Analyse complexe

Développer $\displaystyle f$ localement en série entière !

On écrit $\displaystyle f$ au voisinage de $\displaystyle z_0\in \cal U$ : $\displaystyle f(z)=\sum_{k\ge 0} a_k(z-z_0)^k$. Soit $\displaystyle f(z_0)=a_0\neq 0$, soit $\displaystyle f(z_0)=a_0=0$ et dans ce cas on considère le plus petit $\displaystyle n_0\ge 1$ tel que $\displaystyle a_{n_0}\neq 0$ et on l’appelle l’ordre du zéro $\displaystyle z_0$. On peut donc écrire $$f(z)=(z-z_0)^{n_0}\sum_{k\ge n_0} a_k(z-z_0)^{k-n_0}:=(z-z_0)^{n_0} g(z)$$ avec $\displaystyle g(z_0)\neq 0$. Ainsi $\displaystyle g$ et $\displaystyle (z-z_0)^{n_0}$, et donc $\displaystyle f$ ne s’annule pas sur un disque ouvert épointé $\displaystyle D'(z_0,r)$, $\displaystyle r>0$.