Fonctions inverses et implicites

Théorème d’inversion locale !

La fonction $\displaystyle f$ est de classe $\displaystyle C^1$. Soit $\displaystyle (x,y)\neq(0,0)$. On calcule la matrice jacobienne de $\displaystyle f$ en ce point :
$$D_{(x,y)}f=\begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x \\ \end{pmatrix}.$$ On a $\displaystyle {\rm det}(D_{(x,y)}f)=4(x^2+y^2)\neq 0$. Donc d’après le théorème d’inversion locale, il existe un ouvert $\displaystyle U$ contenant $\displaystyle (x,y)\neq(0,0)$, et un ouvert $\displaystyle V$ de $\displaystyle \R^2$, tel que $\displaystyle f$ soit un difféomorphisme de classe $\displaystyle C^1$ de $\displaystyle U$ sur $\displaystyle V$.

Posons $\displaystyle z=x+iy$. Alors $\displaystyle z^2=x^2-y^2+i(2xy)$. Donc, en identifiant $\displaystyle \R^2$ à $\displaystyle \C$, on a $\displaystyle f(z)=z^2$. Sa dérivée holomorphe est $\displaystyle f'(z)=2z$, et on retrouve les équations de Cauchy-Riemann avec l’expression de la matrice jacobienne. L’application $\displaystyle f$ n’est pas un difféomorphisme globale n’étant déjà pas injective car $\displaystyle f(z)=f(-z)$. On peut montrer que $\displaystyle f$ réalise un difféomorphisme du demi-plan $\displaystyle \{{\rm Re}(z)>0\}$ sur le plan privé de l’axe négatif $\displaystyle \C-\R_-$.
Ici une jolie animation de $\displaystyle f$ !