Complétude

Soit $\displaystyle y\in F$ avec $\displaystyle \|y\|\le 1$. D’après l’hyophtèse, il exsite $\displaystyle x_0\in E$, $\displaystyle \|x_0\|\le r$, tel que $\displaystyle \|y-f(x_0)\|\le\alpha$.
Montrons par récurrence la propriété $\displaystyle P(n)$ suivante : Il existe $\displaystyle x_1,\cdots, x_n\in B_E(0,r)$ tels que $$\|y-f(x_0)-\alpha f(x_1)-\cdots \alpha^{n-1} f(x_n)\|\le\alpha^n.$$ Supposons $\displaystyle P(n)$ vérifiée. Posons $$u=\frac{1}{\alpha^n}(y-f(x_0)-\alpha f(x_1)-\cdots \alpha^{n-1} f(x_n)).$$ Alors $\displaystyle \|u\|\le 1$ d’après $\displaystyle P(n)$. Donc il existe $\displaystyle x_{n+1}\in B_E(0,r)$ tel que $\displaystyle \|u-f(x_{n+1})\|\le \alpha$. En multipliant à gauche et à droite par $\displaystyle \alpha^n$, on obtient que $\displaystyle P(n+1)$ est vérifiée, ce qui achève la récurrence. Posons $$x_n'=x_0+\alpha x_1+\cdots +\alpha^{n-1} x_n.$$ On en déduit que la suite $\displaystyle (x_n')$ est de Cauchy car pour tout $\displaystyle n$, $\displaystyle \|x_n\|\le r$ et la série $\displaystyle \sum \alpha^k$ est convergente puisque $\displaystyle \alpha<1$. Comme $\displaystyle E$ est un espace complet, il vient que $\displaystyle (x_n')$ converge vers un élément $\displaystyle x\in E$. Comme $\displaystyle f$ est linéaire, on peut écrire $\displaystyle \|y-f(x_n')\|\le \alpha^n$. On peut alors passer à la limite en $\displaystyle n\to\infty$ car $\displaystyle f$ est continue et $\displaystyle \alpha<1$, et on obtient $\displaystyle \|y-f(x)\|=0$, i.e. $\displaystyle y=f(x)$.