Complétude

Exercice 69 ⭐️⭐️ Application presque surjective, L3

Soit E,F\displaystyle E,F deux espaces de Banach et fL(E,F)\displaystyle f\in\mathcal L(E,F) une application continue presque surjective au sens suivant : r>0,α]0,1[, yB(0,1),xBE(0,r), yf(x)α.\exists r>0, \exists \alpha\in ]0,1[,\ \forall y\in B(0,1), \exists x\in B_E(0,r), \ \|y-f(x)\|\le\alpha. Montrer que f\displaystyle f est surjective.

Soit yF\displaystyle y\in F avec y1\displaystyle \|y\|\le 1. D’après l’hyophtèse, il exsite x0E\displaystyle x_0\in E, x0r\displaystyle \|x_0\|\le r, tel que yf(x0)α\displaystyle \|y-f(x_0)\|\le\alpha.
Montrons par récurrence la propriété P(n)\displaystyle P(n) suivante : Il existe x1,,xnBE(0,r)\displaystyle x_1,\cdots, x_n\in B_E(0,r) tels que yf(x0)αf(x1)αn1f(xn)αn.\|y-f(x_0)-\alpha f(x_1)-\cdots \alpha^{n-1} f(x_n)\|\le\alpha^n. Supposons P(n)\displaystyle P(n) vérifiée. Posons u=1αn(yf(x0)αf(x1)αn1f(xn)).u=\frac{1}{\alpha^n}(y-f(x_0)-\alpha f(x_1)-\cdots \alpha^{n-1} f(x_n)). Alors u1\displaystyle \|u\|\le 1 d’après P(n)\displaystyle P(n). Donc il existe xn+1BE(0,r)\displaystyle x_{n+1}\in B_E(0,r) tel que uf(xn+1)α\displaystyle \|u-f(x_{n+1})\|\le \alpha. En multipliant à gauche et à droite par αn\displaystyle \alpha^n, on obtient que P(n+1)\displaystyle P(n+1) est vérifiée, ce qui achève la récurrence. Posons xn=x0+αx1++αn1xn.x_n'=x_0+\alpha x_1+\cdots +\alpha^{n-1} x_n. On en déduit que la suite (xn)\displaystyle (x_n') est de Cauchy car pour tout n\displaystyle n, xnr\displaystyle \|x_n\|\le r et la série αk\displaystyle \sum \alpha^k est convergente puisque α<1\displaystyle \alpha<1. Comme E\displaystyle E est un espace complet, il vient que (xn)\displaystyle (x_n') converge vers un élément xE\displaystyle x\in E. Comme f\displaystyle f est linéaire, on peut écrire yf(xn)αn\displaystyle \|y-f(x_n')\|\le \alpha^n. On peut alors passer à la limite en n\displaystyle n\to\infty car f\displaystyle f est continue et α<1\displaystyle \alpha<1, et on obtient yf(x)=0\displaystyle \|y-f(x)\|=0, i.e. y=f(x)\displaystyle y=f(x).