Équations & Inéquations

Élever au carré, prendre le conjugué, factoriser, etc.

Élevons au carré :
$$\begin{aligned} \left(e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}\right)^2 &=e^{2ix}+e^{2iy}+e^{2iz}+2e^{i(x+y)}+2e^{i(x+z)}+2e^{i(y+z)}\\ &= e^{2ix}+e^{2iy}+e^{2iz}+2e^{i(x+y+z)}\left(e^{-ix}+e^{-iy}+e^{-iz}\right). \end{aligned}$$ Comme on a $\displaystyle e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=0$, on a également par passage au conjugué : $\displaystyle e^{-ix}+e^{-iy}+e^{-iz}=0$. D’où le résultat.

Faire apparaître des exponentielles complexes : sommer la 1ere ligne avec $\displaystyle i\times$ la 2e.

En faisant 1ere ligne $\displaystyle +\ i\times$ 2eme ligne, on a $\displaystyle e^{ia}+e^{i(a+x)}+e^{i(a+y)}=0$. En mettant $\displaystyle e^{ia}$ en facteur et en simplifiant par $\displaystyle e^{ia}\neq 0$, il vient $\displaystyle 1+e^{ix}+e^{iy}=0$. En repassant aux parties réelles et imaginaires on obtient : $$1+\cos(x)+\cos(y)=0 \quad (\star),$$ et $\displaystyle \sin(x)+\sin(y)=0$. L’égalité $\displaystyle \sin(x)=-\sin(y)=\sin(-y)$ impose $\displaystyle x=-y+2k\pi$ ou $\displaystyle x=\pi+y+2k\pi$. En injectant $\displaystyle x=\pi+y+2k\pi$ dans $\displaystyle (\star)$, on $\displaystyle 1-\cos(y)+\cos(y)=0$, ce qui n’est pas possible. On injecte alors $\displaystyle x=-y+2k\pi$ dans $\displaystyle (\star)$, d’où $\displaystyle 1+2\cos(y)=0$, et $\displaystyle \cos(y)=-\frac12$, i.e. $\displaystyle y=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ ou $\displaystyle y=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$.
On en déduit que les solutions sont, avec $\displaystyle k,k'\in\Z$ :
$$\begin{aligned} x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad y=-\frac{2\pi}{3}+2k'\pi \ ;\\ x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad y=\frac{2\pi}{3}+2k'\pi. \end{aligned}$$

Puissance 👉 Passage au $\displaystyle \log$.

Poser $\displaystyle y=tx$ avec $\displaystyle 0<x<y$.

On pose $\displaystyle y=tx$, d’où $\displaystyle t>1$. Il vient $\displaystyle x^{tx}=(tx)^x=t^xx^x$, et $\displaystyle x^{(t-1)x}=t^x$. Ainsi : $$(t-1)x\ln(x)=x\ln(t).$$ Comme $\displaystyle x>0$ et $\displaystyle t>1$, on a $\displaystyle \ln(x)=\frac{\ln(t)}{t-1}$, i.e. $\displaystyle x=t^{1/(t-1)}$. On en déduit $\displaystyle y=t^{t/(t-1)}$.
Réciproquement on vérifie que $\displaystyle x$ et $\displaystyle y$ paramétrés par $\displaystyle t$ comme précédemment, sont solutions de l’équation.
Conclusion : les solutions de l’équation sont les couples $\displaystyle (x,y)$ tels que : $$\begin{aligned} x&=t^{1/(t-1)} \\ y&=t^{t/(t-1)}, \end{aligned}$$ où $\displaystyle t$ décrit tout $\displaystyle ]1,+\infty[$.

Toujours étudier en premier l’ensemble des $\displaystyle x\in\R$ pour lesquels les deux membres de l’égalité sont définis.
$\displaystyle \mathbf{(E_1)}$ Le problème vient surtout de la valeur absolue.
👉 On se rappelle que pour $\displaystyle a,b\in\R$, $\displaystyle |a|=|b|\Leftrightarrow a=\pm b$.
$\displaystyle \mathbf{(E_2)}$ Élever au carré peut permettre d’éliminer une racines carrée.
Attention, l’équivalence $\displaystyle a=b\Leftrightarrow a^2=b^2$ n’est valable que si $\displaystyle a,b$ sont supposés de même signe.
$\displaystyle \mathbf{(E_3)}$ Passer à l’exponentielle.
$\displaystyle \mathbf{(E_4)}$ Changer de variable pour reconnaître une équation polynomiale d’ordre 2.

$\displaystyle \mathbf{(E_1)}$ L’équation $\displaystyle (E_1)$ est définie pour tout $\displaystyle x\in\R$, et équivaut à
$$x-5 = 4-x^2\quad\text{ ou }\quad x-5 = x^2-4.$$

• $\displaystyle x-5 = 4-x^2 \Leftrightarrow x^2+x-9=0 \Leftrightarrow x=\frac{-1+\sqrt{37}}{2}$ ou $\displaystyle x=\frac{-1-\sqrt{37}}{2}$
• $\displaystyle x-5 = x^2 -4\Leftrightarrow x^2-x+1=0$. Cette équation n’a pas de solution réelle.

$\displaystyle \mathbf{(E_2)}$ L’équation $\displaystyle (E_2)$ est définie pour $\displaystyle x\in[3;+\infty[$.
Soit $\displaystyle x\in[3;+\infty[$. On a :
$$\sqrt x+\sqrt{x-3}=2 \Leftrightarrow (\sqrt x+\sqrt{x-3})^2=4 \Leftrightarrow 2x-3+2\sqrt{x(x-3)}=4 \Leftrightarrow 7-2x = 2\sqrt{x(x-3)}.$$ On procède par équivalences :
$$7-2x = 2\sqrt{x(x-3)} \Leftrightarrow (7-2x)^2 = 4x(x-3)\quad\text{et}\quad 7-2x\geq 0,$$ ce qui équivaut après simplification à :$$-16x+49=0\quad\text{et}\quad x\leq 7/2$$ Puisque $\displaystyle 49/16\leq 7/2$, on a donc une unique solution $\displaystyle 49/16$.
$\displaystyle \mathbf{(E_3)}$ L’équation $\displaystyle (E_3)$ est définie pour les réels $\displaystyle x$ vérifiant
$$x+2>0,\quad x-2>0,\quad\text{et}\quad 2x+11>0,$$ donc sur l’intervalle $\displaystyle I=[2;+\infty[$. Pour $\displaystyle x\in I$, on a : $$x\text{ solution de }(E_3)\Leftrightarrow e^{\ln(x+2)}e^{\ln(x-2)} = e^{\ln(2x+11)} \Leftrightarrow (x+2)(x-2)=2x+11$$ Cette équation s’écrit $\displaystyle x^2-2x-15=0$ et a donc deux solutions $\displaystyle 5$ et $\displaystyle -3$. Or $\displaystyle 5\in I$ et $\displaystyle -3\notin I$, donc $\displaystyle 5$ est finalement l’unique solution.
$\displaystyle \mathbf{(E_4)}$ L’équation $\displaystyle (E_4)$ est définie pour tout $\displaystyle x\in\R$. On a :
$$2e^{-x}-6e^{x} = 1\Leftrightarrow 6e^{2x}+e^x-2=0.$$ Si on pose $\displaystyle X=e^{x}$, cette équation s’écrit $\displaystyle 6X^2+X-2=0$. Ce polynôme a deux racines $\displaystyle -2/3$ et $\displaystyle 1/2$. Finalement, pour $\displaystyle x\in\R$ :
$$x\text{ solution de }(E_4)\Leftrightarrow e^x\in\{-2/3;1/2\}\Leftrightarrow x=-\ln(2)$$

• Préciser pour quelles valeurs de $\displaystyle x$ l’équation est définie ;
• $\displaystyle a^y$ 👉 Prendre le logarithme pour faire tomber les puissances.

Cette équation est définie sur l’intervalle $\displaystyle ]0;+\infty[$. Pour $\displaystyle x>0$, on résout :
$$x^{\sqrt x}=\sqrt{x}^{~x} \Leftrightarrow \ln\left( x^{\sqrt x}\right) = \ln\left(\sqrt{x}^{~x} \right) \Leftrightarrow \sqrt x\ln(x) = x\ln(\sqrt x)$$ $$\Leftrightarrow \ln(x)=\frac{\sqrt x}{2}\ln(x) \Leftrightarrow \ln(x)\left(\frac{\sqrt x}{2}-1\right)=0 \Leftrightarrow x\in\{1;4\}.$$

Une expression $\displaystyle a\cos(x)+b\sin(x)$ 👉 Amplitude/phase.

On factorise par $\displaystyle \sqrt{1+\sqrt 3^2}=2$ :
$\displaystyle (E)\Leftrightarrow 2\left(\frac 12\cos(x)-\frac{\sqrt 3}{2}\sin(x)\right)=1 \Leftrightarrow\cos(\frac\pi 3)\cos(x)-\sin(\frac\pi 3)\sin(x)=\frac 12\Leftrightarrow \cos(x+\frac\pi 3)=\frac 12$.
$\displaystyle x$ est solution ssi $\displaystyle x+\frac\pi 3=\pm\frac\pi 3~~[2\pi]$ ssi $\displaystyle x\in\{0;-2\pi/3\}~~[2\pi]$.

$\displaystyle (a+b)^3$ 👉 Développer, puis simplifier.
$\displaystyle x^3=6x+40$ équation polynomiale de degré $\displaystyle 3$ 👉 Recherche d’une solution “évidente”.

1. En notant $\displaystyle a=\sqrt[3]{20+14\sqrt 2}$ et $\displaystyle b=\sqrt[3]{20-14\sqrt 2}$, on a
   $$\begin{aligned} r^3&=(a+b)^3\\ &=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ &=(20+14\sqrt 2)+(20-14\sqrt 2)+3\sqrt[3]{20^2-(14\sqrt 2)^2}\times r. \end{aligned}$$ Or $\displaystyle 20^2-(14\sqrt 2)^2=400-2\times 14^2=8$ donc $\displaystyle r^3=40+6r.$
2. Déterminons les racines du polynôme $\displaystyle P(X)=X^3-6X-40$.
   On remarque que $\displaystyle P(4)=0$. On peut donc factoriser $\displaystyle P(X)$ par $\displaystyle (X-4)$. Les calculs donnent (par identification des coefficients, ou en posant la division euclidienne) :
   $$X^3-6X-40=(X-4)(X^2+4X+10)$$
   Or $\displaystyle X^2+4x+10$ n’a pas de racine réelle, donc $\displaystyle P$ a $\displaystyle 4$ pour unique racine. Ainsi $\displaystyle r=4$.