Vecteurs aléatoires

Calculons la densité de $\displaystyle X$. Soit $\displaystyle \phi$ une fonction continue bornée. On a
$\displaystyle E[\phi(X)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty \phi(x)e^{-x^2/2}e^{-y^2/2}(1+xy\ 1_{\{-1\le x,y\le1\}})dxdy=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\phi(x)e^{-x^2/2}\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/2}(1+xy\ 1_{\{-1\le x,y\le1\}})dxdy$.
De plus $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/2}(1+xy\ 1_{\{-1\le x,y\le1\}})dy=\sqrt{2\pi}+x\ 1_{\{-1\le x\le1\}}\int_{-1}^1ye^{-y^2}dy$.
Comme $\displaystyle y\mapsto ye^{-y^2}$ est impaire, on en déduit que la dernière intégrale est nulle. On obtient donc $$E[\phi(X)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\phi(x)e^{-x/2}dx,$$ ce qui veut dire que $\displaystyle X\sim\mathcal N(0,1)$. Comme $\displaystyle f$ est symétrique en $\displaystyle x,y$, on en déduit aussi $\displaystyle Y\sim\mathcal N(0,1)$. Les marginales du vecteur $\displaystyle (X,Y)$ sont donc bien des gaussiennes, mais $\displaystyle (X,Y)$ n’est pas un vecteur gaussien. Pour voir ce dernier point, on peut par exemple remarquer que les dérivées partielles de $\displaystyle f$ n’existent pas sur le bord du carré $\displaystyle \{-1\le x,y\le1\}$, alors que la densité d’un vecteur gaussien est $\displaystyle C^\infty$.

1. On rappelle (cours sur les formes quadratiques) que si $\displaystyle A \in \mathcal{M}_(\R)$ est symétrique et si $\displaystyle x=(x_1,\ldots,x_n)^T \in \R^n$, alors $$x^T A x = \sum_{i=1}^n a_{i,i} x_i^2 + \sum_{1 \le i < j \le n} a_{i,j} x_i x_j.$$ On en déduit que la densité de la loi de $\displaystyle Z$ s’écrit $$f(z) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{\det(\Gamma)}}\exp\left(-\frac{z^T \Gamma^{-1}z}{2}\right),$$
   où $\displaystyle z=(z_1,z_2,z_3)^T$ et avec $$\Gamma^{-1} = \frac{1}{8} \left(\begin{array}{ccc} 3&1&0& \\ 1 & 3& 0 \\ 0& 0&4 \end{array}\right),$$ c’est-à-dire $$\Gamma=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right).$$
   $\displaystyle Z$ est donc un vecteur gaussien centré de matrice de covariance $\displaystyle \Gamma$.

2. On a $\displaystyle (X,Y) = A Z$, où $\displaystyle A = \left(\begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \end{array}\right) \in M_{6,3}(\R)$, $\displaystyle A_1 \in M_{4,3}(\R)$ et $\displaystyle A_2 \in M_{2,3}(\R)$ étant respectivement les matrices définissant $\displaystyle X = A_1 Z$ et $\displaystyle Y = A_2 Z$. Les vecteurs aléatoires $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$ et $\displaystyle (X,Y)$ sont tous les trois images du vecteur $\displaystyle Z$ par des applications linéaires, ce sont donc des vecteurs gaussiens.

3. On calcule la matrice de covariance de $\displaystyle (X,Y)$, que l’on note $\displaystyle C$. On sait qu’elle est donnée par la formule $\displaystyle C = A \Gamma A^T$. On trouve
   $$C= \left(\begin{array}{cccccc} 24 & 28& 56& 28& 12& 4 \\ 28& 62& 124& 50& 14& - 2 \\ 56 & 124 & 248 & 100 & 28 & - 4 \\ 28 & 50 & 100 & 43 & 14 & 1 \\ 12& 14 & 28 & 14 & 6 & 2 \\ 4& - 2 & - 4 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right).$$
   Si $\displaystyle X$ et $\displaystyle Y$ étaient indépendants, le bloc de $\displaystyle C$ formé des quatre premières lignes et deux dernières colonnes, ainsi que celui formé des deux dernières lignes et quatre premières colonnes, seraient nuls, ce qui n’est pas le cas. Ainsi $\displaystyle X$ et $\displaystyle Y$ ne sont pas indépendants.

4. Si on connaît $\displaystyle \Gamma$, il est facile de lire la réponse : on sait que les variables aléatoires $\displaystyle Z_1,Z_2$ et $\displaystyle Z_3$ sont toutes les trois de loi normale centrée et que la variance de $\displaystyle Z_i$ est donnée par le coefficient $\displaystyle \Gamma_{i,i}$. Ainsi,
   $$Z_1 \sim \mathcal{N}(0,3) \ , \ Z_2 \sim \mathcal{N}(0,3) \ , \ Z_3 \sim \mathcal{N}(0,2).$$

Bientôt !

Supposons que $\displaystyle w$ est le vecteur souhaité. On commence par mesurer le spin dans cette direction. Si on obtient $\displaystyle w$, on a directement ce qu’on souhaite, sinon on se retrouve dans l’état $\displaystyle -w$. Si $\displaystyle n \geq 1$ est un entier, on considère des vecteurs $\displaystyle v_0 = -w$, $\displaystyle v_1, \dots, v_{n-1}$, $\displaystyle v_n = w$ coplanaires tels que l’angle entre deux vecteurs consécutifs est égal à $\displaystyle \pi/n$. On mesure successivement le spin dans les directions suivantes: $\displaystyle (v_1, -v_1), (v_2, -v_2), \dots, (v_n, -v_n) = (w, -w)$. A chaque mesure, le spin tourne de $\displaystyle \pi/n$ avec probabilité $\displaystyle (1 + \cos(\pi/n))/2 = 1 - \mathcal{O}(1/n^2)$, et de $\displaystyle \pi - \pi/n$ avec probabilité $\displaystyle (1 - \cos(\pi/n))/2 = \mathcal{O}(1/n^2)$. La probabilité que la deuxième situation arrive pour au moins une des $\displaystyle n$ mesures est $\displaystyle \mathcal{O}(1/n)$. Donc, avec probabilité $\displaystyle 1 - \mathcal{O}(1/n)$, le spin tourne $\displaystyle n$ fois de $\displaystyle \pi/n$, ce qui l’amène progressivement de $\displaystyle -w$ à $\displaystyle w$.