Comme $\displaystyle f$ est postive non identiquement nulle alors il existe $\displaystyle x_0$ tel que $\displaystyle f(x_0)>0$. Écrivons la définition de la continuité de $\displaystyle f$ en $\displaystyle x_0$ : pour tout $\displaystyle \epsilon>0$, il existe $\displaystyle \eta>0$ tel que si $\displaystyle x\in]x_0-\eta,x_0+\eta[\subset[0,1]$ alors $$f(x)\in ]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon[.$$ Dans ton cours, c’est probablement écrit : $\displaystyle |x-x_0|<\eta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$. On a juste traduit ces inégalités avec des intervalles.
Choisissons $\displaystyle \epsilon=\frac{f(x_0)}{2}$ et considérons le $\displaystyle \eta=\eta(\epsilon)$ correspondant dans la définition.
Alors pour tout $\displaystyle x\in]x_0-\eta,x_0+\eta[$, $$f(x)>f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2}=\frac{f(x_0)}{2}>0.$$ Il suffit de choisir un intervalle $\displaystyle [a,b]\subset ]x_0-\eta,x_0+\eta[$ pour répondre à la question.

Considérons le $\displaystyle x_0$, $\displaystyle \epsilon$ et $\displaystyle \eta$ de la question précédente. Comme $\displaystyle f$ est positive sur $\displaystyle [0,1]$, il vient : $$\begin{aligned} \int_0^1f(x)dx&\ge \int_{x_0-\eta}^{x_0+\eta}f(x)dx\ge\int_{x_0-\eta}^{x_0+\eta}\frac{f(x_0)}{2}dx \\ &\ge 2\eta \frac{f(x_0)}{2}>0. \end{aligned}$$