Géométrie affine

Ecriture avec des affixes et des vecteurs.

Soit $\displaystyle H$ le point d’affixe $\displaystyle h=a+b+c$. Identifions un point $\displaystyle P$ d’affixe $\displaystyle p$ avec le vecteur $\displaystyle \overrightarrow{OP}$ : $\displaystyle (\C,+)\simeq(\R^2,+)$, et on écrit $\displaystyle \overrightarrow{OP}\sim p$. Alors $\displaystyle \overrightarrow{AH}\sim h-a=b+c$, et $\displaystyle \overrightarrow{CB}\sim b-c$. Soit $\displaystyle u=\overrightarrow{OB}$ et $\displaystyle v=\overrightarrow{OC}$. Alors $\displaystyle \overrightarrow{AH}=u+v$ et $\displaystyle \overrightarrow{CB}=u-v$. On remarque alors que $$(u+v)\cdot(u-v)=\|u\|^2-\|v\|^2=0,$$ car $\displaystyle u$ et $\displaystyle v$ sont de norme $\displaystyle 1$ par définition (on a noté $\displaystyle \cdot$ le produit scalaire canonique). Donc $\displaystyle \overrightarrow{HA}$ et $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux. On peut faire le même raisonnement avec $\displaystyle \overrightarrow{HB}$ et $\displaystyle \overrightarrow{HC}$, ce qui prouve que $\displaystyle H$ est bien l’orthocentre du triangle $\displaystyle ABC$. On trouvera sur Math-OS une jolie animation et une preuve que $\displaystyle H$ est bien défini de manière unique comme l’intersection des hauteurs.

Le centre de gravité $\displaystyle G$ de $\displaystyle ABC$ est l’isobarycentre de $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ et $\displaystyle C$, donc d’affixe $\displaystyle \frac{a+b+c}{3}=\frac{h}{3}$. Le point $\displaystyle O$ est le centre du cercle circonscrit à $\displaystyle ABC$ et est d’affixe $\displaystyle 0$. Enfin $\displaystyle H$ est d’affixe $\displaystyle h$. Ainsi on voit que $\displaystyle O$, $\displaystyle G$ et $\displaystyle H$ sont alignés, et on a même le rapport des longueurs !

1. Le parallèle $\displaystyle \theta$ a pour longueur $\displaystyle 2 \pi \cos \theta$, donc en intégrant, on obtient $\displaystyle 2 \pi (1 + \sin \theta)$.
2. La probabilité qu’un point de la sphère ait une abscisse inférieure à $\displaystyle x$ est égale à celle qu’il ait une latitude inférieure à $\displaystyle \arcsin x$, donc $\displaystyle 2 \pi (1 + \sin (\arcsin x))/(4 \pi) = ( 1+ x)/2$.
3. Si $\displaystyle C_1, \dots, C_n$ ne sont pas disjoints, il y a deux indices $\displaystyle j$ et $\displaystyle k$ tels que $\displaystyle [OO_j)$ et $\displaystyle [O O_k)$ font un angle de moins de $\displaystyle \pi/3$. La distance $\displaystyle O_j O_k$ est alors inférieure à $\displaystyle O O_j = O O_k = 2$ et les sphères $\displaystyle S_j$, $\displaystyle S_k$ ne sont pas disjointes.
4. L’angle solide correspondant à $\displaystyle C_j$ est égal à l’aire de la partie de la sphère d’abscisse supérieure à $\displaystyle \cos (\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, donc l’angle solide vaut $\displaystyle \frac{4 \pi (1 - \sqrt{3}/2)}{2}$. Cet angle solide multiplié par $\displaystyle n$ ne dépasse pas $\displaystyle 4 \pi$, donc $\displaystyle n \leq \frac{2}{ 1 - (\sqrt{3})/2}= 8 + 4 \sqrt{3} \in ]14,15[$. Comme $\displaystyle n$ est entier, $\displaystyle n \leq 14$.
5. On peut prendre pour $\displaystyle O_1, O_2, \dots, O_{12}$ les sommets d’un icosaèdre régulier. Supposons que $\displaystyle O = (0,0,0)$, $\displaystyle O_1 = (0,0,2)$. Les voisins de $\displaystyle O_1$ forment un pentagone régulier contenant les points
   $\displaystyle O_{k+2} = (2 \sin \theta \cos (2 k \pi/5), 2 \sin \theta \sin (2k \pi/5), 2 \cos \theta$) ($\displaystyle 0 \leq k \leq 4$), pour un certain angle $\displaystyle \theta$. Le carré du côté du pentagone est $\displaystyle 4 \sin^2 \theta [(1 - \cos (2 \pi/5))^2 + (\sin (2 \pi/5))^2] = 8 \sin^2 \theta (1 - \cos ( 2 \pi/5)).$ Il doit valoir le carré de la distance $\displaystyle O_1 O_2$, soit $\displaystyle 4 (\sin \theta)^2 + (2 - 2 \cos \theta)^2 = 8 ( 1 - \cos \theta)$, ce qui implique $\displaystyle \sin^2 \theta (1 - \cos ( 2 \pi/5)) = 1 - \cos \theta = 2 \sin^2 (\theta/2) = \sin^2 \theta/ (2\cos^2 (\theta/2))$, soit $\displaystyle \cos^2(\theta/2) = 1/[2 (1- \cos(2\pi/5)] = 1/(4 \sin^2 (\pi/5))$. Le carré de la distance $\displaystyle O_1 O_2$ est $\displaystyle 8 ( 1 - \cos \theta) = 16 \sin^2 (\theta/2) = 16( 1 - 1/(4 \sin^2 (\pi/5))) > 4.42$, et $\displaystyle O_1 O_2 > 2.1$. Donc les sommets de l’icosaèdre sont suffisamment espacés.

Les directions orthogonales à un vecteur donné forment un plan qui coupe la sphère céleste en un cercle. Comme $\displaystyle \mathbb{Q}^3$ est dénombrable, il suffit de montrer que toute droite de $\displaystyle \mathbb{R}^3$ non orthogonale à un vecteur de coordonnées rationnelles passe arbitrairement près d’un point à coordonnées entières. La droite a pour paramétrisation $\displaystyle (a + xt, b + yt, c + zt)$, avec $\displaystyle a, b, c, x, y, z \in \mathbb{R}$, $\displaystyle x, y, z$ linéairement indépendants sur $\displaystyle \mathbb{Q}$. En faisant une transformation affine du paramètre $\displaystyle t$, on peut supposer $\displaystyle a = 0$, $\displaystyle x = 1$, ce qui donne $\displaystyle (t, b + yt, c + zt)$. On cherchera $\displaystyle t$ entier tel que $\displaystyle b+yt$ et $\displaystyle c+ zt$ sont proches d’un entier. Pour que cette recherche soit garantie d’aboutir, il est suffisant de vérifier que le sous-groupe $\displaystyle G$ de $\displaystyle \mathbb{R}^2$ engendré par $\displaystyle (y,z)$ et $\displaystyle \mathbb{Z}^2$ est dense. Soit $\displaystyle H$ l’adhérence de $\displaystyle G$: c’est aussi un sous-groupe de $\displaystyle \mathbb{R}^2$. Par le principe des tiroirs, il y a des multiples de $\displaystyle (y,z)$ arbitrairement proches modulo $\displaystyle \mathbb{Z}^2$, mais non égaux car $\displaystyle y$ et $\displaystyle z$ sont irrationnels. Par différence, $\displaystyle H$ a des points non nuls arbitrairement proches de $\displaystyle (0,0)$. Leurs arguments ont une valeur d’adhérence modulo $\displaystyle 2 \pi$: il existe une suite $\displaystyle (u_j, v_j)_{j \geq 1}$ de $\displaystyle H$ tels que $\displaystyle 0 < r_j := \sqrt{ u_j^2 + v_j^2 }\leq 2^{-j}$ et $\displaystyle |u_j/r_j - \alpha| \leq 2^{-j}$, $\displaystyle |v_j/r_j- \beta| \leq 2^{-j}$, avec $\displaystyle \alpha, \beta$ tels que $\displaystyle \alpha^2+ \beta^2 = 1$.
Si $\displaystyle c \in \mathbb{R}$, et $\displaystyle m_j$ est la partie entière de $\displaystyle c/r_j$, on a: $\displaystyle |u_j m_j - c \alpha| \leq |c u_j/r_j - c\alpha| + |u_j (c/r_j - m_j)| \leq |c| 2^{-j} + |u_j| \leq (|c|+1) 2^{-j}$ et $\displaystyle |v_j m_j - c \beta| \leq (|c|+1) 2^{-j}$, Le vecteur $\displaystyle (c \alpha, c\beta)$ est donc arbitrairement proche d’un vecteur de $\displaystyle H$ quel que soit $\displaystyle c \in \mathbb{R}$, ce qui implique, puisque $\displaystyle H$ est fermé, que $\displaystyle H$ contient une droite passant par l’origine. La projection de $\displaystyle H$ sur l’orthogonal de cette droite correspond alors à un sous-groupe fermé de $\displaystyle \mathbb{R}$, ce qui implique qu’il y a deux possibilités pour $\displaystyle H$: $\displaystyle H$ est un ensemble discret de droites parallèles, l’une passant par l’origine, et $\displaystyle H = \mathbb{R}^2$. Le premier cas implique qu’il existe $\displaystyle (w,w')$ non nuls tels que $\displaystyle w u + w' v$ est entier pour tout $\displaystyle (u,v) \in H$, donc pour $\displaystyle (0,1), (1,0)$ et $\displaystyle (y,z)$. On en déduit qu’une combinaison linéaire non nulle de $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ à coefficients dans $\displaystyle \mathbb{Z}$ est entière, ce qui contredit l’indépendance de $\displaystyle 1, y$ et $\displaystyle z$ sur les rationnels. Donc seul le cas $\displaystyle H = \mathbb{R}^2$ est possible.

1. Soient $\displaystyle P$ et $\displaystyle Q$ deux points distincts du plan projectif, dont les droites de $\displaystyle K^3$ correspondantes sont respectivement engendrées par des vecteurs $\displaystyle p$ et $\displaystyle q$, non colinéaires car $\displaystyle P \neq Q$. Une droite passe par $\displaystyle P$ et $\displaystyle Q$ si le plan $\displaystyle \mathcal{R}$ de $\displaystyle K^3$ correspondant contient $\displaystyle p$ et $\displaystyle q$. Comme ces vecteurs sont non-colinéaires, il est nécessaire et suffisant que $\displaystyle \mathcal{R}$ soit le plan engendré par $\displaystyle p$ et $\displaystyle q$.
   Soient $\displaystyle D$ et $\displaystyle D'$ deux droites distinces du plan projectif, $\displaystyle \mathcal{R}$ et $\displaystyle \mathcal{R}'$ les plans de $\displaystyle K^3$ correspondants. Un point est sur $\displaystyle D$ et $\displaystyle D'$ si et seulement si la droite $\displaystyle \Delta$ de $\displaystyle K^3$ correspondante est incluse dans l’intersection de $\displaystyle \mathcal{R}$ et $\displaystyle \mathcal{R}'$, Comme $\displaystyle \mathcal{R}$ et $\displaystyle \mathcal{R}'$ sont différents, leur somme est de dimension strictement supérieure à leur dimension commune $\displaystyle 2$, et $\displaystyle \mathcal{R} + \mathcal{R}' = K^3$. Le théorème du rang implique que $\displaystyle \mathcal{R} \cap \mathcal{R}'$ est de dimension $\displaystyle 2 + 2 - 3 = 1$, donc l’unique point d’intersection de $\displaystyle D$ et $\displaystyle D'$ correspond à l’espace de dimension $\displaystyle 1$ de $\displaystyle K^3$ donné par $\displaystyle \Delta = \mathcal{R} \cap \mathcal{R}'$.
2. Si $\displaystyle n$ est le cardinal de $\displaystyle K$, il y a $\displaystyle n^3$ vecteurs dans $\displaystyle K^3$, donc $\displaystyle n^3 - 1$ vecteurs non nuls. Deux vecteurs non-nuls engendrent la même droite vectorielle de $\displaystyle K^3$ si et seulement si l’un est multiple de l’autre. Il y a $\displaystyle n-1$ possibilités pour un multiplicateur non nul, donc $\displaystyle n-1$ vecteurs engendrent la même droite vectorielle de $\displaystyle K^3$. Le nombre de droites vectorielles de $\displaystyle K^3$, et donc le nombre de points du plan projectif sur $\displaystyle K$, est égal à $\displaystyle (n^3 - 1)/(n-1) = n^2 + n + 1$.
   Les plans vectoriels de $\displaystyle K^3$ sont les noyaux des formes linéaires non-nulles sur $\displaystyle K^3$, deux formes engendrant le même plan si et seulement si elles sont colinéaires. Le nombre de plans vectoriels de $\displaystyle K^3$ est donc $\displaystyle (N-1)/(n-1)$, $\displaystyle N$ étant le nombre d’éléments du dual de $\displaystyle K^3$. Comme $\displaystyle K^3$ est (non-canoniquement) isomorphe à son dual, $\displaystyle N = n^3$, et il y a $\displaystyle (n^3 - 1)/(n-1) = n^2 + n + 1$ plans vectoriels de $\displaystyle K^3$, et autant de droites dans le plan projectif.
3. On calcule aussi le nombre de points d’une droite et le nombre de droites passant par un point. Un plan vectoriel de $\displaystyle K^3$ est isomorphe à $\displaystyle K^2$ en tant que $\displaystyle K$-espace vectoriel, donc il contient, avec le raisonnement précédent pour une dimension de moins, $\displaystyle (n^2-1)/(n-1) = n+1$ droites vectorielles. Donc une droite du plan projectif contient $\displaystyle n+1$ points.
   Le nombre de droites du plan projectif passant par un point est égal au nombre de plans de $\displaystyle K^3$ contenant une droite vectorielle $\displaystyle \Delta$ donnée, et donc c’est le nombre de droites vectorielles de l’espace vectoriel quotient $\displaystyle K^3/\Delta$, qui est de dimension deux. On trouve donc $\displaystyle n+1$ à nouveau.
   Pour construire le jeu de cartes demandé, on prend pour $\displaystyle K$ le corps $\displaystyle \mathbb{Z}/7 \mathbb{Z}$ à $\displaystyle 7$ éléments, on choisit une image pour chaque point du plan projectif ($\displaystyle 7^2 + 7 + 1 = 57$ images), une carte pour chaque droite du plan projectif ($\displaystyle 7^2 + 7 + 1 = 57$ cartes), on dessine une image sur une carte s’il y a appartenance entre le point et la droite correspondants. Chaque carte contient $\displaystyle 7+1 = 8$ images, chaque image est contene dans $\displaystyle 7+1 = 8$ cartes, deux cartes ont exactement une images en commun et deux images sont ensemble contenues dans une unique carte.