Équations non linéaires

Exercice 170 ⭐️⭐️ y=y2\displaystyle y'=y^2, MP/L3

Résoudre y=y2\displaystyle y'=y^2, y(0)=y0\displaystyle y(0)=y_0. Différence avec une équation linéaire ?

Soit y\displaystyle y une solution qui ne s’annule pas sur son intervalle d’existence [0,t0[\displaystyle [0,t_0[, en particulier que y00\displaystyle y_0\neq0. On a yy2=1\displaystyle \frac{y'}{y^2}=1, donc 0ty(s)y2(s)ds=t\displaystyle \int_0^t\frac{y'(s)}{y^2(s)}ds=t, et 1y(0)1y(t)=t\displaystyle \frac{1}{y(0)}-\frac{1}{y(t)}=t pour t[0,t0[\displaystyle t\in[0,t_0[. Ainsi y(t)=11y0t\displaystyle y(t)=\frac{1}{\frac{1}{y_0}-t}, et réciproquement une telle fonction vérifie l’équation différentielle. On en déduit que si y0>0\displaystyle y_0>0, y\displaystyle y est définie sur [0,1/y0[\displaystyle [0,1/y_0[, et explose en 1/y0\displaystyle 1/y_0. Si y0<0\displaystyle y_0<0, la solution existe sur R+\displaystyle \R_+ entier.

Remarque très importante \displaystyle - C’est une des différences fondamentales entre le linéaire et le non-linéaire : une solution d’une EDO non linéaire peut exploser en temps fini, contrairement à une EDO linéaire (coefficient dominant 1 et autres coefficients sans singularité).