Puissance dans une intégrale 👉 IPP !

On intègre par parties avec $\displaystyle u=\cos^{n-1}$ et $\displaystyle v=\sin$. Alors, pour $\displaystyle n>1$,
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t)dt=[\sin(t)\cos^{n-1}(t)]_0^{\pi/2}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}-(n-1)\sin(t)\cos^{n-2}(t)\sin(t)dt.$$ Donc, avec $\displaystyle \sin^2=1-\cos^2$, on obtient : $$I_n=(n-1)(I_{n-2}-I_n),$$ d’où $\displaystyle nI_n=(n-1)I_{n-2}$ et $\displaystyle nI_nI_{n-1}=(n-1)I_{n-1}I_{n-2}$, ce qu’on voulait.
On a $\displaystyle I_0=\pi/2$ et $\displaystyle I_1=1$, donc pour tout $\displaystyle n\ge1$, $\displaystyle nI_nI_{n-1}=\pi/2$.
Comme sur $\displaystyle [0,\pi/2]$, $\displaystyle 0\le\cos(t)\le 1$, on en déduit que $\displaystyle I_n$ est décroissante. Donc $$nI_n^2\le nI_nI_{n-1}=\frac{\pi}{2}=(n+1)I_{n+1}I_n\le (1+1/n)nI_n^2.$$ Ainsi $\displaystyle nI_n^2$ converge vers $\displaystyle \pi/2$ et $\displaystyle I_n\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}$. Enfin, $$I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}.$$ Donc, en prenant $\displaystyle 2n$ au lieu de $\displaystyle n$, on a $$I_{2n}=\frac{(2n-1)\cdots 3\cdot 1}{2n\cdots 2\cdot 1}I_0=\frac{(2n)!}{2^n n! 2^n n!}\frac{\pi}{2}.$$ Par conséquent $$4^{-n}{2n\choose n}\sim \frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{\pi}{4n}}=\frac{1}{\sqrt{\pi n}},$$ qui est la fréquence de l’équirépartition : $\displaystyle n$ piles et $\displaystyle n$ faces parmi $\displaystyle 2n$ lancés de pièce.

🎁 Pour en savoir plus sur les coefficients binomiaux centraux, on pourra consulter
cet article du blog Math-OS