Le dernier chiffre d’un nombre est son reste modulo $\displaystyle 10$. Donc calculons les puissances successives de $\displaystyle 7$ modulo $\displaystyle 10$. On a $\displaystyle 7=-3 [10]$, $\displaystyle 7^2=9=-1 [10]$, $\displaystyle 7^4=1 [10]$, et donc il ya une périodicité de $\displaystyle 4$. Il suffit de trouver le reste $\displaystyle 7^7$ modulo $\displaystyle 4$. On a $\displaystyle 7=-1 [4]$ et $\displaystyle 7^7=(-1)^7=-1=3[4]$, d’où $\displaystyle 7^7=4k+3$. Ainsi $\displaystyle 7^{7^7}=7^{4k+3}=7^3[10]$, et donc $\displaystyle 7^{7^7}=7^27=-7=3[10]$. Le dernier chiffre cherché est donc $\displaystyle 3$.