Sommabilité

Sommation par paquet, transformation somme en produit.

Avec l’inégalité $\displaystyle 2xy\le x^2+y^2$, on obtient $\displaystyle 2 a^{n/2}b^{m/2}\le a^n+b^m$ et $\displaystyle \frac{1}{a^n+b^m}\le \frac12 \frac{1}{a^{n/2}b^{n/2}}$. Comme $\displaystyle a>1$, on en déduit que $\displaystyle \sum_{n\ge 0}\frac{1}{(\sqrt{a})^n}<+\infty$ (idem pour $\displaystyle b$), et donc que la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{a^n+b^m}\right)_{n,m\ge0}$ est sommable.

• $\displaystyle \cos(p+q)$ 👉 écriture exponentielle complexe ;
• une somme avec $\displaystyle 1/p!$ 👉 série de l’exponentielle.

On a pour tout $\displaystyle p,q\ge0$, $\displaystyle \left|\frac{\cos((p+q)\theta)}{p!q!}\right|\le \frac{1}{p!q!}$. Comme $\displaystyle \sum_{p\ge0}\frac{1}{p!}<+\infty$, on en déduit que la famille $\displaystyle \left(\frac{\cos((p+q)\theta)}{p!q!}\right)_{p,q}$ est sommable. On remarque que la somme considérée est la partie réelle de la somme $\displaystyle S=\sum_{p,q\ge0} \frac{e^{i(p+q)\theta}}{p!q!}$ (qui est la somme d’une famille sommable de la même façon).
Comme $\displaystyle e^{i(p+q)\theta}=e^{ip\theta}e^{iq\theta}$ et que $\displaystyle \sum_{p\ge0}\frac{e^{ip\theta}}{p!}=e^{e^{i\theta}}$, on en déduit que $\displaystyle S=e^{2e^{i\theta}}$. Par conséquent : $$\sum_{p,q\ge0} \frac{\cos((p+q)\theta)}{p!q!}=e^{2\cos \theta}\cos(2\sin \theta).$$

L’inégalité $\displaystyle |a_{n,k}| \le b_k$ montre que la série $\displaystyle \sum_{k \ge 0} a_{n,k}$ est absolument convergente, donc convergente. Ainsi $\displaystyle S_n$ est bien définie. De plus, par passage à la limite en $\displaystyle n$, on a également $\displaystyle |a_k| \le b_k$, et on conclut de la même façon que $\displaystyle S$ est bien définie.

Soit $\displaystyle \varepsilon > 0$. La série $\displaystyle \sum_{k \ge 0} b_k$ est convergente, donc il existe un rang $\displaystyle K \ge 1$ tel que $\displaystyle \sum_{k=K}^\infty b_k \leq \frac{\varepsilon}{3}$.
Soit maintenant $\displaystyle k \in \{0,\ldots,K-1\}$. Par définition de la limite d’une suite, il existe un rang $\displaystyle n_k \ge 1$ tel que $\displaystyle \forall n \ge n_k \ , \ |a_{n,k}-a_k| \leq \frac{\varepsilon}{3K}.$
On pose $\displaystyle N = \max\{n_0,\ldots,n_{K-1}\}$. Par l’inégalité triangulaire, on a pour $\displaystyle n\ge N$ :
$$\begin{aligned} |S_n-S| & \leq \sum_{k=0}^{K-1} |a_{n,k}-a_k| + \sum_{k=K}^\infty |a_{n,k}| + \sum_{k=K}^\infty |a_k| \\ &\leq K\cdot \frac{\varepsilon}{3K}+\frac{\varepsilon}{3} +\frac{\varepsilon}{3}. \end{aligned}$$ On a donc : $\displaystyle \forall n \ge N \ , \ |S_n-S| \le \varepsilon,$ ce qui prouve la limite souhaitée.

Remarque pour les passionné(e)s — Ce corrigé est une preuve élémentaire d’un théorème de convergence dominée dans le cas discret. Le théorème de convergence dominée est un théorème très général et fondamental de la théorie de la mesure. Si vous n’avez pas encore vu cette théorie, vous en trouverez un très joli avant-goût sur cette page de Denis Choimet à travers une preuve élémentaire du théorème de convergence dominée dans le cadre des fonctions continues par morceaux sur un segment. Vous y apprendrez aussi la différence entre élémentaire et facile (un grand classique en maths !).