Exercice 69 ⭐️⭐️ Application presque surjective, L3
Soit E,F deux espaces de Banach et f∈L(E,F) une application continue presque surjective au sens suivant : ∃r>0,∃α∈]0,1[, ∀y∈B(0,1),∃x∈BE(0,r), ∥y−f(x)∥≤α. Montrer que f est surjective.
Soit y∈F avec ∥y∥≤1. D’après l’hyophtèse, il exsite x0∈E, ∥x0∥≤r, tel que ∥y−f(x0)∥≤α.
Montrons par récurrence la propriété P(n) suivante : Il existe x1,⋯,xn∈BE(0,r) tels que ∥y−f(x0)−αf(x1)−⋯αn−1f(xn)∥≤αn. Supposons P(n) vérifiée. Posons u=αn1(y−f(x0)−αf(x1)−⋯αn−1f(xn)). Alors ∥u∥≤1 d’après P(n). Donc il existe xn+1∈BE(0,r) tel que ∥u−f(xn+1)∥≤α. En multipliant à gauche et à droite par αn, on obtient que P(n+1) est vérifiée, ce qui achève la récurrence. Posons xn′=x0+αx1+⋯+αn−1xn. On en déduit que la suite (xn′) est de Cauchy car pour tout n, ∥xn∥≤r et la série ∑αk est convergente puisque α<1. Comme E est un espace complet, il vient que (xn′) converge vers un élément x∈E. Comme f est linéaire, on peut écrire ∥y−f(xn′)∥≤αn. On peut alors passer à la limite en n→∞ car f est continue et α<1, et on obtient ∥y−f(x)∥=0, i.e. y=f(x).