,1]}(\varphi\circ u)(t)dt=0 \neq \int_{[0,1]}\varphi(t)dt.$$ car $$\int_{[0,1]}\varphi(t)dt=\int_{[0,a[}\varphi(t)dt+\int_{]b,1]}\varphi(t)dt>0.$$ Cela contredit le fait que $\displaystyle u$ conserve la mesure. Ainsi $\displaystyle a=0$ et $\displaystyle b=1$.
   Et donc, $\displaystyle u([0,1])=[0,1]$. Autrement dit, $\displaystyle u$ est surjective.

2. Soit $\displaystyle u\in{E}$ une telle fonction. Comme $\displaystyle u$ conserve la mesure :
   $$\forall{\varphi}\in{E},\int_{[0,1]}(\varphi\circ u)(t)dt=\int_{[0,1]}\varphi(t)dt.$$ Cette égalité est en particulier vraie pour une fonction $\displaystyle \varphi\in{E}$ à support compact et telle que $\displaystyle \int_{[0,1]}\varphi(t)dt=1$. Prenons donc une telle fonction $\displaystyle \varphi$.
   $$\int_{[0,1]}(\varphi\circ u)(t)dt=1.$$
   Traitons maintenant cette dernière intégrale, notre but étant de faire apparaitre la somme demandée. La fonction $\displaystyle u$ est continue sur $\displaystyle [0,1]$ et $\displaystyle \cal{C}^1$ par morceaux.
   Donc, on peut diviser le segment $\displaystyle [0,1]$ en segments $\displaystyle [a_i,a_{i+1}]$, sur lesquels $\displaystyle u'$ est continue, de signe constant et ne s’annule pas.
   Ainsi, par le relation de Chasles :
   $$\int_{[0,1]}(\varphi\circ u)(t)dt=\sum_{i}\int_{[a_i,a_{i+1}]}(\varphi\circ u)(t)dt=1.$$

Pour tout $\displaystyle 0 \le i \le n-1$, la fonction $\displaystyle u$ établit une bijection (croissante ou décroissante) entre l’intervalle $\displaystyle ]a_i, a_{i+1}[$ et un autre intervalle noté $\displaystyle ]b_i,b_{i+1}[$. De plus, d’après la première question, chaque $\displaystyle x \in [0,1]$ appartient au moins à un intervalle $\displaystyle ]b_i,b_{i+1}[$.

On va à présent s’occuper de l’intégrale. Sur chaque intervalle $\displaystyle ]a_i,a_{i+1}[$ on effectue une changement de variable en $\displaystyle x=u(t)$. Ce qui nous donne $\displaystyle dx=u'(t) dt$ et de nouvelles bornes $\displaystyle b_i$ et $\displaystyle b_{i+1}$. Ainsi :
$$\begin{aligned} \int_{a_i}^{a_{i+1}}(\varphi\circ u)(t)dt&=\int_{b_i}^{b_{i+1}} \frac{\varphi(x)}{|(u' \circ u^{-1})(x)|}dx \\ &= \int_0^1 \frac{\varphi(x)}{|(u'\circ u^{-1})(x)|} 1_{x \in ]b_i,b_{i+1}[} dx. \end{aligned}$$

Par la relation de Chasles :
$$\begin{aligned} \int_0^1 (\varphi \circ u)(t) dt &= \sum_{i=0}^{n-1} \int_{a_i}^{a_{i+1}} (\varphi \circ u)(t) dt\\ &= \sum_{i=0}^{n-1}\int_0^1 \frac{\varphi(x)}{|(u' \circ u^{-1})(x)|} 1_{x \in ]b_i,b_{i+1}[} dx\\ &= \int_0^1 \frac{\varphi(x)}{|(u' \circ u^{-1})(x)|} \left( \sum_{i=0}^{n-1} 1_{x \in ]b_i,b_{i+1}[} \right) dx. \end{aligned}$$

On note $$N(x) = \frac{1}{|(u' \circ u^{-1})(x)|} \left( \sum_{i=0}^{n-1} 1_{x \in ]b_i,b_{i+1}[} \right).$$ On a $$\begin{aligned} N(u(y)) &= \frac{1}{|u'(y)|} {\rm Card}\left\{0 \le i \le n-1 : u(y) \in ]b_i,b_{i+1}[\right\}\\ &= \frac{1}{|u'(y)|} {\rm Card}\left\{x \in [0,1]: u(y) = x\right\} .\end{aligned}$$
Pour la dernière égalité on a utilisé le fait que $\displaystyle u$ est surjective sur chacun des intervalles $\displaystyle ]a_i,a_{i+1}[.$

Pour répondre à la question (et sachant que $\displaystyle u$ est surjective de $\displaystyle [0,1]$ dans $\displaystyle [0,1]$), il suffit donc de montrer que la fonction $\displaystyle N$ est identiquement égale à $\displaystyle 1$. Or on sait que :
$$\forall \varphi \in E \ , \ \int_0^1 \varphi(t) dt = \int_0^1 \varphi(x) N(x) dx.$$

On peut se “convaincre” (sûrement une preuve rigoureuse serait délicate) que la fonction $\displaystyle N$ est continue par morceaux sur $\displaystyle [0,1]$. Pour montrer que $\displaystyle N = 1$, il suffit alors de montrer que $\displaystyle \int_0^1 (N(x)-1)^2 dx = 0$. En développant le carré, on voit qu’il suffit de montrer que $$\int_0^1 N(x)^2 dx - 2 \int_0^1 N(x) dx +1 = 0.$$ En choisissant $\displaystyle \phi(x) = 1-N(x)$, on obtient le résultat voulu !

La fonction $\displaystyle \varphi$ n’est pas forcément continue me direz-vous… J’ai trop faim pour rédiger les détails…

3. ça sent Jensen. On va y réfléchir.