HighKholle

Systèmes d'équations linéaires

Exercice 171 ⭐️⭐️ Système avec second membre, Spé/L2

Résoudre le système différentiel :
(1+t2)x′=tx+y+2t2−1\displaystyle (1+t^2) x'=tx+y+2t^2-1,
(1+t2)y′=−x+ty+3t\displaystyle (1+t^2) y'=-x+ty+3t.

  • Système d’équations 👉 Former x+y\displaystyle x+y, x−y\displaystyle x-y, x+iy\displaystyle x+iy, …
  • Variation de la constante.

Faire z=x+iy\displaystyle z=x+iy va sans doute donner quelque chose d’intéressant car (1+it)=i(t−i)\displaystyle (1+it)=i(t-i), on y va : (1+t2)z′=(t−i)x+(1+it)y+2t2−1+3it=(t−i)z+(t+i)(2t+i)\displaystyle (1+t^2)z'=(t-i)x+(1+it)y+2t^2-1+3it=(t-i)z+(t+i)(2t+i), d’où z′=zt+i+2t+it−i\displaystyle z'=\frac{z}{t+i}+\frac{2t+i}{t-i}. Les dénominateurs ne s’annulent pas car t∈R\displaystyle t\in\R. L’équation homogène (H) est z′=zt+i\displaystyle z'=\frac{z}{t+i}. On remarque t↦t+i\displaystyle t\mapsto t+i est solution de (H), donc il existe λ∈C\displaystyle \lambda\in\mathbb C tel que z(t)=λ(t+i)\displaystyle z(t)=\lambda(t+i) et on va chercher une solution particulière sous la forme z(t)=λ(t)(t+i)\displaystyle z(t)=\lambda(t)(t+i) (Variation de la constante). On obtient donc λ′(t)(t+i)=2t+it−i\displaystyle \lambda'(t)(t+i)=\frac{2t+i}{t-i}, i.e. λ′(t)=2t+it2+1\displaystyle \lambda'(t)=\frac{2t+i}{t^2+1}. Ainsi λ(t)=ln⁡(t2+1)+iarctan⁡(t)+a+ib\displaystyle \lambda(t)=\ln(t^2+1)+i \arctan(t)+a+ib.
On en déduit z\displaystyle z, puis x\displaystyle x et y\displaystyle y.