Ker & Im

Rappel : Toujours commencer par ce qui est simple.

Pour commencer à étudier un endomorphisme $\displaystyle u$, il est naturel de regarder d’abord les sous-espaces (stables) les plus simples : $\displaystyle {\rm Ker}(u)$ et $\displaystyle {\rm Im}(u)$ ! Soit $\displaystyle E=\mathbb R^n$ et $\displaystyle u\in\mathcal L(E)$. De deux choses l’une,

1. $\displaystyle {\rm Ker}(u) \cap {\rm Im}(u) = \{0\}$ et alors par le théorème du rang $\displaystyle E={\rm Ker}(u) \oplus {\rm Im}(u)$.
2. $\displaystyle {\rm Ker}(u) \cap {\rm Im}(u) \neq \{0\}$.

Cas 1.

Voici deux propositions très classiques :
Proposition 1 — Les égalités suivantes sont équivalentes :

• (i) $\displaystyle {\rm Im\ }(u^2) ={\rm Im\ }(u)$
• (ii) $\displaystyle {\rm Ker\ }(u^2) ={\rm Ker\ }(u)$
• (iii) $\displaystyle E={\rm Ker}(u) \oplus {\rm Im}(u)$.

Proposition 2 — Soit $\displaystyle P$ un polynôme annulateur de $\displaystyle u$ tel que $\displaystyle P(0)=0$ et $\displaystyle P'(0)\neq0$. Alors $\displaystyle E={\rm Ker}(u) \oplus {\rm Im}(u)$.

Sur le cas 2.

Tout peut arriver ! On remarquera juste que si $\displaystyle {\rm Im}(u) \subset {\rm Ker}(u)$ alors $\displaystyle u^2=0$ i.e. $\displaystyle u$ est nilpotente d’indice $\displaystyle 2$.

Exercices associés

1. Montrer que si $\displaystyle P$ un polynôme annulateur de $\displaystyle u$ tel que $\displaystyle P(0)=0$ et $\displaystyle P'(0)\neq0$, alors $\displaystyle E={\rm Ker}(u) \oplus {\rm Im}(u)$. Réciproque vraie ?
2. Trouver tous les $\displaystyle M\in M_3(\R)$ telles que $\displaystyle M^2=0$. (Ecrire $\displaystyle M$ dans une bonne base, heu… avec Im et Ker ? 😃 )
3. Montrer les équivalences : (i) $\displaystyle A$ appartient à un groupe multiplicatif de $\displaystyle M_n(\R)$, (ii) $\displaystyle {\rm rg}(A^2)={\rm rg}(A)$, (iii) $\displaystyle E={\rm Ker}(u) \oplus {\rm Im}(u)$. (Partant de (i), on a un neutre $\displaystyle N$ i.e. $\displaystyle AN=NA=A$ et on peut montrer que tout le monde dans le groupe a le même rang que $\displaystyle N$ ; d’où $\displaystyle {\rm rg}(A^2)={\rm rg}(A)$ et donc $\displaystyle {\rm Im\ }(A^2) ={\rm Im\ }(A)$ et on déroule !)
4. Soit $\displaystyle u$ un endomorphisme de $\displaystyle \R^n$ tel que pour tout $\displaystyle x$, $\displaystyle \|u(x)\|\le\|x\|$. Montrer que $\displaystyle E={\rm Ker}(u-id) \oplus {\rm Im}(u-id)$. (Toujours la même chanson, soit $\displaystyle x\in{\rm Ker}(u-id) \cap {\rm Im}(u-id)$. Donc $\displaystyle x=u(y)-y$, $\displaystyle u(y)=y+x$ et $\displaystyle u^2(y)=y+2x$ car $\displaystyle u(x)=x$, etc. et on passe à la limite !)
5. Soit $\displaystyle u\in\mathcal L(\R^n)$. CNS sur $\displaystyle u$ pour qu’il existe $\displaystyle v\in\mathcal L(\R^n)$ tel que $\displaystyle u\circ v=0$ et $\displaystyle u+v\in GL_n(\R)$. (En regardant l’Im et le Ker, on arrive à $\displaystyle E={\rm Ker}(u) \oplus {\rm Im}(u)$. Pour la réciproque, on va naturellement considérer le projecteur sur $\displaystyle {\rm Ker}(u)$ parallèlement à $\displaystyle {\rm Im}(u)$)

Matrice de rang 1

Rappel sur l’idée générale de réduction

1. Trouver des bases dans lesquelles la matrice a une forme simple, par exemple : avoir beaucoup de zéros, être diagonale, etc.
2. Considérer des bases de sous-ev remarquables : $\displaystyle {\rm Ker}(u)$, $\displaystyle {\rm Im}(u)$, s-ev propres, s-ev caractéristiques, etc.

Application à une matrice de rang 1

Soit $\displaystyle M\in M_n(\mathbb R)$ de rang $\displaystyle 1$ avec $\displaystyle n\ge2$, qu’on identifie avec $\displaystyle u\in\mathcal L(\R^n)$.
Alors d’après le théorème du rang :

• $\displaystyle {\rm dim\ Ker}(u)=n-1$, et on pose $\displaystyle {\rm Ker}(u)={\rm Vect}(e_2,\cdots,e_n)$
• on pense alors à regarder l’image : $\displaystyle {\rm Im}(u)={\rm Vect}(\tilde e)$ car $\displaystyle {\rm rg}(u)=1$.

De deux choses l’une,

• Cas 1 : $\displaystyle \tilde e\in{\rm Ker}(u)$, et pour former une base de $\displaystyle \mathbb R^n$, il est naturel de prendre $\displaystyle e_1\notin{\rm Ker}(u)$, $\displaystyle e_2=\tilde e$ , $\displaystyle e_3, \cdots, e_n.$

La matrice de $\displaystyle u$ dans cette base est alors $\displaystyle \left( \begin{matrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \alpha & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{matrix} \right)$, avec $\displaystyle \alpha \neq 0$. On voit que $\displaystyle u$ est nilpotente d’indice $\displaystyle 2$.

• Cas 2 : $\displaystyle \tilde e\notin{\rm Ker}(u)$, et pour former une base de $\displaystyle \mathbb R^n$, il est naturel de prendre $\displaystyle e_1=\tilde e$, $\displaystyle e_2$, $\displaystyle e_3, \cdots, e_n.$

La matrice de $\displaystyle u$ dans cette base est alors $\displaystyle \left( \begin{matrix} \lambda & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{matrix} \right)$, avec $\displaystyle \lambda\neq 0$ car $\displaystyle \tilde e\notin{\rm Ker}(u)$. Alors $\displaystyle u$ est diagonalisable.

Étude directe

La matrice $\displaystyle M$ possède une colonne $\displaystyle C$ non nulle et toutes les autres lui sont colinéaires (car elle est de rang $\displaystyle 1$). Donc on écrit : $\displaystyle M=CU^T$ avec $\displaystyle U^T=(a_1,\cdots,a_n)$, i.e. une matrice colonne fois une matrice ligne.

On pense à deux réflexes :

• on calcule des invariants : le det est nul, et $\displaystyle {\rm tr}(M)={\rm tr}(U^TC)=U^TC=\langle U,C\rangle$,
• et des puissances : $\displaystyle M^2=CU^TCU^T=(U^TC)CU^T={\rm tr}(M) M$.

De deux choses l’une :

• $\displaystyle {\rm tr}(M)=0$, et donc $\displaystyle M^2=0$, i.e. $\displaystyle M$ est nilpotente d’indice $\displaystyle 2$ (en part. non diagonalisable). On retrouve le Cas 1 !
• $\displaystyle {\rm tr}(M) \neq 0$, et donc le polynôme annulateur $\displaystyle X^2-{\rm tr}(M) X$ est scindé à racines simples. Ainsi $\displaystyle M$ est diagonalisable et on retrouve le Cas 2 avec $\displaystyle \lambda = {\rm tr}(M)\neq 0$ !

Exercices associés

1. Donner une CNS pour qu’une matrice de rang $\displaystyle 1$ soit diagonalisable. (Rép : $\displaystyle {\rm tr}(M)\neq 0$)
2. Soit $\displaystyle M$ une matrice de rang $\displaystyle 1$. Montrer que $\displaystyle M^2= tr(M)M$ et $\displaystyle {\rm det}(I_n+ M)= 1+tr(M)$. (Faire la réduction en utilisant le Ker)
3. Calculer : $\displaystyle \begin{vmatrix} 1+x_1y_1 & x_1y_2 & \ldots & x_1y_n \\ x_2y_1 & 1+x_2y_2 & \ldots & x_2y_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_ny_1 & x_ny_2 & \ldots & 1+x_ny_n \end{vmatrix}$ . (Application du 2. avec $\displaystyle M=XY^T$)
4. Montrer que $\displaystyle \det(D+vv^T) = \det(D) \left(1+v^TD^{-1}v \right)$ avec $\displaystyle D$ inversible. (Factoriser par $\displaystyle D$ et utiliser question 2.)

Remarque — L’identité $\displaystyle {\rm det}(I_n+ UV^T)= 1+V^TU$ est un cas particulier de l’égalité des polynômes caractéristiques $\displaystyle \chi_{AB}=\chi_{BA}$. Dans le programme de spé, les matrices $\displaystyle A$ et $\displaystyle B$ sont carrées ; pour s’y ramener, on peut compléter la colonne $\displaystyle U$ et la ligne $\displaystyle V^T$ par des zéros.

Polynômes

Soit $\displaystyle \K$ un corps (penser à $\displaystyle \R$ ou $\displaystyle \C$ dans un premier temps). Un polynôme de $\displaystyle \K[X]$ est un objet très riche car $\displaystyle \K[X]$ peut être vu à la fois comme un espace de fonctions, un $\displaystyle \K-$espace vectoriel et un anneau euclidien (i.e. un anneau dans lequel on peut faire une division euclidienne). Et il faut savoir jouer sur tous les tableaux dans les exercices !

Vu comme fonction

Dans $\displaystyle \R$ :

Soit $\displaystyle P\in\mathbb R[X]$ avec coefficient dominant positif. De deux choses l’une :

1. son degré est impair : alors $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}P(x)=\pm\infty$ et $\displaystyle P$ a au moins une racine réelle par le TVI ;
2. son degré est pair : alors $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}P(x)=+\infty$, $\displaystyle P$ a un minimum global $\displaystyle P(x_0)$ et $\displaystyle P'(x_0)=0$.

En particulier, un polynôme positif est de degré pair, il vérifie $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}P(x)=+\infty$ et son minimum vérifie $\displaystyle P(x_0)\ge0$.

Dans $\displaystyle \mathbb C$ : Principe du maximum

Soit $\displaystyle P$ un polynôme sur $\displaystyle \mathbb C$ non constant. Alors $\displaystyle |P|$ n’a pas de maximum local.

Remarque — On fait le même raisonnement avec une fonction qui serait localement développable en série entière (fonction holomorphe).
On utilisera que la série converge uniformément en $\displaystyle \theta\in[0,2\pi]$ pour intervertir somme et intégrale.

La même technique permet de montrer le
Théorème de Liouville : Une série entière de rayon infini, bornée sur $\displaystyle \mathbb C$, est constante.

On peut en déduire le
Théorème de d’Alambert-Gauss : Un polynôme non constant $\displaystyle P$ a au moins une racine dans $\displaystyle \mathbb C$.

Vu comme object algébrique

Dans $\displaystyle \mathbb K[X]$, on peut utiliser :

1. la division euclidienne : $\displaystyle P=AQ+R$ ;
2. l’identité de Bezout : Si $\displaystyle P$ et $\displaystyle Q$ sont premiers entre eux, alors il existe $\displaystyle A,B\in \mathbb K[X]$ tels que $\displaystyle AP+BQ=1$ ;
3. le fait que $\displaystyle \mathbb K[X]$ est principal : si on a un idéal $\displaystyle I$, il est engendré par un seul élément. Ex : l’idéal des polynômes annulateur est engendré par le polynôme minimal.

Fractions rationnelles

Soit $\displaystyle P(X)=(X-\alpha_1)\cdots (X-\alpha_n)$ un polynôme scindé. On a deux décompositions en fraction rationnelle à connaître :

1. $\displaystyle \frac{P'(X)}{P(X)}=\frac{1}{X-\alpha_1}+\cdots+ \frac{1}{X-\alpha_n}$, les $\displaystyle \alpha_i$ étant distincts ou non ;
2. $\displaystyle \frac{1}{P(X)}=\frac{1}{P'(\alpha_1)(X-\alpha_1)}+\cdots+ \frac{1}{P'(\alpha_n)(X-\alpha_n)}$, si les $\displaystyle \alpha_i$ sont tous distincts, i.e. $\displaystyle P'(\alpha_i)\neq 0$.

Matrices 2x2

Généralités : Invariants, réduction

Soit $\displaystyle A=\left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right)$ à coefficients dans $\displaystyle \mathbb C$ :

• $\displaystyle tr(A)=a+d$, $\displaystyle \ det(A)=ad-bc$ ;
• Si $\displaystyle \ det(A)\neq 0$, alors $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix}\right)$ ;
• Son polynôme caractéristique est $\displaystyle \chi_A(X)=X^2-tr(A) X +det(A)$.

De deux choses l’une (dans $\displaystyle \C$) :

• $\displaystyle \chi_A(X)=(X-\lambda)^2$, $\displaystyle \lambda\in\mathbb C$, et alors soit $\displaystyle A=\lambda Id$, soit $\displaystyle A$ est semblable à $\displaystyle \left(\begin{matrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{matrix}\right)$ ;
• ou bien $\displaystyle \chi_A(X)=(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)$ avec $\displaystyle \lambda_1\neq\lambda_2$, et la matrice est diagonalisable, donc semblable à $\displaystyle \left(\begin{matrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{matrix}\right)$.

Sous-groupes du groupe linéaire

Dans $\displaystyle GL_2(\mathbb C)$, on peut distinguer deux sous-groupes remarquables :

1. Le groupe spécial linéaire $\displaystyle SL_2(\mathbb Z)$ est formé des matrices à coefficients dans $\displaystyle \mathbb Z$ et dont le déterminant vaut $\displaystyle 1$. Avec l’expression de l’inverse et le fait que le déterminant est multiplicatif, on montre que $\displaystyle SL_2(\mathbb Z)$ est bien un groupe pour la multiplication.
   Il y a des éléments d’ordre infini, comme $\displaystyle \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)$.
2. Le groupe orthogonale $\displaystyle O_2(\R)$, est composé des rotations $\displaystyle R(\theta)=\left(\begin{matrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{matrix}\right)$ et des symétries $\displaystyle S(\theta)=\left(\begin{matrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & -\cos(\theta) \end{matrix}\right)$.

Étudions les rotations : c’est le groupe $\displaystyle SO_2(\R)$.
On a $\displaystyle \det(R(\theta))=1$ et $\displaystyle \chi_{R(\theta)}(X)=X^2-2\cos(\theta) X +1=(X-\cos(\theta))^2+\sin(\theta)^2$.
Donc $\displaystyle R(\theta)$ n’a pas de valeurs propres réelles pour $\displaystyle \theta\neq 0[2\pi]$ (c’est normal, une rotation non triviale “bouge” tous les vecteurs d’un angle $\displaystyle \theta$), et a $\displaystyle 2$ valeurs propres complexes conjuguées : $\displaystyle e^{\pm i\theta}$.

Étudions les symétries orthogonales : $\displaystyle \det(S(\theta))=-1$ et $\displaystyle \chi_{S(\theta)}(X)=X^2-1$.
On a donc $\displaystyle 2$ valeurs propres réelles : $\displaystyle 1$ dont la droite propre est l’axe de symétrie, et $\displaystyle -1$ dont la droite propre est orthogonale à l’axe de symétrie. En effet $\displaystyle S$ est symétrique réelle, donc diagonalisable en base orthogonale. L’axe de symétrie est donnée par $\displaystyle {\rm Vect}(\sin(\theta),1-\cos(\theta))={\rm Vect}(\cos(\theta/2),\sin(\theta/2))$ pour $\displaystyle \theta\neq 0[2\pi]$.