HighKholle

Développements limités et asymptotiques

Exercice 223 ⭐️ Étude de fonction, Sup/L1

Étudier les limites en 0\displaystyle 0 et +∞\displaystyle +\infty de la fonction f:R+∗→R\displaystyle f:\R^{+*}\to \R, f(t)=1t−1et−1\displaystyle f(t)=\frac1t -\frac{1}{e^t-1}.

  • Mettre au même dénominateur ;
  • DL de exp⁡\displaystyle \exp.

On a f(t)=et−t−1t(et−1)∼t→0t2/2t2=12\displaystyle f(t)=\frac{e^t-t-1}{t(e^t-1)}\sim_{t\to 0}\frac{t^2/2}{t^2}=\frac12, en utilisant le développement limité et=1+t+t22+o(t2)\displaystyle e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2).
Donc lim⁡t→0+f(t)=12\displaystyle \lim_{t\to 0^+}f(t)=\frac12. Enfin lim⁡t→+∞f(t)=0\displaystyle \lim_{t\to+\infty}f(t)=0.

Exercice 224 ⭐️⭐️ DL et limite d’une intégrale, Sup/L1

Étudier la fonction f(t):=etsin⁡t−1t\displaystyle f(t):=\frac{e^t}{\sin t}-\frac{1}{t}, et en déduire lim⁡x→0+∫x2xetsin⁡tdt.\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\int_x^{2x}\frac{e^t}{\sin t}dt.

  • Mettre au même dénominateur ;
  • DL de exp⁡\displaystyle \exp et sin⁡\displaystyle \sin.

Étudions f\displaystyle f. Elle est bien définie sur I=]0,1]\displaystyle I=]0,1] (par exemple) et continue sur I\displaystyle I. Pour étudier son comportement en 0\displaystyle 0, on utilise les D.L. de exp⁡\displaystyle \exp et sin⁡\displaystyle \sin :
etsin⁡t−1t=tet−sin⁡ttsin⁡t=t(1+t+o(t))−t+o(t2)t2+o(t3)=t2+o(t2)t2+o(t3)∼01.\begin{aligned} \frac{e^t}{\sin t}-\frac{1}{t} & = \frac{te^t-\sin t}{t\sin t}\\ & = \frac{t(1+t+o(t))-t+o(t^2)}{t^2+o(t^3)} \\ & = \frac{t^2+o(t^2)}{t^2+o(t^3)}\sim_0 1. \end{aligned}

On en déduit que f\displaystyle f est prolongeable par continuité en 0\displaystyle 0, et elle est donc bornée sur I\displaystyle I, disons par M>0\displaystyle M>0. D’où, pour 0<x<1/2\displaystyle 0<x<1/2,
∣∫x2xf(t)dt∣≤∫x2xMdt=Mx→x→00.\begin{aligned} \left|\int_x^{2x}f(t)dt\right| & \le \int_x^{2x}Mdt=Mx\xrightarrow[x\to 0]{}0. \end{aligned}

Or ∫x2xf(t)dt=∫x2xetsin⁡tdt−∫x2xdtt\begin{aligned} \int_x^{2x}f(t)dt & = \int_x^{2x}\frac{e^t}{\sin t}dt-\int_x^{2x}\frac{dt}{t} \end{aligned}

et ∫x2xdtt=ln⁡(2x)−ln⁡(x)=ln⁡(2)\displaystyle \int_x^{2x}\frac{dt}{t}=\ln(2x)-\ln(x)=\ln(2), on en déduit que la limite cherchée est ln⁡(2)\displaystyle \ln(2).

Exercice 239 ⭐️⭐️ Logarithme intégral, Spé/L2

Soit Li(x)=∫2xdtln⁡(t)\displaystyle Li(x)=\int_2^x\frac{dt}{\ln(t)} la fonction logarithme intégral définie pour x≥2\displaystyle x\ge2. Montrer qu’on a le développement assymptotique suivant, à n\displaystyle n entier fixé, quand x→∞\displaystyle x\to\infty :
Li(x)=xln⁡(x)+1!xln⁡2(x)+2!xln⁡3(x)+⋯   ⋯+n!xln⁡n+1(x)+o(xln⁡n+1(x)).\begin{aligned} Li(x)& = \frac{x}{\ln(x)}+\frac{1!x}{\ln^2(x)}+\frac{2!x}{\ln^3(x)}+\cdots\\ & \ \ \ \cdots+\frac{n!x}{\ln^{n+1}(x)}+o\left(\frac{x}{\ln^{n+1}(x)}\right).\\ \end{aligned}
Culture — Pourquoi cette fonction est-elle célèbre en théorie des nombres ?

  • IPP !
  • Intégration des relations de comparaison.

Par une IPP, on a ∫2xdtln⁡(t)=[tln⁡(t)]2x+∫2xdtln⁡2(t)\displaystyle \int_2^x\frac{dt}{\ln(t)}=\left[\frac{t}{\ln(t)}\right]_2^x+\int_2^x\frac{dt}{\ln^2(t)}. Après (n−1)\displaystyle (n-1) IPP, on obtient
Li(x)=[tln⁡(t)]2x+1![tln⁡2(t)]2x+⋯⋯+(n−1)![tln⁡n(t)]2x+n!∫2xdtln⁡n+1(t).\begin{aligned} Li(x) & = \left[\frac{t}{\ln(t)}\right]_2^x+1!\left[\frac{t}{\ln^2(t)}\right]_2^x+\cdots \\ & \quad \cdots +(n-1)!\left[\frac{t}{\ln^n(t)}\right]_2^x+n!\int_2^x\frac{dt}{\ln^{n+1}(t)}. \end{aligned} On remarque que ddttln⁡n+1(t)=1ln⁡n+1(t)−n+1ln⁡n+2(t)∼∞1ln⁡n+1(t).\frac{d}{dt}\frac{t}{\ln^{n+1}(t)}=\frac{1}{\ln^{n+1}(t)}-\frac{n+1}{\ln^{n+2}(t)}\sim_\infty \frac{1}{\ln^{n+1}(t)}. Comme l’intégrale entre 2\displaystyle 2 et x\displaystyle x du dernier membre est divergente quand x→∞\displaystyle x\to\infty, on peut intégrer entre 2\displaystyle 2 et x\displaystyle x les équivalents. On en déduit alors que ∫2xdtln⁡n+1(t)∼x→∞xln⁡n+1(x)\displaystyle \int_2^x\frac{dt}{\ln^{n+1}(t)}\sim_{x\to\infty} \frac{x}{\ln^{n+1}(x)}, ce qui permet de conclure.

Exercice 449 ⭐️ Calculs de DL, Sup/L1

Bête entrainement de calcul. Calculer les développements limités en 0\displaystyle 0 de :

  1. f(x)=1+x−1−xx\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}, à l’ordre 2.
  2. f(x)=(cos⁡x)ex\displaystyle f(x)=(\cos x) e^x, à l’ordre 3.
  3. f(x)=x(ln⁡(1+x)−ln⁡(1−2x))\displaystyle f(x)=x(\ln(1+x)-\ln(1-2x)), à l’ordre 4.
  4. f(x)=(sin⁡xx)2\displaystyle f(x)=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2, à l’ordre 4.
  5. f(x)=ln⁡(1+x)ln⁡(1−x)\displaystyle f(x)=\frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)}, à l’ordre 2.

Pas de ruse. Appliquer les formules pour les fonctions usuelles, et les méthodes pour les opérations (somme, produit, quotient).

🔧 Le module sympy de Python, comme les logiciels de calcul formel, permet de calculer une expression exacte d’une intégrale, d’une limite, d’une dérivée… et d’un développement limité (et bien plus encore). Pratique pour vérifier ses calculs à la maison 😍😍😍

Ainsi le code suivant permet de vérifier le résultat de la question 1. Testez-le !

from sympy import *
x = symbols('x')
print(series((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/x, x, 0, 3))

Rq. Le dernier paramètre est l’ordre : ici 3 donne un DL à l’ordre 2. Bizarre, mais ça s’explique : les anglophones écrivent O(xn+1)\displaystyle \mathcal O(x^{n+1}) à la fin d’un DL, quand nous écrivons o(xn)\displaystyle o(x^{n}).

  1. f(x)=1x((1+x2−x28+x316+o(x3))−(1−x2−x28−x316+o(x3)))\displaystyle f(x)=\frac 1x\left(\left(1+\frac x2-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)\right)-\left(1-\frac x2-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}+o(x^3)\right)\right)
             =1x(x+x38+o(x3))=1+x28+o(x2)\displaystyle \phantom~~~~~~~~~ = \frac 1x\left(x+\frac{x^3}{8}+o(x^3)\right)=1+\frac{x^2}{8}+o(x^2).
  2. f(x)=(1−x22+o(x3))×(1+x+x22+x36+o(x3))\displaystyle f(x)=\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)\times \left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)
             =1+x+x22+x36−x22−x32+o(x3)\displaystyle \phantom~~~~~~~~~ = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2}+o(x^3)
             =1+x−x33+o(x3)\displaystyle \phantom~~~~~~~~~ = 1+x-\frac{x^3}{3}+o(x^3).
  3. f(x)=x(x−x22+x33+o(x3)−(−2x−2x2−83x3+o(x3)))\displaystyle f(x)=x\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)-\left(-2x-2x^2-\frac 83 x^3+o(x^3)\right)\right)
             =3x2+32x3+o(x3)\displaystyle \phantom~~~~~~~~~ = 3x^2+ \frac32 x^3+o(x^3).
  4. f(x)=(1−x26+x4120+o(x4))2=1−x23+2x445+o(x4)\displaystyle f(x)=\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)^2 = 1-\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{45}+o(x^4)
    (après avoir développé et supprimé les termes de degré >4\displaystyle >4).
  5. f(x)=x−x22+x33+o(x3)−x−x22−x33+o(x3)=−(1−x2+x23+o(x2))(1+x2+x23+o(x2))−1\displaystyle f(x)=\frac{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)} = -\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right)\left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right)^{-1}
             =−(1−x2+x23+o(x2))(1−x2−x23+x24+o(x2))\displaystyle \phantom~~~~~~~~~ = -\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right)\left(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{4}+o(x^2)\right)\qquad (avec le DL de 11+X\displaystyle \frac{1}{1+X})
             =−(1−x+x22)+o(x2)\displaystyle \phantom~~~~~~~~~ = -\left(1-x+\frac{x^2}{2}\right)+o(x^2)\qquad(après avoir développé).