Topologie des espaces matriciels

Fermé : image réciproque d’un fermé par une application continue.

$\displaystyle O_n(\R)$ est l’image réciproque du singleton $\displaystyle \{Id\}$ par l’application continue $\displaystyle P\mapsto PP^T$, donc $\displaystyle O_n(\R)$ est fermé dans $\displaystyle M_n(\R)$.
Toutes les normes sont équivalentes sur l’e.v. de dimension fini $\displaystyle M_n(\R)$, considérons la norme opérateur $\displaystyle \|P\|=\max_{\|X\|_2=1}\|PX\|_2$. Si $\displaystyle P\in O_n(\R)$, alors $\displaystyle \|P\|=1$ car $\displaystyle P$ est une isométrie. On en déduit que $\displaystyle O_n(\R)$ est fermé borné dans $\displaystyle M_n(\R)$ qui est de dimension finie. Donc $\displaystyle O_n(\R)$ est compact.

1. On a une matrice dans $\displaystyle \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et on ne sait pas quoi faire 👉 Trigonaliser pour voir ce qui se passe !
2. Question théorique sur la diagonalisation 👉 Il existe un polynôme annulateur scindé à racines simples.

1. Comme $\displaystyle M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on peut la trigonaliser : il existe $\displaystyle Q \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que $\displaystyle M = Q^{-1}TQ$, avec $\displaystyle T$ triangulaire supérieure. Soit $\displaystyle D = {\rm diag}(d_1,\ldots,d_n)$ où les coefficients $\displaystyle d_i>0$ seront choisis plus tard. Donc $\displaystyle D$ est inversible et $\displaystyle D^{-1} T D \in S(M)$. On peut calculer rapidement les coefficients de cette matrice : $$(D^{-1} T D) _{i,j}= \frac{d_j}{d_i} T_{ij}.$$ Soit $\displaystyle A' = \max(|T_{i,j}| : i<j)$ et $\displaystyle A=\max(A',\varepsilon)$. On choisit $\displaystyle d_i = \frac{\varepsilon^{i-1}}{A^{i-1}}$ de telle sorte que $$\forall i<j \ , \ \left| (D^{-1} T D) _{i,j} \right|= \frac{\varepsilon^{j-i}}{A^{j-i}} |T_{i,j}| \le \frac{\varepsilon}{A} |T_{i,j}| \le \varepsilon.$$ Comme $\displaystyle T$ est triangulaire supérieure, on a $\displaystyle (D^{-1} T D) _{i,j} = 0$ pour tout $\displaystyle i>j$. On a donc trouvé un élément de $\displaystyle S(M)$ dont les coefficients hors-diagonaux sont petits.
2. Supposons que $\displaystyle S(M)$ est fermé. D’après la question 1) il existe une suite $\displaystyle M_m\in S(M)$ qui tend vers une matrice diagonale $\displaystyle D$. Comme $\displaystyle S(M)$ est fermé, on en déduit $\displaystyle D\in S(M)$, ce qui veut dire que $\displaystyle M$ est diagonalisable.
   Réciproquement, supposons $\displaystyle M$ diagonalisable. Donc il existe un polynôme $\displaystyle P$ annulateur de $\displaystyle M$ scindé à racines simples. Considérons une suite $\displaystyle M_m\in S(M)$, i.e. $\displaystyle M_m=Q_mMQ_m^{-1}$, tendant vers $\displaystyle A\in \mathcal{M}_n(\C)$. On a $\displaystyle P(M_m)=0$ car $\displaystyle M_m^k=Q_m M^kQ_m^{-1}$ et $\displaystyle P(M)=0$. Comme l’application $\displaystyle X\mapsto P(X)$, $\displaystyle \mathcal{M}_n(\C)\to \mathcal{M}_n(\C)$, est continue, on en déduit $\displaystyle P(A)=0$, et donc $\displaystyle A$ est diagonalisable. De la même façon, on a la limite des polynômes caractéristiques : $\displaystyle \chi_{M_m}\to\chi_A$. Comme $\displaystyle \chi_{M_m}=\chi_{M}$, il vient $\displaystyle \chi_{A}=\chi_{M}$, donc $\displaystyle A$ et $\displaystyle M$ ont les mêmes valeurs propres. Or elles sont aussi toutes les deux diagonalisables. Par conséquent elles sont semblables. Ainsi $\displaystyle A\in S(M)$, ce qui permet de conclure que $\displaystyle S(M)$ est fermé.
3. Soit $\displaystyle \varepsilon>0$ et $\displaystyle M$ une matrice nilpotente. Comme $\displaystyle M$ n’a que $\displaystyle 0$ comme valeur propre, on en déduit que $\displaystyle M$ est semblable à une matrice $\displaystyle M'$ triangulaire supérieure avec des zéros sur la diagonale. D’après la construction de la question 1) il existe donc $\displaystyle M_\varepsilon \in S(M')=S(M)\ /\ \forall i, j, \ |M_{\varepsilon}(i,j)| \le\varepsilon$ (en effet on peut rendre petits par changement de base les coefficients hors diagonaux, et les coefficients de la diagonale de $\displaystyle M'$ sont déjà nuls). En prenant pour norme $\displaystyle \|\cdot\|$ sur $\displaystyle \mathcal{M}_n(\C)$ la norme du $\displaystyle \sup$ du module de tous les coefficients, on en déduit $\displaystyle \|M_\varepsilon\|\le \varepsilon$, et donc $\displaystyle 0\in \overline{S(M)}$.
   Réciproquement, supposons que $\displaystyle 0\in \overline{S(M)}$, donc il existe une suite $\displaystyle M_m\in \overline{S(M)}$ tendant vers $\displaystyle 0$ (on prend la norme qu’on veut car en dimension finie elles sont toutes équivalentes). On a donc l’égalité des polynômes caractéristiques $\displaystyle \chi_{M_m}=\chi_M$. Par continuité de l’application $\displaystyle A\mapsto \chi_A$ (elle est polynomiale en les coefficients de $\displaystyle A$), il vient $\displaystyle \chi_{0}=\chi_M$. Or $\displaystyle \chi_0(X)=X^n=\chi_M(X)$. Ainsi $\displaystyle M$ n’a que $\displaystyle 0$ comme valeur propre, donc est semblable à une matrice triangulaire supérieure avec que des $\displaystyle 0$ sur la diagonale. Donc $\displaystyle M$ est nilpotente (On peut aussi invoquer directement le théorème de Cayley-Hamilton : $\displaystyle \chi_M(M)=0=M^n$).

• Fermé 👉 étudier la stabilité par passage à la limite.
• Ouvert 👉 idem pour le complémentaire.

$\displaystyle \bullet$ Supposons $\displaystyle 0<p<n$.
Soit $\displaystyle A=\mathrm{Diag}(1,\dots,1,0,\dots,0)$, de rang $\displaystyle p$.
On remarque que $\displaystyle \frac 1n A\in R_p$ mais $\displaystyle \frac 1n A\to 0\notin R_p$. Donc $\displaystyle R_p$ n’est pas fermé.
De même $\displaystyle R_p^c$ n’est pas fermé (et donc $\displaystyle R_p$ n’est pas ouvert).
En effet la suite $\displaystyle B_n=\mathrm{Diag}\left(1,\dots,1,\frac 1n,\dots,\frac 1n\right)$ vérifie $\displaystyle B_n\in R_p^c$ mais $\displaystyle \lim B_n\in R_p$.
$\displaystyle \bullet$ Cas $\displaystyle p=0$.
$\displaystyle R_0=\{0\}$ est fermé. $\displaystyle R_0$ n’est pas ouvert (comme dans le premier cas).
$\displaystyle \bullet$ Cas $\displaystyle p=n$.
$\displaystyle R_n=GL_n(\R)$ n’est pas fermé (comme dans le premier cas).
En revanche $\displaystyle R_n=GL_n(\R)$ est ouvert.
En effet $\displaystyle GL_n(\R)=\{M\in\mathcal M_n(\R)~:~|\det(M)|>0\}$.
Or l’application $\displaystyle |\det|:\mathcal M_n(\R)\to\R$ est continue car polynomiale en les coefficients de la matrice.