Interversion

Tout le programme de MP, PSI, PC en Analyse tourne autour des interversions :
$\displaystyle \lim\int =\int\lim$, $\displaystyle \int\sum=\sum\int$ et $\displaystyle \lim\sum=\sum\lim$.

Limite-Intégrale

1. Cas d’un segment $\displaystyle [a,b]$ (Convergence uniforme) : Si $\displaystyle (f_n)$ CVU sur $\displaystyle [a,b]$, alors $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx =\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x)dx$.
2. Cas d’un intervalle quelconque $\displaystyle I$ (Convergence dominée) :

Si $\displaystyle (f_n)$ CVS sur $\displaystyle I$ et pour tout $\displaystyle n$, $\displaystyle |f_n(x)|\le|g(x)|$ sur $\displaystyle I$ avec $\displaystyle \int_I|g(x)|dx<\infty$,
alors $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx =\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x)dx$.

Intégrale-Somme

Méthode 1 (1er réflexe)

1. Convergence normale sur $\displaystyle [a,b]$ : Si $\displaystyle \sum\|u_n\|_\infty<\infty$, alors $\displaystyle \int_a^b\sum_{n\ge0} u_n(x)dx=\sum_{n\ge0}\int_a^b u_n(x)dx$.
2. Intégration terme à terme sur $\displaystyle I$ quelconque : Si $\displaystyle \sum\int_I|u_n|dx<\infty$, alors $\displaystyle \int_I\sum_{n\ge0} u_n(x)dx=\sum_{n\ge0}\int_I u_n(x)dx$.

Méthode 2 (Si Méthode 1 ne marche pas)

1. Si la CVN (qui implique la CVU) n’a pas lieu, on montre que la série $\displaystyle \sum u_n$ CVU, i.e. que la suite des sommes partielles CVU. Alors : $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_a^b \sum_{k=0}^n u_k(x)dx =\int_a^b\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n u_k(x)dx=\int_a^b \sum_{k=0}^\infty u_k(x)dx$. Comme $\displaystyle \int_a^b \sum_{k=0}^n =\sum_{k=0}^n\int_a^b$ (c’est une somme finie), on en déduit que $\displaystyle \sum_{k=0}^n\int_a^b$ a une limite et donc que $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty\int_a^b u_k(x)dx=\int_a^b \sum_{k=0}^\infty u_k(x)dx$.
   Cas typique : Série de fonctions alternées.

2. Si $\displaystyle \sum\int_I|u_n|dx=\infty$, on ne peut pas appliquer le thm d’intégration terme à terme. On revient alors aux sommes partielles et on montre que $\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k(x)$ CVS vers une fonction intégrable sur $\displaystyle I$ et est dominée par une fonction intégrable, i.e. pour tout $\displaystyle n$, $\displaystyle \left|\sum_{k=0}^n u_k(x)\right|\le S(x)$ avec $\displaystyle \int_IS(x)dx<\infty$. Alors on peut appliquer le thm de CV dominée et c’est la même chanson que juste avant :
   $$\begin{aligned} \int_I \sum_{k=0}^\infty u_k(x)dx & = \int_I\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n u_k(x)dx\\ & = \lim_{n\to\infty}\int_I \sum_{k=0}^n u_k(x)dx \\ & = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\int_I u_k(x)dx \\ & = \sum_{k=0}^\infty\int_I u_k(x)dx. \\ \end{aligned}$$ Cas typique : Séries géométriques où on peut facilement faire la domination.

Limite-Somme

Si $\displaystyle \sum u_n(x)$ CVU sur $\displaystyle [a,b[$ ($\displaystyle b$ fini ou infini) et que $\displaystyle \lim_{x\to b} u_n(x)$ existe alors $\displaystyle \lim_{x\to b}\sum_{n\ge0} u_n(x)=\sum_{n\ge0} \lim_{x\to b} u_n(x)$.

Remarque :

1. Les hypothèses “continues par morceaux” dans les gros théorèmes de convergence dominée et d’ITT sont ad-hoc pour les prépas. Il faut les citer pour jouer le jeu mais passer très vite pour se concentrer sur l’important : CVS, intégralité, domination.
2. S’il faut établir la continuité d’une intégrale à paramètre ou d’une somme, alors bien sûr les hypothèses de continuité sont très importantes.

Exercices associés

1. Soit $\displaystyle a>0$. Montrer que $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{1+x^a}=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{1+an}$. Lim quand $\displaystyle a\to0$ ? (Série géométrique, Domination somme partielle, non CVU sur $\displaystyle [0,1]$)
2. Soit $\displaystyle a,b>0$. Montrer que $\displaystyle \int_0^\infty \frac{xe^{-ax}}{1-e^{-bx}}dx=\sum_{n\ge0}\frac{1}{(a+bn)^2}$ (Série géométrique, ITT).
3. Soit $\displaystyle \theta \neq 0 \mod 2\pi$. Etablir : $\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}x}dx=\sum_{n>0}\frac{e^{in\theta}}{n}$ (Série géométrique, Domination somme partielle).