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Quantificateurs

Exercice 211 ⭐️ Position Quantificateurs, Sup/L1

Soit f:E→F\displaystyle f:E \to F. Que pensez-vous des affirmations suivantes ?

  1. ∀x∈E\displaystyle \forall x \in E, ∀y∈F,f(x)=y\displaystyle \forall y \in F, f(x) = y
  2. ∀x∈E\displaystyle \forall x \in E, ∃y∈F,f(x)=y\displaystyle \exists y \in F, f(x) = y
  3. ∃x∈E\displaystyle \exists x \in E, ∀y∈F,f(x)=y\displaystyle \forall y \in F, f(x) = y
  4. ∃x∈E\displaystyle \exists x \in E, ∃y∈F,f(x)=y\displaystyle \exists y \in F, f(x) = y
  5. ∀y∈F\displaystyle \forall y \in F, ∀x∈E,f(x)=y\displaystyle \forall x \in E, f(x) = y
  6. ∀y∈F\displaystyle \forall y \in F, ∃x∈E,f(x)=y\displaystyle \exists x \in E, f(x) = y
  7. ∃y∈F\displaystyle \exists y \in F, ∀x∈E,f(x)=y\displaystyle \forall x \in E, f(x) = y
  8. ∃y∈F\displaystyle \exists y \in F, ∃x∈E,f(x)=y\displaystyle \exists x \in E, f(x) = y.
  1. Elle est fausse, à moins que F\displaystyle F ne contienne qu’un élément.
  2. Elle est vraie (par définition de la notion d’application).
  3. Elle est fausse, à moins que F\displaystyle F ne contienne qu’un élément.
  4. Vraie puisque la 2. est vraie.
  5. C’est la même assertion que la 1. (permuter deux ∀\displaystyle \forall consécutifs ne change pas la valeur de vérité d’une assertion).
  6. C’est la définition d’application surjective.
  7. C’est la définition d’application constante.
  8. C’est la même assertion que la 4. (permuter deux ∃\displaystyle \exists consécutifs ne change pas la valeur de vérité d’une assertion).

Exercice 322 ⭐️ Traduction français vers maths, Sup/L1

Soit une fonction f:R→R\displaystyle f:\R \to \R. Exprimer à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes~:

  1. La fonction f\displaystyle f s’annule au moins une fois.
  2. La fonction f\displaystyle f est constante.
  3. La fonction f\displaystyle f n’est pas impaire.
  4. La fonction f\displaystyle f ne prend jamais deux fois la même valeur.
  5. L’équation f(x)=2\displaystyle f(x)=2 admet au moins deux solutions distinctes.
  6. La fonction f\displaystyle f n’est pas bornée.
  1. ∃x∈R:f(x)=0\displaystyle \exists x\in\R: f(x)=0.
  2. ∃α∈R:∀x∈R,f(x)=α\displaystyle \exists \alpha \in \R :\forall x \in \R, f(x)=\alpha
  3. ∃x∈R:f(x)≠−f(−x)\displaystyle \exists x \in \R : f(x)\neq -f(-x)
  4. ∀x,y∈R,(x≠y⇒f(x)≠f(y))\displaystyle \forall x,y\in \R, \left(x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)\right).
  5. ∃x,y∈R : (x≠y et f(x)=f(y)=2)\displaystyle \exists x,y \in \R~:~ \left(x\neq y \text{ et } f(x)=f(y)=2\right).
  6. ∀A∈R,∃x∈R:∣f(x)∣>A\displaystyle \forall A \in \R, \exists x \in \R : |f(x)|>A.

Exercice 324 ⭐️ Vrai ou faux, L1/Sup

Les assertions suivantes sont-elles vraies ? Justifier soigneusement.

  1. ∃a∈R : ∀ε>0,∣a∣<ε\displaystyle \exists a \in \R ~:~ \forall \varepsilon > 0, |a| < \varepsilon;
  2. ∀ε>0,∃a>0 : a<ε\displaystyle \forall \varepsilon >0 , \exists a > 0 ~:~ a < \varepsilon;
  3. ∀y∈R,∃x∈R+ : y<x\displaystyle \forall y \in \R , \exists x \in \R _+ ~:~ y < \sqrt{x};
  4. ∀a∈R, ∃b∈R : a=b2\displaystyle \forall a\in\R,~\exists b\in\R~:~a=b^2;
  5. ∀a∈C, ∃b∈C : a=b2\displaystyle \forall a\in\C,~\exists b\in\C~:~a=b^2;
  6. ∀x∈R, ∀y∈R, ∃t∈R : x≤t≤y\displaystyle \forall x\in\R,~\forall y\in\R,~\exists t\in\R~:~x\leq t\leq y.

Pour montrer qu’une assertion est fausse 👉 On montre sa négation;
Pour montrer une assertion commençant par “∀x∈E\displaystyle \forall x\in E” 👉 Commencer par prendre un x\displaystyle x quelconque dans E\displaystyle E;
Pour montrer une assertion commençant par “∃x∈E\displaystyle \exists x\in E” 👉 On peut donner un exemple de x\displaystyle x dans E\displaystyle E qui convient.

  1. Vrai.
    En effet a=0\displaystyle a=0 convient, puisque pour ε>0\displaystyle \varepsilon>0 on a ∣0∣<ε\displaystyle |0|<\varepsilon.
  2. Vrai.
    Pour un réel ε>0\displaystyle \varepsilon>0 fixé, le réel a=ε/2\displaystyle a=\varepsilon/2 (par exemple) vérifie bien a>0\displaystyle a>0 et a<ε\displaystyle a<\varepsilon.
  3. Vrai.
    Pour un réel y∈R\displaystyle y \in \R fixé, le réel x=y2+1\displaystyle x=y^2+1 vérifie bien x≥0\displaystyle x\geq 0, et x>(y)2=∣y∣≥y\displaystyle \sqrt x>(\sqrt y)^2=|y|\geq y. Donc x>y\displaystyle \sqrt x>y.
  4. Faux.
    Prenons par exemple a=−1\displaystyle a=-1. Alors pour tout b∈R\displaystyle b\in\R, b2≥0\displaystyle b^2\geq 0 donc a≠b2\displaystyle a\neq b^2.
  5. Vrai.
    Si a=0\displaystyle a=0 alors b=0\displaystyle b=0 convient.
    Si a≠0\displaystyle a\neq 0 alors il existe ρ>0\displaystyle \rho>0 et θ∈R\displaystyle \theta\in\R tels que a=ρeiθ\displaystyle a=\rho e^{i\theta}. Le réel b=ρ eiθ/2\displaystyle b=\sqrt\rho~ e^{i\theta/2} vérifie alors bien b2=a\displaystyle b^2=a.
  6. Faux.
    Prenons par exemple x=1\displaystyle x=1 et y=0\displaystyle y=0. Comme x>y\displaystyle x>y les conditions x≤t\displaystyle x\leq t et t≤y\displaystyle t\leq y sont incompatibles, pour un réel t\displaystyle t.

Exercice 411 ⭐️ Domaines du plan, Terminale/Sup/L1

On définit deux domaines du plan A\displaystyle A et B\displaystyle B par : A={(x,y)∈R2:y≤0},B={(x,y)∈R2:x2+(y−1)2<1}.A=\{(x,y)\in\R^2:y\leq 0\},\qquad B=\{(x,y)\in\R^2 : x^2+(y-1)^2<1\}. On note M1M2\displaystyle M_1M_2 la distance euclidienne usuelle entre deux points M1\displaystyle M_1 et M2\displaystyle M_2.
Les assertions suivantes sont-elles vraies (dessiner A\displaystyle A et B\displaystyle B peut aider) :

  1. ∀M1∈A,∀r>0,∃M2∈B,  M1M2≤r\displaystyle \forall M_1\in A, \forall r>0, \exists M_2\in B,~~M_1M_2 \leq r.
  2. ∀r>0,∃M1∈A,∃M2∈B: M1M2≤r\displaystyle \forall r>0,\exists M_1\in A,\exists M_2\in B :~M_1M_2 \leq r ;
  3. ∃M1∈A,∃M2∈B:∀r>0, M1M2≤r\displaystyle \exists M_1\in A,\exists M_2\in B : \forall r>0,~M_1M_2 \leq r ;
  4. ∀M1∈A, ∃r>0 : ∀M2∈B, M1M2≥r\displaystyle \forall M_1\in A,~\exists r>0~:~\forall M_2\in B,~M_1M_2 \geq r ;
  5. ∀M2∈B, ∃r>0 : ∀M1∈A, M1M2≥r\displaystyle \forall M_2\in B,~\exists r>0~:~\forall M_1\in A,~M_1M_2 \geq r ;
  6. ∀M1∈A, ∃r>0 : ∀M2∈B, M1M2≤r\displaystyle \forall M_1\in A,~\exists r>0~:~\forall M_2\in B,~M_1M_2 \leq r ;
  7. ∀M2∈B, ∃r>0 : ∀M1∈A, M1M2≤r\displaystyle \forall M_2\in B,~\exists r>0~:~\forall M_1\in A,~M_1M_2 \leq r ;
  8. ∃r>0:∀M1∈A,∀M2∈B,  M1M2≤r\displaystyle \exists r>0:\forall M_1\in A,\forall M_2\in B,~~M_1M_2 \leq r ;
  9. ∀r>0,∃M1∈A,∃M2∈B: M1M2≥r\displaystyle \forall r>0,\exists M_1\in A,\exists M_2\in B :~M_1M_2 \geq r ;
  10. ∀M1∈A,∀M2∈B, ∃r>0 : M1M2≤r\displaystyle \forall M_1\in A,\forall M_2\in B,~\exists r>0~:~M_1M_2 \leq r ;

Récréation — créez une phrase au hasard, avec M1,M2,r\displaystyle M_1,M_2,r dans l’ordre de votre choix et avec les quantificateurs de votre choix, et en choisissant ≤\displaystyle \le ou ≥  (⋆)\displaystyle \ge~~^{(\star)}. Est-elle vraie ou fausse ?
(⋆)\displaystyle ^{(\star)} Ca fait quand même 96 phrases possibles 😃

Faire un dessin. Commencer à chaque question par se faire une opinion (vrai ou faux), à l’aide du dessin, avant de partir sur une démonstration en utilisant les réflexes de la logique.

A\displaystyle A est le demi-plan inférieur, B\displaystyle B est le disque ouvert de rayon 1\displaystyle 1 et de centre (0,1)\displaystyle (0,1).

  1. Faux. Par exemple avec M1=(0,−1)\displaystyle M_1=(0,-1) et r=1\displaystyle r=1, on a pour tout M2∈B\displaystyle M_2\in B, M1M2>r\displaystyle M_1M_2> r.
  2. Vrai. Soit r>0\displaystyle r>0. Prenons M1=(0,0)\displaystyle M_1=(0,0) et M2=(0,y)\displaystyle M_2=(0,y) où y=min⁡(1,r)\displaystyle y=\min(1,r). On a bien M1∈A\displaystyle M_1\in A, M2∈B\displaystyle M_2\in B, et M1M2=r\displaystyle M_1M_2=r.
  3. Faux. La condition ∀r>0, M1M2≤r\displaystyle \forall r>0,~M_1M_2 \leq r équivaut à M1M2=0\displaystyle M_1M_2=0, donc à M1=M2\displaystyle M_1=M_2. Or si M1∈A\displaystyle M_1\in A et M2∈B\displaystyle M_2\in B on a nécessairement M1≠M2\displaystyle M_1\neq M_2 (A\displaystyle A et B\displaystyle B sont disjoints).
  4. Faux. La négation est : ∃M1∈A : ∀r>0,∃M2∈B: M1M2<r\displaystyle \exists M_1\in A~:~\forall r>0,\exists M_2\in B :~M_1M_2 < r, et elle est vraie.
    En effet M1=(0,0)\displaystyle M_1=(0,0) convient : pour r>0\displaystyle r>0 quelconque, le point M2=(0,min⁡(1,r/2))\displaystyle M_2=(0,\min(1,r/2)) appartient à B\displaystyle B et vérifie M1M2<r\displaystyle M_1M_2<r.
  5. Vrai. Soit M2=(x,y)∈B.\displaystyle M_2=(x,y)\in B. Posons r=y\displaystyle r=y. Alors pour tout M1=(x′,y′)∈A\displaystyle M_1=(x',y')\in A, on a M1M2≥y−y′≥y=r\displaystyle M_1M_2\geq y-y'\geq y=r.
  6. Vrai. Soit M1∈A\displaystyle M_1\in A. Posons d=M1Ω\displaystyle d=M_1\Omega, où Ω=(0,1)\displaystyle \Omega=(0,1) est le centre du disque.
    En prenant r=d+1\displaystyle r=d+1, on a pour tout M2∈B\displaystyle M_2\in B, ΩM2<1\displaystyle \Omega M_2<1 donc M1M2≤M1Ω+ΩM2≤d+1=r\displaystyle M_1M_2\leq M_1\Omega+\Omega M_2\le d+1=r
  7. Faux. Prenons par exemple M2=(0,1)∈B\displaystyle M_2=(0,1)\in B. Alors pour r>0\displaystyle r>0, le point M1=(0,−r)\displaystyle M_1=(0,-r) appartient à A\displaystyle A et vérifie M1M2=r+1>r\displaystyle M_1M_2=r+1>r.
  8. Faux. Il suffit de remarquer que l’assertion 8. implique la 7., qui est fausse.
    (rappel : une assertion “∃y∈F : ∀x∈E, P(x,y)\displaystyle \exists y\in F~:~\forall x\in E,~\mathcal P(x,y)” implique toujours “∀x∈E, ∃y∈F : P(x,y)\displaystyle \forall x\in E,~\exists y\in F~:~\mathcal P(x,y)”)
  9. Vrai. Pour r>0\displaystyle r>0, les points M1=(0,−r)\displaystyle M_1=(0,-r) et M2=(0,1)\displaystyle M_2=(0,1) vérifient M1∈A\displaystyle M_1\in A, M2∈B\displaystyle M_2\in B et M1M2≥r\displaystyle M_1M_2\geq r.
  10. Vrai. Pour M1∈A\displaystyle M_1\in A et M2∈B\displaystyle M_2\in B, il suffit de prendre r=M1M2\displaystyle r=M_1M_2.