Techniques

Quelques grands principes en Maths

1. Manipuler les expressions : faire des sommes, des produits (à décliner dans $\displaystyle \R$, $\displaystyle \mathbb C$, un anneau, un corps), factoriser, développer, passer une quantité de l’autre coté d’une égalité, inégalité ;
2. Si on veut faire apparaître $\displaystyle a\neq 0$ dans une expression $\displaystyle x$, on écrit $\displaystyle x=x-a+a$ ou $\displaystyle x=\frac{x}{a}a$.
3. Évaluer une fonction en des points simples : $\displaystyle 0,1,-1$, des racines connues, etc.
4. Évaluer la véracité d’une assertion sur des exemples simples.

Démonstration

1. Preuve directe : On part des hypothèses, des expressions qu’on connaît, et on déduit ;
2. Preuve par récurrence ;
3. Preuve par l’absurde, par contraposition ;
4. Preuve par Analyse-Synthèse.

Analyse

1. Passer à la limite dans les expressions (une quantité, une égalité, une inégalité) ;
2. Dériver, intégrer : théorème fondamental de l’analyse, changement de variable, Intégration par parties (IPP) ;
3. Majorer, minorer : Inégalité triangulaire, Cauchy-Schwarz, Hölder, Markov, etc.
4. Somme et intégrale : Découper, regrouper, homogénéiser, intervertir ;
5. Évaluer des ordres de grandeurs, des vitesses : équivalents, développements limités et asymptotiques.

Algèbre linéaire

1. Trouver des bonnes bases (dans lesquelles les matrices ont une tête plus simple) ;
2. Raisonner avec les dimensions ;
3. Manipuler les vecteurs : les sommer et itérer ces sommes, leur appliquer des endomorphismes et itérer ;
4. Considérer les sous-espaces remarquables : Im et Ker, les sous-espaces propres, des sous-espaces stables ;
5. Manipuler les invariants (trace, déterminant) et les polynômes (caractéristique, annulateur).

Algèbre bilinéaire

1. Orthogonaliser une base, construire des vecteurs orthogonaux ;
2. Manipuler les normes de vecteurs : calculer une norme au carré, la norme au carré d’une somme, diviser un vecteur par sa norme pour obtenir un vecteur de norme 1 ;
3. Utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz !